IV120 Spojité a hybridní systémy
Definice dynamického systému Spojité dynamické systémy
David Šafránek
Jiří Barnat Jana Fabriková
Tento projekt je spolufinancován Fvmpskym sociálním fondem s státním rozpočtem České repuhliky.
NVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
Dynamický systém
• veličiny dynamického systému jsou funkcí času (tzv. signály)
• čas je reprezentován množinou časových okamžiku T (např.
• v daném okamžiku t G T:
• na systém působí vstupní veličina (signál) u(t)
• výstupem je výstupní veličina (signál) y(t)
» vstupní i výstupní veličina jsou obecně vektorové
u(t) = [Ul(t)
y(0 = Mŕ),
Ur(t)]T
ym{t)]T
IV120 Definice dynamického systému,Spojité dynamické systémy
str. 2/28
Dynamický systém
• přípustné hodnoty vstupních veličin tvoří množinu U - typicky bývá (z fyzikálních důvodů) ohraničená, uvažuje se jako vektorový prostor
• vstupní signál je definován jako funkce u(t) : T —» U
» matematické a fyzikální požadavky kladené na systém mohou omezit volbu vstupních signálů, proto se zavádí třída přípustných vstupů U = {u(t) : T —^ U}
• analogicky je definována množina přípustných hodnot výstupních veličin Y (vektorový prostor) a třída přípustných výstupních signálů 3^ = {y{t) ■ T —^ Y}
IV120 Definice dynamického systému,Spojité dynamické systémy
str. 3/28
Dynamický systém
• paměťová vlastnost dynamického systému: hodnota y(ŕ) nezávisí pouze na aktuální hodnotě u(t), ale také na předcházejícím průběhu vstupní veličiny
• k oddělení minulého od současného zavádíme klíčový pojem stav systému
• stav systému v čase t G T je určen vektorem vnitřních (stavových) veličin x(ŕ)
x(ŕ) = [xi(ŕ),x2(ŕ),...,xn(ŕ)]r
• znalost výchozího stavu x(ŕo) v čase    a znalost vstupu u(t) na intervalu    < t < t\ jednoznačně určuje výstup y(ŕ) na tomto časovém intervalu
IV120 Definice dynamického systému,Spojité dynamické systémy
str. 4/28
Dynamický systém
Definice
Dynamický systém je osmice
S = (T,X,U,U, Y,y,<p,g)
kde
• T je uspořádaná množina časových okamžiku splňující vlastnosti pologrupy,
• X je množina stavů (množina vektoru reprezentuj ich hodnoty vnitřních veličin),
» U (resp. Y) je množina vektoru okamžitých hodnot vstupních
(resp. výstupních) veličin, » U je třída přípustných vstupních signálů splňující:
& U je uzavřena na sjednocení 9 y }e třída přípustných výstupních signálů
IV120 Definice dynamického systému,Spojité dynamické systémy
str. 5/28
Dynamický systém
Definice
• tp je přechodová funkce tvořící stavy x(ŕ):
x(ŕ) = ip(t,T,x(r), u)
Význam: Systém je ve stavu x(ŕ) v čase t G T, pokud v čase t G T byl ve stavu x(r) G X a jestliže vstupní signál u působil na intervalu (r, t).
• tp splňuje následující vlastnosti:
O orientace času: ip(t,t,x, u) je definována pro vš. t > t
(nemusí být def. pro t < t) O identita: Vŕ G T, x e X, u e U. (f {t, t, x(t), u) = x(ŕ)
O Vri <t2<t3,xeX,ueU. ip(t3, ti, x, u) =
V3(ŕ3, t2,ip(t2, h,x, u), u) O kauzalita: je-1i u, u E U a u(t) — u(t) na intervalu h < t < t2, pak
if(t2, h,x, u) = y(ŕ2, ŕi,x, D)
• g je výstupní zobrazení splňující y(ŕ) = g (x (t), u(t), t).
