3. vnitrosemestrální (1.zkoušková) práce MB104, 20. 5. 2015
Příklad 1. (4b.) Váš veřejný klíč pro šifru RSA je (221, 43). Obdrželi jste zprávu 3. Dešifrujte ji. Řešení. ^(221) = 192 (lb.), 43"1 = 67   (mod 192) (lb.), 267 = 76   (mod 221)
Příklad 2. (5b.) Určete nejmenší a největší primitivní kořen modulo 59 (tj. nejmenší a největší číslo z intervalu [1, 58], které je primitivním kořenem).
Řešení. 2 (2b., tj. 22 ^ 1   (mod 59), 229 = -1   (mod 59), 56.
Příklad 3. (5b.) Kolika způsoby lze vybrat sto kusů ovoce ze tří druhů (mandarinek, pomerančů a citronů) tak, aby součet počtu mandarinek a pomerančů byl dělitelný třemi?
Řešení. Šlo řešit mnoha způsoby. Užitím rozvoje vhodných řad: koeficient u xwo ve výrazu
V{x)    =    x(l + x3 + x6 H----)(l + 2ľ + 2ľ2 +
1N
1 1
1 - x3 (1 - x)2
Potom
xiW]V(x) = l+ 4 + 7+ -- - + 100= 1717.
Sčítance v řadě udávají též postupně možnosti rozdělení pomerančů a mandarinek, je-li citrónů postupně 100, 97, 94,...
Jiná úvaha vede k počítání možností podle toho, jaký zbytek po dělení třemi dávají počty mandarinek a pomerančů. Máme tři možnosti: 3k a 31, 3k + 1 a 31 + 2, 3k + 2 a 31 + 1. Opět buď pomocí vytvořujících funkcí nebo přímou kombinatorickou úvahou dojdeme k výsledku
Příklad 4. (6b.) Metodou vytvořující funkce určete jedinou posloupnost vyhovující rekurentnímu vztahu
an — 2an-i + 3a„_2 + n2, n > 2   ao — 0, a\ — 1.
(odvození vytvořující funkce posloupnosti n2 lb, zapsání rovnice pro vytvořující funkci lb, vyjádření vytvořující funkce jakožto součet (neznámých) parciálních zlomků lb, výpočet zlomků lb, vyjádření an 2b; za vyřešení příkladu bez nelineárního členu 3b)
Řešení. \3n+2 - \n2 - n - |.
1