MASARYKOVA UNIVERZITA
FAKULTA INFORMATIKY
MV011 Statistika I
Semestrální projekt
Martin Jarmar (172981)
Brno, Jaro 2010
MV011 Statistika I Martin Jarmar (172981)
Obsah
2
Obsah
Obsah.................................................................................................................................................................2
Zadání práce.......................................................................................................................................................3
Úkol 1.............................................................................................................................................................3
Úkol 2.............................................................................................................................................................3
Úkol 3.............................................................................................................................................................3
Úkol 4.............................................................................................................................................................3
Úkol 5.............................................................................................................................................................3
Úkol 6.............................................................................................................................................................3
Úkol 1.................................................................................................................................................................4
Řešení ............................................................................................................................................................4
Úkol 2.................................................................................................................................................................5
Řešení ............................................................................................................................................................5
Úkol 3.................................................................................................................................................................6
Řešení ............................................................................................................................................................6
Úkol 4.................................................................................................................................................................8
Řešení ............................................................................................................................................................8
Úkol 5.................................................................................................................................................................9
Řešení ............................................................................................................................................................9
Úkol 6...............................................................................................................................................................10
Řešení ..........................................................................................................................................................10
Použitá literatura..............................................................................................................................................11
Použitý software...............................................................................................................................................11
Seznam tabulek ................................................................................................................................................11
Seznam grafů....................................................................................................................................................11
MV011 Statistika I Martin Jarmar (172981)
Zadánípráce
3
Zadání práce
U 96 náhodně vybraných studentů VŠE v Praze byly zjištěny následující údaje:
 Pohlaví (0 – žena, 1 – muž)
 Výška (tělesná výška v cm)
 Hmotnost (tělesná hmotnost v kg)
 Známka (známka z matematiky v 1. semestru)
Úkol 1.
Zjistěte absolutní a relativní četnosti proměnných Pohlaví a Známka, přičemž pro proměnnou Známka
zjistěte též kumulativní absolutní a relativní četnosti. Pro proměnnou Pohlaví vytvořte sloupkový diagram,
pro proměnnou Známka polygon četností.
Úkol 2.
Pro proměnné Pohlaví a Známka sestavte kontingenční tabulky absolutních a relativních četností,
sloupcově a řádkově podmíněných relativních četností. Kolik procent žen má z matematiky jedničku? Kolik
procent studentů, kteří mají jedničku, jsou muži?
Úkol 3.
Podle Sturgesova pravidla stanovte optimální počet třídicích intervalů pro proměnné Výška a Hmotnost a
nakreslete jejich histogramy, a to:
a) pro celý soubor
b) pro ženy
c) pro muže
Úkol 4.
Vypočtěte minimum, maximum, medián, průměr, směrodatnou odchylku, šikmost a špičatost proměnných
Výška a Hmotnost:
a) pro celý soubor
b) pro ženy
c) pro muže
Úkol 5.
Vypočtěte a interpretujte Pearsonův koeficient korelace proměnných Výška a Hmotnost:
a) pro celý soubor
b) pro ženy
c) pro muže
Úkol 6.
Najděte rovnici regresní přímky vyjadřující závislost proměnné Hmotnost na proměnné Výška. Jaký je index
determinace a co vyjadřuje? Jaká je predikovaná hodnota hmotnosti pro výšku 175 cm? Nalezenou regresní
přímku zakreslete do dvourozměrného tečkového diagramu.
MV011 Statistika I Martin Jarmar (172981)
Úkol1.
4
Úkol 1.
Zjistěte absolutní a relativní četnosti proměnných Pohlaví a Známka, přičemž pro proměnnou Známka
zjistěte též kumulativní absolutní a relativní četnosti. Pro proměnnou Pohlaví vytvořte sloupkový diagram,
pro proměnnou Známka polygon četností.
Řešení
Tabulka 1. Tabulka četností proměnné Pohlaví
Četnost Rel. četnost
0 68 70,83333
1 28 29,16667
Obrázek 1. Sloupkový diagram proměnné Pohlaví
0 1
0
10
20
30
40
50
60
70
80
Komentář: Z tabulky a sloupkového diagramu je vidět, že zastoupení dívek oproti chlapcům je ve výběrovém
souboru více než dvounásobné. Z 96 náhodně vybraných studentů VŠE v Praze je dívek 68 a chlapců 28.
