P114_4
‹#›
P114_4
1
P114
Logické základy
TIL
4

P114_4
‹#›
P114_4
2
Témata
•parciální funkce, báze a typy
•objekty typu T
•TIL, Frege-Churchův trojúhelník označení
•epistémická báze
•universum diskursu
•možné světy
•extenze a intenze
•pojmy, sémantika

P114_4
‹#›
P114_4
3
parciální funkce ...
(opakování)
•n-ární funkce:  složitost funkce je n+1
•funkce nedefinovaná na n-tici
•totožnost funkcí :  princip extenzionality
F1: M1x...xMn → M, F2: M1x...xMn  → M,
X Î M1x..xMn, Y Î M  -- libovolné :
F1(X) = Y právě když F2(X) = Y, píšeme  F1 = F2
•důsledek:
je-li F1 = F2 a Z libovolný prvek z M1x...xMn, pak F1 je na Z nedefinováno právě tehdy, když F2 je
na Z nedefinováno

P114_4
‹#›
P114_4
4
funkce jako procedura
(opakování)
•procesní pohled
•(parciální) funkce je „výpočetní“ resp. „vyhodnocovací“ pravidlo/procedura, které poskytne buď nic
nebo výsledek z množiny M, jestliže jí na vstupu zadáme hodnoty parametrů
z M1x...xMn
•deklar x1,..., xn::M1,..., Mn deklar y::M (tělo proc)
•xi ... formální parametry, y ... výsledek

P114_4
‹#›
P114_4
5
Definice typů
•B1, ..., Bn jsou neprázdné, vzájemně disjunktní množiny.
Kolekci takových množin nazveme báze B.
(1) Každý prvek z B (tj. každá z množin B1, ..., Bn je
      typ nad (bází) B.
(2) Nechť T1, ..., Tm jsou typy nad B. Pak kartézský
      součin T1 x ... x Tm, značený (T1,...,Tm), je typ nad B •    (3) Nechť T, T1, ..., Tm jsou
typy nad B. Pak množina
      všech možných parciálních funkcí z T1 x ... x Tm
      do T, značená (TT1...Tm), je typ nad B
(4) Typ nad B je jenom to, co splňuje (1) až (3).
•Typy tvoří nad bází B nekonečnou hierarchii

P114_4
‹#›
P114_4
6
Relace a třídy jako typy
•Nechť Bool = {P, N}= {T, F}= {Pravda, Nepravda}= ...   je množina pravdivostních hodnot.
•Nechť báze B obsahuje (mimo jiné) množinu Bool. Nad takovou bází jsou typem (pomocí
charakteristické funkce):
–relace
–třídy (množiny)
•Typ, který je kartézským součinem, nazýváme n-ticový typ a značíme (T1, ..., Tm)
•Všechny n-ticové typy předpokládáme v tzv. normálním tvaru: žádné Ti není n-ticový typ.

P114_4
‹#›
P114_4
7
Pro totální funkce platí
•Schönfinkelova redukce: Typ (TT1T2 ... Tn) je přirozeně ekvivalentní s typem
(...(TTn)Tn-1 ...)T1) •Přirozená projekce: Typ ((T1, ..., Tn)T) je přirozeně ekvivalentní s typem
((T1T), (T2T), ..., (TnT)) •Přirozená ekvivalence: totožnost podle principu extenzionality
-- výskyt funkce jednoho typu v libovolném výrazu je možno nahradit výskytem funkce druhého typu

P114_4
‹#›
P114_4
8
T-objekt nad B:
•Nechť T je typ nad bází B. Každý prvek
t z množiny T nazýváme objektem typu T nad B, nebo-li T-objektem nad B. •Fakt, že t je T-objektem
nad B, zapisujeme formou
t/T •PŘÍKLADY: B = {#Zam, #Proj, Bool}
#Zam = {Kos, Sam, Mot}
#Proj =  {Pojist, Maso}
#Proj-objekty ?, (Bool #Zam)-objekty ?,
(#Zam #Proj)-objekty ?
kolik kterých je?

