Zkouška MB202
JS 2014, sk. A
Jméno a příjmení
uco
Počet listů přílohy
Příklad	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	Z	E
Body															
Příklad 1   [4 b.]
Je dána funkce /(*) =
2   • 1
x sin -
0
x = 0.
a) Napište definici spojitosti funkce v bodě a s její pomocí rozhodněte o spojitosti funkce / v bodě x0 = 0.
b) Napište definici derivace funkce v bodě a s její pomocí určete derivaci funkce / v bodě x0 = 0.
► Příklad 2 [3 b. ] : Naformulujte některou Bolzanovu větu o spojité funkci a kratčeji vysvětlete na obrázku.
► Příklad 3 [3b.]: Udejte příklad funkcí g,h, které nejsou na intervalu [—2, 3] integro-vatelné (v Riemannově smyslu), ale absolutní hodnota těchto funkcí, tj. \g\, \ h\, zde integrova-telné jsou a platí
\g(x) \ dx = 17,
\h(x) \ dx
-3.
'-2 J-2
Vše pro zvolené funkce řádně zdůvodněte, popř. zdůvodněte, proč požadovaná funkce neexistuje.
► Příklad 4 [5b.]: Uveďte definici vlastnosti, která zajistí, že je konvergentní řadu možné přeskládat v řadu divergující k minus nekonečnu. Napište příklad řady s touto vlastností a popište (stačí obecně) jak lze takové přeskládání provést.
► Příklad 5  [3 b.]:   Najděte Lagrangeův interpolační polynom funkce dané tabulkou.
X	-1	0	2	3
/(*)	5	10	2	1
Dále pomocí získaného polynomu odhadněte hodnotu funkce / v x0 = —1/2. ► Příklad 6  [3 b.]:    Určete limity
_ /     íl x \ln x
(i) lim (3n — v9n2 — 3),    (ii)  lim ( cos — )     ,    (iii) lim
e z
i
72
x^0 \ x
100
► Příklad 7 [3 b.]: Vlakjedoucí rychlostí 90 km/h má zabrzdit tak, aby se rovnoměrně zpomaleným pohybem zastavil na vzdálenosti 1 km.
a) Za jaký čas zastaví?
b) Jaká bude jeho rychlost 30 s potom, co začne brzdit?
(Nápověda: Dráhu popisuje vztah s = v0t — ^at2, kde v0 je počáteční rychlost, a je zrychlení.)
► Příklad 8  [3 b. ] :   Určete intervaly monotonie a lokální extrémy funkce
/(*) = ^2-
► Příklad 9  [3 b.]:   Vyčíslete integrály
(i)   /    — dx,    [ii)   j   rrsinrrdrr,    (to)   / —=—-=dx.
Ji   xVl + \nx Jo Ji y/xevx
► Příklad 10  [2 b.]:   Určete pro která x E IR je mocninná řada
(-l)n(x + 2)n
n + J n
n=l
konvergentní / absolutně konvergentní / relativně konvergentní. ► Příklad 11  [3 b.]:   Pomocí součtu mocninné řady
oo
^n(n + 2)xn,       \x\ < 1,
n=l
určete součet řady
OO 9 í-i
n=l
► Příklad 12  [2 b.]:   Vyřešte počáteční problém
y ln y + ary' = 0,    y(l) = 1.
► Příklad 13 [3b.]: V čase í0 = 0 minut má káva v hrnku teplotu 100°C a po 15 minutách má teplotu 75° C, přičemž teplota okolního prostředí je 20°C. Označme teplotu kávy v čase t minut jako funkci T (ť).
a) Napište diferenciální rovnici, kterou musí funkce T (t) splňovat a tuto rovnici vyřešte.
b) Určete za jak dlouho bude mít káva teplotu 50°C.
t> Do první tabulky vyplňte čitelně identifikační údaje a počet listů, které k zadání přikládáte. t> Druhou tabulku ponechejte prázdnou.
t> U výpočtů příkladů řádně označujte, ke kterému příkladu (a jeho části) patří.
t> Každý výsledek musí být podpořen výpočtem (zdůvodněním), jakkoli je triviální.
t> Všechny papíry s výpočty podepište a odevzdejte společně se zadáním.
t> Není povoleno použití kalkulačky ani žádných materiálů (tabulky, vzorce, skripta, poznámky,...). Jakýkoli pokus o podvádění bude mít za následek hodnocení 0 bez možnosti opravy.