MB104, příklady k domácímu rozjímání jarní semestr 2015, pátý týden
Příklad. Malá Fermatova věta říká, že pro (a, p) — 1, a G Z, p prvočíslo, je
ap_1 = 1   (mod p).
Může se stát, že by
ap_1 = 1   (mod p2)?
Řešení. Ano, může. Pro a — 2 jsou jediná dvě známá taková prvočísla p, a to 1093 a 3511. Není známo, zda jich existuje nekonečně mnoho (pro a — 2). □
Příklad. Najděte co největší Carmichaelovo číslo.
Řešení. Je dokázáno, že Carmichaelových čísel je nekonečně mnoho. Jsou to taková čísla n, která nejsou dělitelná čtvercem žádného (prvo) čísla a pro jejich každého prvočíselného dělitele p platí p — 1 \n — 1. Nej menší Carmichaelova čísla s daným počtem prvočíselných dělitelů jsou zaznamenána v posloupnosti OEIS A006931.
□
1