P114_4
‹#›
P114_4
9
označování
•(TT1T2 ... Tn) =df ((T1, ..., Tn) ® T)
•(#Zam #Proj)-objekty =df (#Proj ® #Zam)-objekty
•((Bool #Zam) #Proj)-objekty =df
(#Proj ® (#Zam  ® Bool))-objekty •Schönfinkelova redukce: Typ ((T1, ..., Tn) ® T) je přirozeně
ekvivalentní s typem
(T1 ®(T2 ®...(Tn ®T) ...) •Přirozená projekce: Typ (T ®(T1, ..., Tn)) je přirozeně ekvivalentní s
typem
((T ® T1), (T ® T2), ..., (T ® Tn))

P114_4
‹#›
P114_4
10
Cíle v DM
•domluvit se
•vyjít z přirozeného jazyka, kterým se všichni (uživatelé, zákazníci, informatici ...) vyjadřují
•poznat adekvátní pojmy
•budovat všechny konstrukce nad rozumně zvolenou bází

P114_4
‹#›
P114_4
11
TIL = transparentní intenzionální logika
•logika založená na typovaném lambda kalkulu jako nástrojem pro práci s funkcemi (pro konstrukci
funkcí) •transparentní systém, formální aparát není předmětem studia ale jenom prostředkem ke
studiu konstrukcí •nepreferuje jistá tzv. logická slova (logické spojky, kvantifikátory,...)
•sémantika založená na „možných světech“
•„univerzum“ je chápáno jako společné všem možným světům

P114_4
‹#›
P114_4
12
TIL  - pokračování
•nahrazuje Frege/Churchův trojúhelník označení:
výraz označuje objekt a
výraz vyjadřuje smysl
korigovaným trojúhelníkem označení:
výraz označuje objekt
výraz vyjadřuje konstrukci
konstrukce konstruuje objekt
(viz dále) •co je epistémickou (poznávací) bází ?
(viz dále)

P114_4
‹#›
P114_4
13
Frege-Church: Trojúhelník Označení
výraz NL
(president USA)
objekt
(George Bush, Jr)
smysl
(individuální úřad)
označuje
vyjadřuje
?

P114_4
‹#›
P114_4
14
Korigovaný Trojúhelník Označení
výraz NL
(president USA)
           objekt
(George Bush, Jr)
konstrukce
(individuový úřad)
označuje
vyjadřuje
    (representuje)
konstruuje
      (identifikuje)
v závislosti na stavu světa

P114_4
‹#›
P114_4
15
epistémická báze
•epistémická báze: B = {Bool, Tim, Univ, Wrd,}
•Bool obsahuje prvky Pravda, Nepravda
•Tim je množina časových okamžiků, reálná čísla
•Univ je množina individuí apriorně daných
•Wrd je množina možných světů, logický prostor
•epistémické báze se mohou vzájemně lišit v množinách Univ a Wrd •o objektech „bydlících“ v typech
nad takovou bází je právě schopen vypovídat přirozený jazyk

P114_4
‹#›
P114_4
16
Universum diskurzu
•individua (= jednotliviny)
•individua jsou jakékoli (ne? nutně fyzické) objekty vzájemně odlišitelné (objekty časoprostorového
světa) •jsou to „nositelé vlastností“ a jsou odlišné od těchto vlastností •jsou dána (vzhledem k
jazyku jímž komunikujeme) a priori: zkoumáme-li, jaké vlastnosti má daný objekt nemůžeme současně
zjišťovat, o které individuum jde - vždy víme, které individuum vyšetřujeme •zde odmítáme tzv.
esencialismus: „individua mají některé empirické vlastnosti nutně - ty tvoří jejich esenci =
podstatu“

