Vnitrosemestrální práce MB204 1.4.2014 B
1 (2,5b). Dokažte, že pro libovolné n e N je číslo 22   — 2 dělitelné sedmi. Řešení. Z Eulerovy (Fermatovy) věty je 26 = 1 (mod 7), a protože 22 = 1 (mod 3), je 22n = 4 (mod 6). Odtud 22'" = 24 = 2 (mod 7).
2 (2,5b). Mějme kongruenci 861x = 10416 (mod 264). Pomocí kritéria udávajícího řešitelnost (a počet řešení) lineární kongruence určete počet řešení této kongruence
a pak kongruenci vyřešte.
Řešení. Zjistíme (861,264) — 3110416, a proto má kongruence tři řešení mo-dulo 264. Ty jsou dané podmínkou 287x = 3472 (mod 88). Protože 88 = 8-11, dostáváme ekvivalentní soustavu 7x = 0 (mod 8), x = 7 (mod 11). Odtud x — St a t = 5 (mod 11), tj. x = 8 • 5 — 40 (mod 88). Tři řešení modulo 264 pak mají tvar x = 40,128, 216.
3 (2,5b). Dokažte neexistenci primitivních kořenů modulo 21.
Řešení. Protože ip(21) — (p(3)tp(7) — 12, stačí testovat g4 a g6. Primitivní kořen musí být zejména nesoudělný s modulem. Také nemusíme testovat mocniny menších čísel (jejich řád dělí řád základu). A protože 11 = —10,16 = —5,19 = —2 a počítáme jen sudé mocniny, stačí otestovat následující
9	2    5 10
92	4    4 16
94	16   16 4
9"	1     1 1
Řád všech nesoudělných čísel s 21 je tedy maximáklně 6, nikoli 12.
4 (2,5b). Mějme kongruenci 24x34 = 34 (mod 41). Pomocí kritéria udávajícího řešitelnost (a počet řešení) binomické kongruence určete počet řešení této kongruence a pak kongruenci vyřešte.
Řešení. Kongruenci upravíme na x34 = —2 (mod 41). Protože (^(41) = 40, (40, 34) = 2 a (—2)20 = (—9)4 = (—l)2 = 1 (mod 41), má daná kongruence právě dvě řešení modulo 41. Primitivní kořen pro 41 je g — 6 a —2 = 66, a proto dostáváme 34xa = 6 (mod 40), tj. 17xa = 3 (mod 20), tj. xa = —1 (mod 20). Zadané kongruenci vyhovuje tedy vyhovují právě x = 619 = 34 (mod 41) a x = 639 = 7 (mod 41).
i