MB202 - Diferenciální a integrální počet B Integrální počet - pokračování MB202/07 1 / 30 Obsah přednášky Q) Nevlastní a nekonečné integrály Q Příklady užití integrálu 0 Přírůstky v ZOO Q Integrálni kritérium konvergence MB202/07 2 / 30 Nevlastní a nekonečné integrály Uvažme integraci racionálně lomené funkce f í \ - 4~x 'W-(x + l)(x-2)2- Rozkladem na parciálni zlomky f(x)dx = / —-—dx — / —--r^dx K 1 J 9(x + l) J 9(x-2)2 kde oba integrály už umíme přímo spočíst (coby primitivní funkce). Jak ale s určitými integrály, když integrační meze zahrnují singularitu fl Nevlastní a nekonečné integrály Integrovaná funkce na intervalu [0,3] je „tlustý" neohraničený sloup (načrtněte si) kolem hodnoty x = 2 a dá se tušit, že to povede k nekonečné ploše pod grafem na zvoleném intervalu. Protože není integrovaná funkce ani spojitá ani omezená, nebude existovat její Riemannův integrál a nemusí platit námi odvozené výsledky. Hovoříme o „nevlastním integrálu". Jednoduchým východiskem je diskutovat v takovém prípade určité integrály na menších intervalech s hranicí blížící se problematickému bodu a zkoumat, zda existuje limitní hodnota takovýchto určitých integrálů. Pokud existuje, řekneme, že příslušný nevlastní integrál existuje a je roven této limitě. MB202/07 5/30 Nevlastní a nekonečné integrály Uvedeme postup na jednoduchém príklade: je nevlastní integrál, protože je má funkce f(x) = (2 — x)-1/4 v bodě b = 2 limitu zleva rovnou oo. V ostatních bodech je integrovaná funkce spojitá. Zajímáme se proto o integrály 2 = i23/4 _ 4 3/4 6 3 3 Všimněme si, že jsme ve výpočtu substitucí dostali integrál s přepočtenou horní mezí ô a dolní mezí 2. Otočením mezí do obvyklé polohy jsme do výrazu pridali jedno znaménko — navíc. Is Z—Ů dx 1/2 dy 3/4 MB202/07 6/30 Nevlastní a nekonečné integrály Limita pro S —> 0 zprava zjevně existuje a spočítali jsme tedy nevlastní určitý integrál j o 3 • Stejně budeme postupovat, pokud je zadáno integrování přes neohraničený interval. Hovoříme o nekonečných integrálech. Obecně tedy např. pro a g m pokud limita vpravo existuje. Obdobně můžeme mít horní mez integrování konečnou a druhou nekonečnou. MB202/07 7/30 Nevlastní a nekonečné integrály Pokud jsou nekonečné obě meze, počítame integrál jako součet dvou integrálů s libovolně pevně zvolenou pevnou mezí uprostřed, tj. /oo f'3 f'OO f(x)dx= / f(x)dx+ / f(x)dx -oo J— oo Ja Existence ani hodnota nezávisí na volbě takové meze, protože její změnou pouze o stejnou konečnou hodnotu měníme oba sčítance, ovšem s opačným znaménkem. Naopak limita při které by stejně rychle šla horní i dolní mez do ±00 může vést k odlišným výsledkům! Např. ľ Xdx = [^x2r_a = o, přestože hodnoty integrálů f°°xdx s jednou pevnou mezí utečou rychle k nekončených hodnotám. MB202/07 8/30 Nevlastní a nekonečné integrály Ukažme si opět výpočet nekonečného integrálu na príklade (jeden z typů parciálních zlomků, integrál vyřešíme snadno substitucí x2 + a2 = ŕ, 2x dx = dt) 0 = b™oo (~2Ď2 + 2a2 + 2äž) = 2 Při výpočtu určitého integrálu z racionální funkce lomené musíme tedy pečlivě rozdělit zadaný interval podle bodů nespojitosti integrované funkce a spočítat jednotlivé nevlastní integrály každý zvlášť. Navíc je nutné rozdělit celý interval tak, abychom vždy integrovali funkci neohraničenou pouze v okolí jednoho z krajních bodů. (x2 + a2)2 dx lim 2(x2 + a2) MB202/07 9/30 Příklady užití integrálu Sama definice Riemanova integrálu byla odvozena od představy velikosti plochy v rovině se souřadnicemi x a y ohraničené osou x, hodnotami funkce y = f (x) a hraničními přímkami x = a, x = b. Přitom je plocha nad osou x dána s kladným znaménkem zatímco hodnoty pod osou vedou ke znaménku