Tabulka 2. Tabulka četností proměnné Známka
Četnost
Kumulativní
(četnost)
Rel. četnost
Kumulativní
(rel. četnost)
1 15 15 15,62500 15,6250
2 35 50 36,45833 52,0833
3 46 96 47,91667 100,0000
Obrázek 2. Polygon četností proměnné Známka
1 2 3
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Komentář: Téměř polovina (47,9 %) studentů z výběrového souboru získalo z matematiky v 1. semestru
známku 3 – celkem 46. Dvojku pak mělo 35 studentů (36,5 %) a jedničku získalo 15 studentů (15,6 %).
MV011 Statistika I Martin Jarmar (172981)
Úkol2.
5
Úkol 2.
Pro proměnné Pohlaví a Známka sestavte kontingenční tabulky absolutních a relativních četností,
sloupcově a řádkově podmíněných relativních četností. Kolik procent žen má z matematiky jedničku? Kolik
procent studentů, kteří mají jedničku, jsou muži?
Řešení
Tabulka 3. Kontingenční tabulka absolutních a relativních četností pro proměnné Pohlaví a Známka
Známka
Pohlaví
1 2 3 Řádk. (součty)
Četnost
0
11 27 30 68
Celková četn. 11,46% 28,13% 31,25% 70,83%
Četnost
1
4 8 16 28
Celková četn. 4,17% 8,33% 16,67% 29,17%
Četnost
V. skup.
15 35 46 96
Celková četn. 15,63% 36,46% 47,92%
Komentář: Nejvíce jsou zastoupeny ve výběrovém souboru dívky, které dostaly z matematiky trojku – 31,25 %.
Dívek s dvojkou je jen o něco málo méně – 28,13 %. Nejméně, 4,17 %, jsou zastoupeni chlapci s jedničkou.
Tabulka 4. Kontingenční tabulka řádkově podmíněných relativních četností pro proměnné Pohlaví a Známka
Známka
Pohlaví
1 2 3 Řádk. (součty)
Četnost
0
11 27 30 68
Řádk. četn. 16,18% 39,71% 44,12%
Četnost
1
4 8 16 28
Řádk. četn. 14,29% 28,57% 57,14%
Četnost V. skup. 15 35 46 96
Komentář: Ze studentů ženského pohlaví je 16,18 % těch, kteří dostali z matematiky jedničku.
Tabulka 5. Kontingenční tabulka sloupcově podmíněných relativních četností pro proměnné Pohlaví a Známka
Známka
Pohlaví
1 2 3 Řádk. (součty)
Četnost
0
11 27 30 68
Sloupc. četn. 73,33% 77,14% 65,22%
Četnost
1
4 8 16 28
Sloupc. četn. 26,67% 22,86% 34,78%
Četnost V. skup. 15 35 46 96
Komentář: Z těch studentů, kteří mají z matematiky jedničku, je 26,67 % mužského pohlaví.
MV011 Statistika I Martin Jarmar (172981)
Úkol3.
6
Úkol 3.
Podle Sturgesova pravidla stanovte optimální počet třídicích intervalů pro proměnné Výška a Hmotnost a
nakreslete jejich histogramy, a to:
a) pro celý soubor
b) pro ženy
c) pro muže
Řešení
Sturgesovo pravidlo pro určení optimálního počtu třídících intervalů se řídí rovnicí: 𝒓 = 𝟏 + 𝟑, 𝟑 ∙ 𝒍𝒐𝒈 𝟏𝟎(𝒏),
kde n je rozsah souboru.
Celý soubor má rozsah 𝑛 = 96, tedy podle Sturgesova pravidla je optimální počet třídících intervalů roven
𝑟 = 1 + 3,3 ∙ 𝑙𝑜𝑔10 96 ≈ 8.
Obrázek 3. Histogram proměnné Výška podle třídících
intervalů (pro celý soubor)
160 164 168 172 176 180 184 188 192
0%
2%
4%
6%
8%
10%
13%
15%
17%
19%
21%
23%
25%
Obrázek 4. Histogram proměnné Hmotnost podle
třídících intervalů (pro celý soubor)
45 51 57 63 69 75 81 87 93
0%
2%
4%
6%
8%
10%
13%
15%
17%
19%
21%
23%
25%
27%
Komentář: Z histogramu pro proměnnou Výška je patrné, že nejvíce studentů má výšku z třídícího intervalu
168 až 172 centimetrů (23 %). Naopak nejvyšší studenti jsou zastoupeni nejméně. Podobně dopadl i histogram
pro proměnnou Hmotnost. Nejvíce jsou zastoupeni studenti s váhou od 57 do 63 kilogramů (26 %). Nejméně
pak studenti s nejvyšší váhou. Oba histogramy pak vykazují kladně zešikmené rozložení, tj. častější jsou nižší
hodnoty.