IV120 Definice dynamického systému,Spojité dynamické systémy str. 6/28
Dynamický systém
Definice
• systém je ryze dynamický pokud platí:
y(t) = (g(x(t),t)
• dvojici (ŕ,x(ŕ)) pro t G T, x G X nazývame událost systému
• dvojici (ŕ, u(t)) pro t G T, u G U nazývame událost okolí
• pokud U = {0}, systém nazývame neřízený (volný)
• pokud existuje n G N, t.ž. X je množina vektoru dimenze n, pro lib. t G 7~.x(ŕ) = [xi(ŕ),xn(ŕ)] G X, pak n nazývame dimenzí (řádem) systému S, zn. dim(5) = n
• systém nazývame spojitý (resp. diskrétní), pokud T je spojitá (resp. diskrétni) množina
» systém je konečněstavový pokud X je konečná množina
IV120 Definice dynamického systému,Spojité dynamické systémy
str. 7/28
Dynamický systém
Reverzibilnost
• dynamický systém S je reverzibilní, pokud </?(t, r, x, u) definována pro vš. t,r G 7"
• tedy zejména známe-li </?(t, r, x, u), pak známe také
ip(r, t,x, u)
• systémy jejichž přechodová funkce nezávisí na čase jsou typicky reverzibilní
• např. systém logistického růstu, kinetika enzymů, výrobní linka, kyvadlo (obrácení znaménka vývoje, směru přechodů)
• reverzibilitu lze pozorovat i u skákajícího míčku, termostatu (navíc nutno invertovat význam diskrétních událostí) ...
» upozornění - pojem reverzibility je používán v jiném kontextu s jiným významem (např. reverzibilní Petriho síť)
IV120 Definice dynamického systému,Spojité dynamické systémy
str. 8/28
Dynamický systém
Stacionárnost
• dynamický systém S je stacionární (t-invariantní), pokud platí:
• T tvoří aditivní grupu (uzavřenost na sčítání)
• U je uzavřena vůči posunutí v čase zv : u —>• D:
Vř, u e T. u{t) = u{t + v) = z"(u(ř))
• platí:
V?(t, t, x(t), u) = tf{t+l>,T + V, x(t + í/), ZV{u))
• aktivita stacionárního systému nezávisí na výchozím okamžiku
• nerozlišíme mezi lib. dvěma různými pozorováními systému
• např. konstantní zesilovač signálu, kyvadlo v klidové poloze, ustálený logistický růst
• výrobní linka je příkladem nestacionárního systému
• většina přírodních systémů není stacionární, ale může se dostat do tzv. stacionární fáze
IV120 Definice dynamického systému,Spojité dynamické systémy str. 9/28
Dynamický systém
Linearita
• systém je lineární pokud
• X, U, U, Y, y jsou vektorové prostory
• (f(t, t, .,.) : X x U —>• X je lineární zobrazení pro vš. t,r e T
• ., ř) : X x (7 —>• Y je lineární zobrazení pro vš. t e T
• systém je nelineární pokud je lineárnost alespoň jednoho zobrazení z přech. definice porušena
IV120 Definice dynamického systému,Spojité dynamické systémy
str. 10/28
Dynamický systém
Hladkost
• dynamický systém S je hladký, pokud platí:
• T = R
• zobrazení (t, x, u) —>• y>(., t, x, u) je spojité zobrazení mapující prvky T x X x U na prostor spojitých funkcí T —>• X
• vývoj stavu (aktivita) je spojitou funkcí času pro libovolný vstupní signál
• hladký systém lze popsat diferenciální rovnicí (někdy se hovoří o diferenciálních dynamických systémech)
• srovnej se skákajícím míčkem
IV120 Definice dynamického systému,Spojité dynamické systémy
str. 11/28
Dynamický systém
Tvořící funkce
• pro hladké systémy definujeme tvořící funkci f:
<p(t + Ar, t,x, u) = x(t + Ar) = x(t) + f(x, u, t)At + e(Ař) kde
• Ar je malý časový okamžik
• změna stavu za Ar je lineární funkcí Ar
• e(Ař) je chyba druhého řádu (z Taylorova rozvoje)
» vyjádříme změnu stavu:
X(t + At)-x{t)=f{xut) + e(At)
At
» pro Ar —> 0 dostáváme stavovou rovnici
Ar
IV120 Definice dynamického systému,Spojité dynamické systémy
str. 12/28
Dynamický systém
Autonomní tvořící funkce
• pro stacionární systém platí:
<p(t + Ar, t,x(t), u) = tp(t + At + v,t + v,x(t + v), u)
• pokud x(r) = x(ř + v) potom:
f{x{t),u,t) = f{x{t + v),u,t + v)
Tvořící funkce je tedy nezávislá na čase, hovoříme o autonomní tvořící funkci.
