Literatura Normální podgrupy a faktorgrupy Akce grupy na množině oooooooooooooo Diskrétní matematika B - 8. týden Teorie grup - dokončení a aplikace Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky jaro 2014 Normální podgrupy a faktorgrupy oooooooooooooo Normální podgrupy a faktorgrupy • Hlavní věty o grupách Q Akce grupy na množině Literatura Normální podgrupy a faktorgrupy oooooooooooooo Akce grupy na množině • Jan Slovák, Martin Panák, Michal Bulant, Matematika drsně a svižně, MU Brno, 2013, 774 s. (též jako e-text). • Předmětové záložky v IS MU • Jiří Rosický, Algebra, PřF MU, 2002. • Peter J. Cameron. Introduction to algebra, Oxford University Press, 2001, 295 s. (Dostupné v knihovně PřF). • Nathan Carter. Visual Group Theory, The Mathematical Association of America, 2009, 297 s. (Viz web). • Groupprops, The Group Properties Wiki (beta) (Viz http://groupprops.subwiki.org/wiki/Main_Page). Normální podgrupy a faktorgrupy Akce grupy na množině •ooooooooooooo Charakterizace konečných komutativních grup Věta (Hlavní věta konečných komutativních grup) Je-li G konečná komutativní grupa, pak platí: pro vhodná ri\,..., n^ £ N \ {1} splňující nl+i \ n, pro 1 < / < k — 1. Tento rozklad je přitom jednoznačný. Důsledek Každé prvočíslo p, dělící řád grupy G, dělí n^. Je-li n součinem různých prvočísel, pak jedinou komutativní grupou řádu n je (až na izomorfismus) cyklická grupa Z„. Literatura Normální podgrupy a faktorgrupy Akce grupy na množině o»oooooooooooo Příklad Určete všechny komutativní grupy řádu 180. Řešení Protože 180 = 22 • 32 • 5, dostáváme, že možné hodnoty rt\ jsou ni = 22 • 32 • 5, 22 • 3 • 5, 2 • 32 • 5 nebo 2-3-5. Pro rt\ = 2 • 3 • 5 dostáváme možné hodnoty r>2 = 2, 3 nebo 6. V prvních dvou případech dostáváme díky podmínce nj | r>2 spor. Jediná komutativní grupa řádu 6 je proto v tomto případě dostáváme grupu Z30 x Z6. Ve zbylých (ještě jednodušších) případech dostáváme další komutativní grupy řádu 180: ZgQ X Z3,Zgo X Z2,Zi80- Literatura Normální podgrupy a faktorgrupy oo»ooooooooooo Akce grupy na množině Existence podgrup daného řádu Připomeňme, že Lagrangeova věta říká, že řád podgrupy vždy dělí řád grupy. Přirozenou opačnou otázkou pak je, jak je to s existencí podgrup řádů dělících řád grupy. V případě cyklické grupy je situace jednoduchá - již z teorie čísel víme, že zde existují podgrupy všech řádů (je-li g generátor grupy řádu n, pak pro d | n má prvek g"ld řád d, a proto rovněž generuje podgrupu tohoto řádu). Situace v případě necyklických, či dokonce nekomutativních, grup je podstatně složitější. U komutativních grup lze podgrupy „vyčíst" z Hlavní věty, obecný případ alespoň částečně popisují následující věty. Věta (Cauchy) Je-li konečná grupa G řádu dělitelného prvočíslem p, pak obsahuje prvek řádu p. Literatura Normální podgrupy a faktorgrupy OOOOOOOOOOOOOO Akce grupy na množině Věta (Sylowova) Konečná grupa G řádu pam (p je prvočíslo, p\ m) má vždy podgrupu řádu pa. Pro počet np takových podgrup platí np = 1 (mod p) a np \ m. Důkaz Cauchyovy věty. Důkaz není úplně triviální, naznačme jej alespoň v případě komutativní grupy G. Budeme postupovat úplnou