MV011 Statistika I Martin Jarmar (172981)
Úkol3.
7
Počet dívek v souboru je 𝑛0 = 68. Optimální počet třídících intervalů je tedy 𝑟 = 1 + 3,3 ∙ 𝑙𝑜𝑔10 68 ≈ 8.
Obrázek 5. Histogram proměnné Výška podle třídících
intervalů (pro dívky)
158 161 164 167 170 173 176 179 182
0%
3%
6%
9%
12%
15%
18%
21%
24%
26%
Obrázek 6. Histogram proměnné Hmotnost podle
třídících intervalů (pro dívky)
45 49 53 57 61 65 69 73 77
0%
3%
6%
9%
12%
15%
18%
21%
24%
26%
Komentář: Nejvíce dívek má výšku z třídících intervalů 167 až 170 a 170 až 173 centimetrů (shodně 24 %).
Okrajové hodnoty jsou zastoupeny nejméně. Rozložení proměnné Výška je u dívek v podstatě symetrické, na
rozdíl od proměnné Hmotnost, která se jeví kladně zešikmená. Častější jsou menší hodnoty. Nejvíce dívek má
hmotnost v třídícím intervalu 53 až 57 kilogramů (24 %). Nejméně jsou pak zastoupeny okrajové hodnoty.
Chlapců je v souboru celkem 𝑛1 = 28, tedy optimální počet třídících intervalů podle Sturgesova pravidla je
𝑟 = 1 + 3,3 ∙ 𝑙𝑜𝑔10 28 ≈ 6.
Obrázek 7. Histogram proměnné Výška podle třídících
intervalů (pro chlapce)
168 172 176 180 184 188 192
0%
7%
14%
21%
29%
36%
43%
Obrázek 8. Histogram proměnné Hmotnost podle
třídících intervalů (pro chlapce)
60 65 70 75 80 85 90
0%
7%
14%
21%
29%
36%
43%
Komentář: Je vidět, že nejčastěji se vyskytují chlapci s výškou z třídícího intervalu 176 až 180 centimetrů (36 %).
Nejméně často se pak vyskytuje výška od 172 do 176 centimetrů (3,5 %). Z histogramu hmotnosti lze vyčíst, že
nejčastěji jsou zastoupeni chlapci vážící 70 až 75 kilogramů (39 %). Nejméně často se vyskytují chlapci
s hmotností 85 až 90 kilogramů (3,5 %). Rozložení hmotnosti se jeví jako lehce kladně zešikmené. Výška je pak,
na rozdíl od předchozích, záporně zešikmená – vyšší hodnoty jsou častější než nižší.
MV011 Statistika I Martin Jarmar (172981)
Úkol4.
8
Úkol 4.
Vypočtěte minimum, maximum, medián, průměr, směrodatnou odchylku, šikmost a špičatost proměnných
Výška a Hmotnost:
a) pro celý soubor
b) pro ženy
c) pro muže
Řešení
Tabulka 6. Číselné charakteristiky proměnných Výška a Hmotnost pro celý soubor
Průměr Medián Minimum Maximum Sm. odch. Šikmost Špičatost
Výška 173,1875 172,0000 160,0000 192,0000 7,336014 0,427816 -0,299328
Hmotnost 63,3750 62,5000 48,0000 90,0000 9,327097 0,587740 -0,134992
Komentář: Směrodatná odchylka je u proměnné Hmotnost cca o dvě jednotky vyšší než u proměnné Výška.
Obě proměnné dále vykazují kladně zešikměné rozložení (levostranná asymetrie), které je dle hodnot
špičatosti ploché (podnormální špičatost). U výšky platí, v porovnání s hmotností, rozložení méně zešikmené a
více ploché.
Tabulka 7. Číselné charakteristiky proměnných Výška a Hmotnost pro ženy
Průměr Medián Minimum Maximum Sm. odch. Šikmost Špičatost
Výška 169,9412 170,0000 160,0000 181,0000 5,063426 0,016957 -0,637971
Hmotnost 59,2647 58,0000 48,0000 75,0000 6,391734 0,322420 -0,445733
Tabulka 8. Číselné charakteristiky proměnných Výška a Hmotnost pro muže
Průměr Medián Minimum Maximum Sm. odch. Šikmost Špičatost
Výška 181,0714 181,0000 168,0000 192,0000 5,893679 -0,249187 0,088572
Hmotnost 73,3571 73,0000 61,0000 90,0000 7,670117 0,171732 -0,532916
Komentář: Chlapci vykazují v průměru daleko vyšší hodnoty u proměnných Výška a Hmotnost než dívky.
