Statistika
semestrální projekt
Zuzana Foltýnová
324542
U 96 náhodně vybraných studentů VŠE v Praze byly zjištěny následující údaje:
Pohlaví (0 – žena, 1 – muž)
Výška (tělesná výška v cm)
Hmotnost (tělesná hmotnost v kg)
Známka (známka z matematiky v 1. semestru)
Úkol 1.
Zjistěte absolutní a relativní četnosti proměnných Pohlaví a Známka, přičemž pro proměnnou známka
zjistěte též kumulativní absolutní a relativní četnosti. Pro proměnnou Pohlaví vytvořte sloupkový
diagram, pro proměnnou Známka polygon četností.
Řešení:
I. Proměnná Pohlaví - absolutní a relativní četnost
x[j] - proměnná pohlaví
nj - absolutní četnost varianty x[j]
pj - relativní četnost varianty x[j]
II. Proměnná Pohlaví - sloupkový diagram
Komentář: Ve zkoumaném datovém souboru jsou ženy (0) zastoupeny v nadpoloviční většině oproti
mužům (1).
Tabulka četností
x[j] nj pj
1 28 0,29
0 68 0,71
68
28
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0 1
Počet
Pohlaví
Sloupkový diagram
III. Proměnná Známka - tabulka četností (absolutní a relativní četnost, kumulativní absolutní a
relativní četnost)
x[j] - proměnná pohlaví
nj - absolutní četnost varianty x[j]
pj - relativní četnost varianty x[j]
Nj - kumulativní absolutní četnost prvních j
variant
Fj - kumulativní relativní četnost prvních j
variant
IV. Proměnná Známka - polygon četností
Komentář: Nejčastěji obdržená známka je 3, s 46 výskyty. Nejméně obdržená známka je 1, a to pouze
s 15 výskyty.
Tabulka četností
x[j] nj pj Nj Fj
1 15 0,16 15 0,16
2 35 0,36 50 0,52
3 46 0,48 96 1
15
35
46
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
1 2 3
Počet
Známka
Polygon četností
Úkol 2.
Pro proměnné Pohlaví a Známka sestavte kontingenční tabulky absolutních a relativních četností,
sloupcově a řádkově podmíněných relativních četností. Kolik procent žen má z matematiky jedničku?
Kolik procent studentů, kteří mají jedničku, jsou muži?
Řešení:
I. Proměnná Pohlaví a Známka - kontingenční tabulka absolutních a relativních četností
x - proměnná pohlaví
y - proměnná známka
njk - absolutní četnost dvojice (x[j],y[k])
nj. - absolutní četnost varianty x[j]
n.j - absolutní četnost varianty y[k]
x - proměnná pohlaví
y - proměnná známka
pjk - relativní četnost dvojice (x[j],y[k])
pj. - relativní četnost varianty x[j]
p.j - relativní četnost varianty y[k]
II. Proměnná Pohlaví a Známka - kontingenční tabulka sloupcově a řádkově podmíněné relativní
četnosti
x - proměnná pohlaví
y - proměnná známka
pj(k) - sloupcově podmíněná relativní četnost
varianty x[j] za předpokladu y[k]
Komentář: 27% studentů, kteří mají jedničku, jsou muži.
x - proměnná pohlaví
y - proměnná známka
p(j)k - řádkově podmíněná relativní četnost
varianty y[k] za předpokladu x[j]
Komentář: 16 % žen má z matematiky jedničku
Kontingenční tabulka absolutních četností
- y
1 2 3 nj.
x njk
0 11 27 30 68
1 4 8 16 28
n.k 15 35 46 n = 96
Kontingenční tabulka relativních četností
- y
1 2 3 pj.
x pjk
0 0,12 0,28 0,31 0,71
1 0,04 0,08 0,17 0,29
p.k 0,16 0,36 0,48 1,00
Kontingenční tabulka sloupcově podmíněných
relativních četností
- y
1 2 3
x pj(k)
0 0,73 0,77 0,65
1 0,27 0,23 0,35
 1,00 1,00 1,00
Kontingenční tabulka řádkově podmíněných
relativních četností
- y
1 2 3 
x njk
0 0,16 0,40 0,44 1,00
1 0,14 0,29 0,57 1,00
Úkol 3.
Podle Sturgersova pravidla stanovte optimální počet třídicích intervalů pro proměnné Výška a
Hmotnost a nakreslete jejich histogramy, a to
a) pro celý soubor
b) pro ženy
c) pro muže.
Řešení:
I. Histogramy pro celý soubor
Celkový rozsah souboru je 96, tedy podle Sturgersova pravidla je optimální počet třídicích intervalů r
= 1 + 3,3*log (96) ≈ 8.
Rozsah intervalů (výška) = (max - min) /8 = (193 - 160)/8 ≈ 5
Rozsah intervalů (hmotnost) = (max - min)/8 = (91 - 48)/8 ≈ 6
Komentář: Ve zkoumaném souboru převládají osoby s výškou v intervalu 167 - 171 cm či váhou
mezi 60 - 65 kg. Naopak nejméně jsou zastoupeny osoby s výškou pod 161 cm a nad 192 cm a s váhou
větší než 84 kg.