P114_4
‹#›
P114_4
17
Universum diskurzu  -pokračování
•podstatnou charakteristikou je vzájemná odlišitelnost •ta je závislá na stavu našeho (vědeckého)
poznání reálného světa (zejména na fyzikálním poznání)
•individuum se nemůže přeměnit v jiné individuum, ale
•individuum může přebírat v různých stavech světa různé vlastnosti, které (i velmi podstatně) mění
jeho povahu (charakter) a tím i roli, kterou vůči nám jako pozorovatelům hraje
•(zde je základ ovlivnění DM filosofickou logikou)

P114_4
‹#›
P114_4
18
Možné světy
•původně G. Leibnitz, autor TIL P. Tichý
•svět nechápeme jako souhrn věcí
•možný svět je souhrn všech faktů, které mohou platit a při tom si vzájemně neodporují •množinu
faktů, které neobsahují spor nazýváme konzistentní •každá konzistentní množina faktů obsahuje
fakta, která jsou (logicky) možná resp. myslitelná •základní intuice vnímání jakéhokoli „světa“ je
jeho vývoj v čase

P114_4
‹#›
P114_4
19
Možné světy -pokračování
•každý možný svět je možno vidět jako časovou posloupnost maximálních množin logicky myslitelných
faktů
možné světy
časové okamžiky
...
časová trajektorie konzistentního
rozložení elementárních rysů
po individuích a funkcích nad
Bool, Tim, Univ

P114_4
‹#›
P114_4
20
Možné světy -pokračování
•soubor všech možných světů (Wrd) určuje to, co je logicky možné, proto jej nazýváme také „logický
prostor“
•Wrd je dáno a priori (stejně jako ostatní prvky báze)
•časová posloupnost množin všech skutečných faktů se nazývá aktuální svět •který z možných světů je
aktuální, nelze „logicky vypočítat“, ale lze pouze empiricky zjišťovat některou výseč aktuálního
světa
•vědět, který z možných světů je aktuální = vševědoucnost

P114_4
‹#›
P114_4
21
Možné světy -pokračování
•tvrzení, že daný poznatek je (v daném okamžiku) pravdivý, znamená, že mezi možnými světy ve
kterých tento poznatek platí, je aktuální svět •poznatky sdělujeme oznamovacími větami, tzv.
propozicemi •každá propozice vyčleňuje ve Wrd podmnožinu těch možných světů, ve kterých je ona
pravdivá •v daném časovém okamžiku pravdivé propozice o stavu světa vyčleňují tedy ve Wrd
podmnožinu možných světů, která zaručeně obsahuje aktuální svět

P114_4
‹#›
P114_4
22
intenze, extenze
•T je typ nad epistémickou bází EB
(1) neexistuje T1 nad EB tak, že
      T=((T1Tim)Wrd), pak
      T-objekty jsou intenze 0-tého řádu (extenze)
(2)  nechť T intenze k-tého řádu. Potom
      ((TTim)Wrd)-objekty jsou intenze (k+1)-ho
      řádu
(3)  intenze k-tého řádu pro k > 0 nazýváme
       intenze

P114_4
‹#›
P114_4
23
extenze, intenze - příklady
•třídy individuí: (BoolUniv)-objekty -- extenze
•vlastnosti individuí:
(((BoolUniv)Tim)Wrd)-objekty  -- intenze
•propozice: ((BoolTim)Wrd)-objekty  -- intenze
•individuové úřady: ((UnivTim)Wrd)-objekty
-- intenze •veličiny: ((TimTim)Wrd)-objekty
(počet vlasů na hlavě)  -- intenze •třídy vlastností: (Bool(((BoolUniv)Tim)Wrd))-objekty
-- extenze!
•

P114_4
‹#›
P114_4
24
Důležité intenze - vlastnosti individuí:
•(((BoolUniv)Tim)Wrd)-objekty
•(Wrd ® (Tim ® (Univ ® Bool)))
•Příklady:
–být kočkou: možnému světu přiřazuje historii vývoje populace koček
•„být kočkou“ není dáno daným okamžikem, a v různých možných světech mohou být populace  (extenze)
koček různé
–být Zaměstnancem
–být Dodavatelem
–být Zbožím
–být Odběratelem
•