Zkráceně píšeme f(x, u).
IV120 Definice dynamického systému,Spojité dynamické systémy
Dynamický systém
Operátor toku
• tvořící funkce definuje rychlost toku (změnu stavu) pro každou vnitřní veličinu ve vektoru x
« lze definovat operátor toku <t>t jako zobrazení přiřazující výchozímu stavu x(0) hodnotu v čase t (x(ŕ)):
x(ŕ) = 4>ř(x(0))
• z definice <í> a vlastností dynamického systému plyne:
• 4>s+t(x) = *s(*t(x))
• <t>t(<t>-t(x)) = <t>0(x) =x
• (f.-1 = <D_t
• inverzní operátor toku definuje stav systému v minulosti
IV120 Definice dynamického systému,Spojité dynamické systémy
str. 14/28
Dynamický systém
Stavové rovnice systému
x(t) = f{x, u, t) y(t) = g(x, u, t)
• u ... řídící vektor,
• x ... stavový vektor,
• y ... výstupní vektor
• pokud je f,g nelineární funkce, hovoříme o nelineárním spojitém dynamickém systému
IV120 Definice dynamického systému,Spojité dynamické systémy
str. 15/28
Dynamický systém
Stavové rovnice lineárního systému
x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t)
• A(t) ... matice systému (rozměr n x n)
• B(t) ... matice řízení (rozměr m x m)
• C(ŕ), D(ŕ) ... výstupní matice (rozměry m x n a m x r)
• pokud je systém stacionární, jsou matice A, B, C, D nezávislé na čase
• pro striktně ryzí systém je matice D nulová
IV120 Definice dynamického systému,Spojité dynamické systémy
str. 16/28
Dynamický systém
Blokové schema
D
B -Q
í
vít)
IV120 Definice dynamického systému,Spojité dynamické systémy
str. 17/28
Dynamický systém
Příklady - exponenciální růst
• 7~ = M+
• U = {0}
• X = Y = M+
• y(ř) = x(ř) (tím je určeno výstupní zobrazení g)
• x(t) = f(x, u, t) = ax(t)
9 systém je automní a neřízený, lze tedy psát f(x) = ax
• systém je zjevně lineární a striktně ryzí
• řešení: x(ř) = ceat pro počáteční podmínku x(0) = c
IV120 Definice dynamického systému,Spojité dynamické systémy
str. 18/28
Dynamický systém
Příklady - exponenciální růst
« maticový zápis
• A = (a)
• B = D = 0
• C = E
k(t)=Ax(t) y(t) = Cx(t)
IV120 Definice dynamického systému,Spojité dynamické systémy
Dynamický systém
Příklady - logistický růst
• T = K+, U = {0}, X = Y = R+
• y(ř) = x(ř) (tím je určeno výstupní zobrazení g)
• x(t) = f(x, u, t) = rx(ř)(l - x(ř))
• systém je automní a neřízený, lze tedy psát f{x) = rx(l — x) = rx — rx2
• systém je zjevně nelineární a striktně ryzí
• řešení: x(ř) = c+(1-c)ePro Poc- podmínku x(0) = c
Logistic growth time course for varying x[0> Logistic growth time course tor varying r (2<r<8)
0 05 1 1.5 2 2.5 3 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
IV120 Definice dynamického systému,Spojité dynamické systémy str. 20/28