matematickou indukcí. Je tedy \ G\ > 1. Pokud \ G\ = p, jsme hotovi. Bud' nyní \G\ > p a x e G,x ^ e libovolný. Pokud p dělí řád r prvku x, tj. r = p ■ n, pak p je řádem prvku x". Nechť tedy p f r a označme N = (x). Zřejmě N <\ G a IG/N\ < \ G\. Protože p\ \ N\, nutně p | |G/N\ a můžeme využít indukční předpoklad. V grupě G/N tedy existuje prvek yN řádu p (odkud y ^ A/,yp G N), odkud dostáváme (yp) 7^ (y), zejména je tedy řád yp menší než řád y. Ze znalosti vztahu pro řád mocniny (viz teorie čísel) dostáváme, že řád y je násobkem p a jsme v situaci z předchozího odstavce. □ Normální podgrupy a faktorgrupy Akce grupy na množině oooo»ooooooooo Jordan-Hólderova věta Jak jsme viděli, v některých případech jsme schopni z informací o normální podgrupě N < G a o faktorgrupě G/N získat informaci o celé grupě G. Jednoduché grupy, které tento proces nepřipouštějí, jsou základními stavebními kameny grup (analogie prvočísel). Definice Posloupnost podgrup grupy G {e} = N0 < A/i <■■■< Nk = G se nazývá kompoziční řada (též J.-H. řada), pokud N, < A//+i a Ni+i/Nj je prostá. Příklad Pro Dg máme např. kompoziční řady {e} < (s) < (s, r2) < D% a {e} < (r2) < (r) < D8. Literatura Normální podgrupy a faktorgrupy ooooo^oooooooo Akce grupy na množině Věta (Jordan-Holderova) Konečná grupa má vždy kompoziční řadu, která je jednoznačně určená až na izomorfismus faktorů (tj. počet členů dvou takových řad je stejný a příslušné faktorgrupy jsou izomorfní. Normální podgrupy a faktorgrupy Akce grupy na množině oooooo»ooooooo Vztah normálních podgrup a homomorfismů Všechna jádra homomorfismů jsou normální podgrupy. Naopak, jestliže je podgrupa H c G normální, pak zobrazení (projekce na faktorgrupu) p : G —>■ G/H, 3i-> a ■ H je surjektivní homomorfismus grup s jádrem H. Skutečně, p je dobře definované, přímo z definice násobení na G/H je vidět, že to musí být homomorfismus, který je zjevně na. Je tedy vidět, že normální podgrupy jsou právě všechna jádra homomorfismů. Duální pojmy • Homomorfismus f =4> normální podgrupa ker f • Normální podgrupa H =5- homomorfismus G —^ G/H Normální podgrupy a faktorgrupy Akce grupy na množině ooooooo»oooooo Věty o izomorfismu Věta (první, základní) Pro libovolný homomorfismus grup f také homomorf ismus G -+ K je dobře definován f : G/kerf K, f(a ker f) = který je injektivní. Zejména dostáváme G / ker f = f(G). Literatura Normální podgrupy a faktorgrupy oooooooo»ooooo Akce grupy na množině Předchozí věta je nejčastěji používanou větou z vět o izomorfismech. Používá se zejména pro určení struktury faktorgrupy (resp. často spíše pro potvrzení, tj. důkaz, intuitivně zřejmé struktury). Příklad Čemu je izomorfní faktorgrupa regulárních matic řádu n nad M. podle podgrupy matic determinantu 1 (tj., čemu se rovná GL„(M)/SLn(M))? Literatura Normální podgrupy a faktorgrupy 000000000*0000 Akce grupy na množině Řešení Postupujme nejprve intuitivně (především je třeba si uvědomit, že zmíněná podgrupa je normální!): dělíme regulární matice řádu n matice do tříd podle toho, jaký dávají (nenulový) determinant. Zdá se tedy, že zmíněnou faktorgrupou by mohla být grupa nenulových reálných čísel Mx s