P114_4
‹#›
P114_4
25
Důležité intenze - propozice:
•((BoolTim)Wrd)-objekty
•(Wrd ® (Tim ® Bool))
•oznamovací věty jejichž pravdivost je závislá na stavu světa
•Příklady:
–V Brně právě teď prší.
–Kostelecké uzeniny dodávají jemné párky do prodejen Tesco a Makro.  (1)
–Dodavatel (MPK) dodává výrobek (Selský salám) do prodejen odběratele (Delvita). (2)
•(1) a (2) jsou propozice „generované“ atributem OdbDodZbozi z minulé přednášky -- viz dále
–

P114_4
‹#›
P114_4
26
HIT-atribut jako „generátor“ propozic
DOD
ZBOZI
ODB
kterým daný
dodává dané
OdbDodZbozi
0,M
  ..
0,M

P114_4
‹#›
P114_4
27
Jaké propozice vygeneruje atribut ?
MNOZSTVI
ZBOZI
DOD
ODB
MnoZboDodOdbCas
daného
druhu
dodané
daným
danému
0,M
  ..
0,1
CAS
v daném

P114_4
‹#›
P114_4
28
Jaké propozice vygenerují atributy ?
jak se to bude lišit ?
ZBOZI
DOD
dodávající
dané
DodZbozi1
ZBOZI
DOD
dodávající
dané
DodZbozi2

P114_4
‹#›
P114_4
29
další důležité intenze
•individuové úřady: ((UnivTim)Wrd)-objekty
–president USA
–Jitřenka, Večernice
–nejvyšší hora na zeměkouli
–děkan FI MU
•veličiny: ((TimTim)Wrd)-objekty
–počet vlasů na hlavě
–počet dodavatelů daného výrobku
–hustota roztoku vstupujícího do výrobní operace

P114_4
‹#›
P114_4
30
TIL s jednoduchou teorií typů
(historicky původní stanovisko  -- 80-tá léta)
•Pojmové zachycování světa je v NL uskutečňováno pomocí jmen pojmů, jmen extenzí, syntaktických
elementů a pragmatiky •Pojmy: lze ztotožnit s intenzemi (výrazy jazyka označující intenze, jsou
jména pojmů) •Extenze v jazyce: jména extenzí v přirozeném jazyce jsou: spojky označující
pravdivosttní funkce, kvantifikátory, matematické výrazy, vlastní jména míněná jako
„nálepky-jmenovky“ individuí, ... •Pragmatika v jazyce: označení objektů v závislosti na situaci, v
níž se děje promluva
•Syntaktické elementy: nemají samostatnou sémantiku (než, že,...)

P114_4
‹#›
P114_4
31
TIL s jtt: korekce
•základní intuice (viz úvod): pojmy jsou identifikační procedury - způsob zadání objektů •tedy
pojmy nemůžeme ztotožnit přímo s intenzemi, ale s konstrukcemi intenzí !!! •POZN.: takové pojetí
„pojmu“ nezahrnuje matematické pojmy •v tomto pojetí stojí konstrukce mimo budovanou teorii a jsou
pouze nástrojem pro práci s objekty •tento přístup neumožňuje vybudovat konzistentní teorii
pojmu       (viz DM2)
•

P114_4
‹#›
P114_4
32
sémantika
•vše o čem hovoří matematická logika i celá matematika, lze vybudovat pohodlně nad B = {Bool, Univ,
Tim}   ... •... ale sémantika sdělení používaných v přirozeném jazyce při popisu reálného světa
chybí •sémantiku lze zahrnout do podpůrné teorie právě nad epistémickou bází
EB = {Bool, Univ, Tim, Wrd}
•(sémantika možných světů)
•existují i jiné přístupy k budování sémantiky ...