II. Histogramy pro ženy
Počet žen v souboru je 68. Podle Sturgesova pravidla je optimální počet třídících intervalů
r = 1 + 3,3*log (68) ≈ 7
Rozsah intervalů (výška) = (max - min)/7 = (182 - 160)/7 ≈ 4
Rozsah intervalů (hmotnost) = (max - min)/7 = (76 - 48)/7 ≈ 4
14
21
28
11
14
5
2 1
0
5
10
15
20
25
30
Četnosti
Intervaly
Celý soubor - hmotnost
4
16
24
21
18
9
4
1
0
5
10
15
20
25
30
Četnosti
Intervaly
Celý soubor - výška
7
13
15 15
11
4 3
0
5
10
15
20
Četnosti
Intervaly
Ženy - hmotnost
2
9
15
20
14
7
1
0
5
10
15
20
25
Četnosti
Intervaly
Ženy - výška
Komentář: Ve zkoumaném souboru převládají ženy s výškou v intervalu 169 - 172 cm či váhou mezi
59 - 63 kg. Naopak nejméně jsou zastoupeny ženy s výškou pod 160 cm a nad 181 cm a s váhou větší
než 72 kg.
III. Histogramy pro muže
Počet mužů v souboru je 28. Podle Sturgesova pravidla je optimální počet třídících intervalů
r = 1 + 3,3*log (28) ≈ 6
Rozsah intervalů (výška) = (max - min)/6 = (193 - 168)/6 ≈ 5
Rozsah intervalů (hmotnost) = (max - min)/6 = (91 - 61)/6 ≈ 5
Komentář: Co se týče mužů, nejvíce jsou zastoupeni ti s výškou v intervalu 180 - 184 cm či s váhou
mezi 71 - 75 kg. Naopak nejméně jsou zastoupeni muži s výškou pod 169 cm či s váhou větší než 86
kg.
Úkol 4.
Vypočtěte minimum, maximum, medián, průměr, směrodatnou odchylku, šikmost a špičatost
proměnných Výška a Hmotnost
a) pro celý soubor
b) pro ženy
c) pro muže.
Řešení:
I. Pro celý soubor
Hodnoty pro celý soubor
- počet minimum maximum medián průměr
směrodatná
odchylka
šikmost špičatost
výška 96 160 192 172,0 173,19 7,336 0,428 -0,299
hmotnost 96 48 90 62,5 63,38 9,327 0,588 -0,135
1
2
8
9
5
3
0
2
4
6
8
10
Četnosti
Intervaly
Muži - výška
6
2
11
4 4
1
0
2
4
6
8
10
12
Četnosti
Intervaly
Muži -hmotnost
II. Pro ženy
Hodnoty pro ženy
- počet minimum maximum medián průměr
směrodatná
odchylka
šikmost špičatost
výška 68 160 181 170 169,94 5,063 0,017 -0,638
hmotnost 68 48 75 58 59,26 6,392 0,322 -0,446
III. Pro muže
Hodnoty pro muže
- počet minimum maximum medián průměr
směrodatná
odchylka
šikmost špičatost
výška 28 168 192 181 181,07 5,894 -0,249 0,089
hmotnost 28 61 90 73 73,36 7,670 0,172 -0,533
Komentář: Směrodatná odchylka a průměr mohou být silně ovlivněny extrémními hodnotami. Je-li
šikmost kladná, rozložení dat má prodloužený pravý konec, mluvíme o kladně zešikmeném rozložení.
V záporně zešikmeném rozložení má naopak rozložení prodloužený levý konec.
Je-li špičatost záporná, jedná se o ploché rozložení dat, je-li kladná, jde o strmé rozložení dat.
V případě normálního rozložení je pak špičatost rovna 0.
Úkol 5.
Vypočtěte a interpretujte Pearsonův koeficient korelace proměnných Výška a Hmotnost
a) pro celý soubor
b) pro ženy
c) pro muže.
Řešení:
I. Pearsonův koeficient korelace proměnných Výška a Hmotnost pro celý soubor
r12 = 0,739702
Komentář: Existuje silná kladná korelace mezi proměnnými Výška a Hmotnost pro celý soubor.
Můžeme tedy říci, že čím vyšší jsou hodnoty jedné proměnné, tím vyšší jsou hodnoty druhé a naopak.
II. Pearsonův koeficient korelace proměnných Výška a Hmotnost pro ženy
r12 = 0,5082377
Komentář: Existuje středně silná kladná korelace mezi proměnnými Výška a Hmotnost pro ženy.
Můžeme tedy říci, že čím vyšší jsou hodnoty jedné proměnné, tím vyšší jsou hodnoty druhé a naopak.
III. Pearsonův koeficient korelace proměnných Výška a Hmotnost pro muže
r12 = 0,487723
Komentář: Existuje středně silná kladná korelace mezi proměnnými Výška a Hmotnost pro muže.
Můžeme tedy říci, že čím vyšší jsou hodnoty jedné proměnné, tím vyšší jsou hodnoty druhé a naopak.
Úkol 6.
Najděte rovnici regresní přímky vyjadřující závislost proměnné Hmotnost na proměnné Výška. Jaký je
index determinace a co vyjadřuje? Jaká je predikovaná hodnota hmotnosti pro výšku 175 cm?
Nalezenou regresní přímku zakreslete do dvourozměrného tečkového diagramu.
Řešení:
I. Rovnice regresní přímky
Rovnice: hmotnost = -99,502 + 0,9405*výška
Komentář: Zvětší-li se výška o 1 bod, hmotnost se zvětší v průměru o 0,9405 bodu.
II. Index determinace
Index determinace je 0,5472
Komentář: Model regresní přímky vysvětluje variabilitu proměnné hmotnost z 54%.
III. Predikovaná hodnota hmotnosti pro výšku 175
Vypočteme, že predikovaná hodnota hmotnosti pro výšku 175 je:
hmotnost = -99,502 + 0,9405*175 = 65,0855
IV. Dvourozměrný tečkový diagram
Komentář: Z grafu je patrné, že regresní přímka je vhodná na modelování dané závislosti, jelikož
body jsou přibližně rozmístěny kolem regresní přímky.
y = 0,9405x - 99,502
0
20
40
60
80
100
155 160 165 170 175 180 185 190 195
Hmotnost
Výška
Regresní přímka