Dynamický systém
Příklady - stejnosměrný motor
• dynamika popsána soustavou rovnic:
u = Ri + Lft+ kuo ki = J^ + mz
0	u(t) ..	napětí na kotvě motoru
0	i(t)...	proud kotvy
0	co(t) ..	. úhlová rychlost hřídele
0	<P(t) ..	. poloha hřídele
0	mz{t)	... zatěžovací moment hřídele
0	kj ...	momentová konst., moment setrvačnosti hřídele
0	R,L..	odpor a indukčnost kotvy
7,  7T3,
IV120 Definice dynamického systému,Spojité dynamické systémy
str. 21/28
Dynamický systém
Příklady - stejnosměrný motor
» rovnice lze transformovat do stavového tvaru:
d i _     R;     k     i 1
» stavové veličiny: /(ŕ), <j(ŕ), </?(ŕ)
• vstupní (řídící) veličiny: u(t),mz(t)
• výstupní veličina: y(ŕ) = </?(ŕ)
IV120 Definice dynamického systému,Spojité dynamické systémy
Dynamický systém
Příklady - stejnosměrný motor
Maticový zápis:
ä   -ä o
L L
;   o o
o
B
o o
C = [0  0   1]       D = [0 0"
IV120 Definice dynamického systému,Spojité dynamické systémy
str. 23/28
Hladké autonomní dynamické systémy
Základní vlastnosti
Funkce f : D -> 1, D c 1, je nazývána Lipschitz-spojitá právě když existuje k > 0 t.ž. pro všechna x, y G D platí:
|ŕ(x) - f{y)\ < k\x-y\ Picard-Lindelovova věta
Nechť f : D —> M je Lipschitz-spojitá a nechť xn G D. Potom existuje e > 0 t.ž. iniciální problém
^ = f(x), x(0)=x0 má právě jedno řešení x(ŕ) pro všechna 0 < t < e.
IV120 Definice dynamického systému,Spojité dynamické systémy
str. 24/28
Hladké automní dynamické systémy
Základní vlastnosti
• libovolná dvě řešení pro libovolné dva různé iniciální problémy mají prázdný průnik
» výsledek lze přímo zobecnit na systémy rovnic
• zejména každá funkce, která je spojitá a v každém bodě existuje její derivace, je Lipschitz-spojitá
• tedy hladký dynamický systém má vždy Lipschitz-spojitou tvořící funkci
IV120 Definice dynamického systému,Spojité dynamické systémy
str. 25/28
Hladké autonomní dynamické systémy
Vícedimenzionální systémy
• dimenze systému n, uvažujeme stavový prostor X =
• stav je vektor x(ŕ) = (xi(ŕ), x2(ŕ),x„(ŕ))7 G X . f(x(t)) = (f1(x(t)),f2(x(t)),...,fn(x(t)))T
• V/. fi(x(t)) spojitá a diferencovatelná na X
• soustava:
/fl(xi,-,Xn)\
d
dt
\XnJ
V/„(xi, ...,xn)/
IV120 Definice dynamického systému,Spojité dynamické systémy
str. 26/28
Hladké autonomní dynamické systémy
Fázový portrét
• fázový portrét je dán pro danou množinu iniciáInich podmínek soustavou parametrických křivek (trajektorií)
• každý bod fázového prostoru náleží právě jedné trajektorii
• trajektorie mají prázdný průnik
IV120 Definice dynamického systému,Spojité dynamické systémy
str. 27/28
Hladké autonomní dynamické systémy
Fázový portrét