operací násobení (díky Cauchyově větě o determinantu součinu matic). To, že je to skutečně ono, dokážeme pomocí konstrukce surjektivního homomorfismu z (GL„(M), •) do (Mx, •), jehož jádrem bude právě SL„(M). Nyní už by mělo být vidět, že přirozenou volbou pro takový homomorfismus je >4 i—> det(/4). Literatura Normální podgrupy a faktorgrupy oooooooooo»ooo Akce grupy na množině Příklad Nechť (G,o) je grupa nekonstantních lineárních zobrazení reálných čísel s operací skládání zobrazení, tj. G = {f : R ->• R\f(x) = ax + b, a £ Rx, b £ R}. Určete, která z podgrup T = {f : R -+ R\f(x) = ax, a £ Rx} S = {f : R -+ R\f(x) = x + b, b £ R} je normální a v případě normality určete strukturu příslušné faktorgrupy. Řešení Normální je S, hledaný homomorfismus na faktorgrupu (Mx,-) pak f i-> a (pro f(x) = ax + b). Normální podgrupy a faktorgrupy Akce grupy na množině ooooooooooo»oo Další věty o izomorfismu Součinem podgrup A, B < G rozumíme podgrupu AB = {ab\a G A, b G B}. Normalizátorem podgrupy B v G rozumíme množinu Nc(B) = {g G G; gB = Bg} (tj. množinu těch prvků G, pro něž splývají příslušné levé a pravé třídy rozkladu; B je tedy normální podgrupou G, právě když Nc(B) = G). Věta (druhá, diamantová) Necht A, B < G jsou podgrupy splňující A < Nc(B). Pak (At~)B). Literatura Normální podgrupy a faktorgrupy 0000000000000» Akce grupy na množině Příklad Zdánlivě paradoxní je příklad homomorfismu C* —> C* definovaný na nenulových komplexních číslech vztahem z i—> zk s přirozeným k. Zjevně jde o surjektivní homomorfismus a jeho jádro je množina /c-tých odmocnin z jedničky, tj. cyklická podgrupa Z^. První věta o izomorfismu tedy dává pro všechna přirozená k izomorfismus f : C*/Zk -> C*. Tento příklad ukazuje, že u nekonečných grup nejsou počty s mohutnostmi tak přehledné jako u konečných grup. Literatura Normální podgrupy a faktorgrupy oooooooooooooo Akce grupy na množině Již jsme viděli, že často potkáváme grupy jako množiny transformací nějaké pevné množiny. Musí přitom být všechny invertibilní a zároveň musí být naše množina transformací uzavřená na skládání. Často ale také chceme pracovat s pevně zvolenou grupou, jejíž prvky reprezentujeme jako zobrazení na nějaké množině, přitom ale ne nutně jsou zobrazení příslušná různým prvkům grupy různá. Např. všechna otočení roviny kolem počátku o všechny možné úhly odpovídají grupě reálných čísel. Otočení o 2tt je ale identické zobrazení. Literatura Normální podgrupy a faktorgrupy oooooooooooooo Akce grupy na množině Definice Levá akce grupy G na množině X je homomorfismus grupy G do podgrupy invertibilních prvků v pologrupě Xx všech zobrazení X —> X. Takový homomorfismus si také můžeme představit jako zobrazení ip : G x X —> X, které splňuje ip(a- b, x) = ip(a,ip(b,x)), odtud název „levá akce". Často budeme k vyjádření akce prvku grupy na prvku X používat pouze zápis a ■ x (byť jde o jinou tečku než u násobení uvnitř grup). Definiční vlastnost pak vypadá takto: (a • b) ■ x = a ■ (b ■ x). Literatura Normální podgrupy a faktorgrupy oooooooooooooo Akce grupy na množině Definice Obraz prvku x G X v akci celé grupy G nazýváme orbita Xx prvku x, tj. Xx = {y =