Stejně tak maximální a minimální hodnoty i směrodatná odchylka jsou u chlapců vyšší. V porovnání s celým
souborem je však směrodatná odchylka nižší jak u dívek, tak u chlapců.
Výška u dívek je v podstatě symetrická, avšak s plochým rozložením. Ploché rozložení lze také pozorovat u
hmotnosti, která je zároveň kladně zešikmená.
Výška chlapců je na rozdíl od dívek, či v porovnání s celým souborem, záporně zešikmená s rozložením téměř
normálním. Hmotnost je pak levostranně asymetrická s plochým rozložením.
MV011 Statistika I Martin Jarmar (172981)
Úkol5.
9
Úkol 5.
Vypočtěte a interpretujte Pearsonův koeficient korelace proměnných Výška a Hmotnost:
a) pro celý soubor
b) pro ženy
c) pro muže
Řešení
Tabulka 9. Pearsonův koeficient
korelace proměnných Výška a
Hmotnost pro celý soubor
Výška Hmotnost
Výška 1,00 0,74
Hmotnost 0,74 1,00
Tabulka 10. Pearsonův koeficient
korelace proměnných Výška a
Hmotnost pro ženy
Výška Hmotnost
Výška 1,00 0,51
Hmotnost 0,51 1,00
Tabulka 11. Pearsonův koeficient
korelace proměnných Výška a
Hmotnost pro muže
Výška Hmotnost
Výška 1,00 0,49
Hmotnost 0,49 1,00
Komentář: U dívek a u chlapců existuje středně silná kladná korelace mezi proměnnými Výška a Hmotnost.
To znamená, že čím vyšší (resp. nižší) hodnota jedné proměnné, tím vesměs vyšší (resp. nižší) hodnota druhé
proměnné. V celém souboru je pak kladná korelace mezi proměnnými Výška a Hmotnost ještě silnější.
MV011 Statistika I Martin Jarmar (172981)
Úkol6.
10
Úkol 6.
Najděte rovnici regresní přímky vyjadřující závislost proměnné Hmotnost na proměnné Výška. Jaký je index
determinace a co vyjadřuje? Jaká je predikovaná hodnota hmotnosti pro výšku 175 cm? Nalezenou regresní
přímku zakreslete do dvourozměrného tečkového diagramu.
Řešení
Tabulka 12. Výsledky regrese se závislou proměnnou: Hmotnost
R= ,73970198 R2= ,54715901 Upravené R2= ,54234156
F(1,94)=113,58 p<,00000 Směrod. chyba odhadu : 6,3098
b* Sm. chyba (z b*) b Sm. chyba (z b) t(94) p-hodn.
Abs. člen -99,5020 15,29667 -6,50481 0,000000
Výška 0,739702 0,069408 0,9405 0,08825 10,65732 0,000000
Rovnice regresní přímky: Hmotnost = -99,5 + 0,94∙Výška
Zvýší-li se výška o jeden centimetr, zvýší se hmotnost v průměru o 0,94 kilogramu.
Index determinace: ID2 = 0,547
Model regresní přímky vysvětluje variabilitu proměnné Hmotnost z 54,7 %.
Tabulka 13. Tabulka predikce
b-váha Hodnota b-váha (* Hodnot)
Výška 0,940466 175,0000 164,5816
Abs. člen -99,5020
Předpověď 65,0796
-95,0%LS 63,7621
+95,0%LS 66,3971
Komentář: Tabulka udává, že predikovaná hodnota hmotnosti pro výšku 175 cm je:
Hmotnost = -99,5 + 0,94∙Výška = 65,08 kg
Obrázek 9. Dvourozměrný tečkový diagram se zakreslenou regresní přímkou
155 160 165 170 175 180 185 190 195
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
Komentář: Jednotlivé body jsou více méně rozmístěny kolem regresní přímky, tedy pro modelování dané
závislosti je uvedená regresní přímka vhodná.
MV011 Statistika I Martin Jarmar (172981)
Použitáliteratura
11
Použitá literatura
Budíková, Marie, Mikoláš, Štěpán a Osecký, Pavel. 2007. Popisná statistika. Brno : Masarykova univerzita,
2007. ISBN: 978-80-210-4246-9.
Použitý software
Trial verze programu STATISTICA Cz 9.0. Copyright StatSoft, Inc. 1984-2009. (http://www.statsoft.com/)
→ Pro účely výpočtů tabulek a grafů.
