MB202 - Diferenciální a integrální počet B Newtonův a Riemannův integrál funkcí MB202/06 1 / 29 Obsah přednášky Q| Newtonův integrál Q| Integrace „po paměti" Q| Integrace per partes a substitucí Q| Riemannův integrál Newtonův integrál Předpokládejme, že známe na intervalu [a, b] reálnou nebo komplexní funkci F(x) reálné proměnné x a její derivaci F'(x) = f(x). Jestliže rozdělíme interval [a, b] na n částí volbou bodů a = xo < xi < • • • < xn = b a přiblížíme hodnoty derivací v bodech xf- výrazy /vx) ~ F(x'+i) ~ F(x'0 - X/ dostáváme součtem F(b) - F(a) = ]T F(X;!l} I F(X/) • " x,) ^ ]T f{Xi) ■ (x;+1 - x;). ■^7-1-1 -^7 Funkci F nazýváme neurčitý integrál k funkci f. MB202/06 4 / 29 Newtonův integrál Neurčitý integrál reálné funkce f(x) nejspíš bude pro rozumné funkce vyjadřovat plochu vytyčenou grafem funkce f, souřadnou osou x a přímkami x = a, x = b (včetně znaménka zohledňujícího pozici plochy nad nebo pod osou x!). Dá se tedy očekávat, že takovou plochu skutečně spočteme jako rozdíl hodnot neurčitého integrálu v krajních bodech intervalu. Tomuto postupu se také říká Newtonův integrál. Píšeme V případě komplexní funkce f je i reálná a imaginární část jejího integrálu jednoznačně dána reálnou a imaginární částí f, proto se v dalším omezíme na reálné funkce. MB202/06 5/29 Newtonův integrál Poznámka V dalším skutečně ukážeme, že lze rozumně definovat pojem plocha v rovině tak, aby ji bylo možné počítat právě uvedeným způsobem. Newtonův integrál má ale jednu podstatnou vadu —jeho vyčíslení vyžaduje znalost neurčitého integrálu. Tu obecně není snadné spočíst i když ukážeme, že ke všem spojitým funkcím f existuje. Proto budeme napřed diskutovat jinou definici integrálu. MB202/06 6/29 Newtonův integrál Všimněme si ještě, že neurčitý integrál je na každém souvislém intervalu [a, b] určen jednoznačně až na konstantu. Skutečně, pokud je F'(x) = G'(x) = f(x), pak Taylorův rozvoj prvního řádu se zbytkem v bodě a dává F(x) - G(x) = F(a) - G(a) + (f(c) - f(c))(x - a) = F(a) - G(a) na nějakém okolí bodu a. Pokud by ale xq < b bylo supremem hodnot, pro které tento vztah ještě platí, opětovnou volbou tohoto bodu za a dosáhneme rozšíření tohoto vztahu i napravo od něj. Musí tedy platit na celém intervalu. S poukazem na toto pozorování budeme neurčitý integrál také zapisovat ve tvaru MB202/06 7/29 ntegrace „po paměti Neurčitý integrál nám formálně dovoluje spočíst Riemannův integrál pro každou spojitou funkci. Nicméně prakticky bývá zejména použitelný tam, kde v integrované funkci umíme derivaci přímo uvidět. K tomu v jednoduchých případech stačí číst tabulky pro derivace funkcí v našem zvěřinci naopak. Dostáváme tak např. následující tvrzení pro všechna a G M a n G Z, a dx = ax + C MB202/06 9/29 ntegrace „po paměti — dx = a\n x + C x a cos bx dx = - si n bx + C b a si n bx dx = — cos bx + C b a cos fax sin" fax dx = —-r sin"+1 bx + C b{n + l) / a sin bx cos" fax c/x =--;-r cos"+1 bx + C J b{n + l) j a tg bx dx = — ^ I n (cos fax) + C c/x = arctg ( — ) + C a2 + x2 " V a Pozor definiční obor, na kterém je neurčitý integrál dobře definován! MB202/06 10 / 29 K takovýmto tabulkovým hodnotám lze relativně snadno dodávat další jednoduchými pozorováními vhodné struktury integrovaných funkcí. Na f!Mdx = [„f(x) + c. Integrace per partes a substitucí Výpočet integrálu pomocí neurčitého integrálu, spolu s pravidlem (F-Gy(t) = F'(t)-G(t) + F(t)-G'(t) pro derivaci součinu funkcí, dává následující formuli pro neurčitý integrál F(x) • G(x) + C = J F'(x)G(x) dx + j F(x)G'(x) dx. Tato formule se většinou používá v případě, že jeden z integrálů napravo máme počítat, zatímco druhý umíme počítat lépe. Integrace per partes a substitucí Uveďme si nějaké příklady. Nejprve spočteme I = xs\nx dx. V tomto případě pomůže volba F(x) = x, G'(x) = sinx. Odtud G(x) = — cosx, proto také / = —xcosx— / — cosx dx = —x cosx + sin x + C. Obvyklým trikem je také použít tento postup s F'(x) = 1: In x c/x = I l-lnxc/x = xlnx— / — x dx = x In x — x + C. Integrace per parte: Je-li F'(y) = f (y) a y = tp(x), potom dF{(x)) + C = j f(