MS Office 2007. Copyright Microsoft Corporation 2007. (http://www.microsoft.com/)
→ Pro účely vizuální prezentace.
Seznam tabulek
TABULKA 1. TABULKA ČETNOSTÍ PROMĚNNÉ POHLAVÍ....................................................................................................4
TABULKA 2. TABULKA ČETNOSTÍ PROMĚNNÉ ZNÁMKA......................................................................................................4
TABULKA 3. KONTINGENČNÍ TABULKA ABSOLUTNÍCH A RELATIVNÍCH ČETNOSTÍ PRO PROMĚNNÉ POHLAVÍ A ZNÁMKA ....................5
TABULKA 4. KONTINGENČNÍ TABULKA ŘÁDKOVĚ PODMÍNĚNÝCH RELATIVNÍCH ČETNOSTÍ PRO PROMĚNNÉ POHLAVÍ A ZNÁMKA ........5
TABULKA 5. KONTINGENČNÍ TABULKA SLOUPCOVĚ PODMÍNĚNÝCH RELATIVNÍCH ČETNOSTÍ PRO PROMĚNNÉ POHLAVÍ A ZNÁMKA .....5
TABULKA 6. ČÍSELNÉ CHARAKTERISTIKY PROMĚNNÝCH VÝŠKA A HMOTNOST PRO CELÝ SOUBOR..................................................8
TABULKA 7. ČÍSELNÉ CHARAKTERISTIKY PROMĚNNÝCH VÝŠKA A HMOTNOST PRO ŽENY.............................................................8
TABULKA 8. ČÍSELNÉ CHARAKTERISTIKY PROMĚNNÝCH VÝŠKA A HMOTNOST PRO MUŽE ...........................................................8
TABULKA 9. PEARSONŮV KOEFICIENT KORELACE PROMĚNNÝCH VÝŠKA A HMOTNOST PRO CELÝ SOUBOR ......................................9
TABULKA 10. PEARSONŮV KOEFICIENT KORELACE PROMĚNNÝCH VÝŠKA A HMOTNOST PRO ŽENY ...............................................9
TABULKA 11. PEARSONŮV KOEFICIENT KORELACE PROMĚNNÝCH VÝŠKA A HMOTNOST PRO MUŽE ..............................................9
TABULKA 12. VÝSLEDKY REGRESE SE ZÁVISLOU PROMĚNNOU: HMOTNOST R= ,73970198 R2= ,54715901 UPRAVENÉ
R2= ,54234156 F(1,94)=113,58 P<,00000 SMĚROD. CHYBA ODHADU : 6,3098 ...................................................10
TABULKA 13. TABULKA PREDIKCE..............................................................................................................................10
Seznam grafů
OBRÁZEK 1. SLOUPKOVÝ DIAGRAM PROMĚNNÉ POHLAVÍ................................................................................................4
OBRÁZEK 2. POLYGON ČETNOSTÍ PROMĚNNÉ ZNÁMKA.....................................................................................................4
OBRÁZEK 3. HISTOGRAM PROMĚNNÉ VÝŠKA PODLE TŘÍDÍCÍCH INTERVALŮ (PRO CELÝ SOUBOR).................................................6
OBRÁZEK 4. HISTOGRAM PROMĚNNÉ HMOTNOST PODLE TŘÍDÍCÍCH INTERVALŮ (PRO CELÝ SOUBOR)...........................................6
OBRÁZEK 5. HISTOGRAM PROMĚNNÉ VÝŠKA PODLE TŘÍDÍCÍCH INTERVALŮ (PRO DÍVKY) ..........................................................7
OBRÁZEK 6. HISTOGRAM PROMĚNNÉ HMOTNOST PODLE TŘÍDÍCÍCH INTERVALŮ (PRO DÍVKY).....................................................7
OBRÁZEK 7. HISTOGRAM PROMĚNNÉ VÝŠKA PODLE TŘÍDÍCÍCH INTERVALŮ (PRO CHLAPCE).......................................................7
OBRÁZEK 8. HISTOGRAM PROMĚNNÉ HMOTNOST PODLE TŘÍDÍCÍCH INTERVALŮ (PRO CHLAPCE).................................................7
OBRÁZEK 9. DVOUROZMĚRNÝ TEČKOVÝ DIAGRAM SE ZAKRESLENOU REGRESNÍ PŘÍMKOU........................................................10