zápornému. Ve skutečnosti víme pouze, co je to plocha rovnoběžnostěnu určeného dvěma vektory, obecněji ve vektorovém prostoru M." víme, co je to objem rovnoběžnostěnu. Plochy jiných podmnožin je teprve třeba definovat. Pro některé jednoduché objekty jako třeba mnohoúhelníky je definice dána přirozeně předpokládanými vlastnostmi. MB202/07 11 / 30 Příklady užití integrálu Námi vybudovaný koncept Riemannova integrálu je možné zatím přímo použít pouze k měření „objemu" jednorozměrných podmnožin. O podmnožině 4cB řekneme, že je (Riemannovsky) měřitelná, jestliže je funkce x : K ^ M Xa(x) 1 jestliže je x g A 0 jestliže je x ^ A Riemannovsky integrovatelná, tj. existuje integrál (ať už s konečnou nebo nekonečnou hodnotou) ŕOO miA) = i xa{x)dx. J oo Funkci xa říkáme charakteristická funkce množiny A. MB202/07 12 / 30 Příklady užití integrálu Všimněme si, že pro interval A = [a, b] jde o velikost spočtenou takto: přesně jak jsme očekávali. Zároveň má takováto definice „velikosti" očekávanou vlastnost, že míra sjednocení dvou Riemannovsky měřitelných disjunktních množin vyjde jako součet. Pokud ale vezmeme spočetné sjednocení, taková vlastnost již neplatí. Např. stačí vzít množinu Q všech racionálních čísel jakožto sjednocení jednoprvkových podmnožin. Zatímco každá množina o konečně mnoha bodech má podle naší definice míru nulovou, charakteristická funkce xq není Riemannovsky integrovatelná. MB202/07 13 / 30 Příklady užití integrálu Pro definici plochy (objemu) ve vícerozměrných prostorech budeme umět použít koncept Riemannova integrálu, až jej zobecníme do vícerozměrného případu. Již nyní ale můžeme počítat objemy v případech, které lze snadno převést na jednorozměrnou integraci. Začneme s ještě jednodušším použitím: Střední hodnota funkce f(x) na intervalu (konečném nebo nekonečném) [a, b] je definována výrazem Z definice je m výška obdélníka (s orientací podle znaménka) nad intervalem [a, b], který má stejnou plochu jako je plocha mezi osou x a grafem funkce f(x). MB202/07 14 / 30 Příklady užití integrálu Námi vybudovaný integrál jde také dobře použít pro výpočet délky křivky ve vícerozměrném vektorovém prostoru M". Pro jednoduchost si to předvedeme na případu křivky v rovině M2 se souřadnicemi x, y. Mějme tedy parametrický popis křivky F : M —> M2, F(t) = [g(t),f(t)] a představme si ji jako dráhu pohybu. Derivací tohoto zobrazení dostaneme hodnoty, které budou odpovídat rychlosti pohybu po takovéto dráze. Proto celková délka křivky (tj. dráha uražená za dobu mezi hodnotami t = a, t = b) bude dána integrálem přes interval [a,b], kde integrovanou funkcí h(t) budou právě velikosti vektorů F'(t). Příklady užití integrálu Chceme tedy spočíst délku s rovnou Ve speciálním případě, kdy křivka je grafem funkce y = f(x) mezi body a < b obdžíme pro její délku J a Tentýž výsledek lze intuitivně vidět jako důsledek Pythagorovy věty: pro lineární přírůstek délky křivky As odpovídající přírůstku Ax proměnné x spočteme totiž právě As = ^/Ax2 + Ay2 a to při pohledu přímo na naši definici integrálu znamená MB202/07 16 / 30 Jako snadný příklad spočteme délku jednotkové kružnice jako dvojnásobek integrálu funkce y = Vl — x2 v mezích [—1,1]. Víme již, že musí vyjít číslo 2tt, protože jsme takto číslo tt definovali. ŕ i 2/ rlx = 9[arr<;in y]^ = 9tt 7-i v 1 — x2 Jestliže v předchozím výpočtu budeme počítat s y = Vr2 — x2 = r-^/l — (x/r)2 a meze budou [—r, r], dostaneme substitucí x = rŕ deku kružnice o poloměru r: sW =2 £ V1+t=wť? dx=2 /! 7r=udf=2r[arcsin * tj. 2-Kr. Zejména je skutečně délka kružnice lineárně závislá na jejím poloměru. Příklady užití integrálu Podobně plochu takové kružnice spočteme substitucí x = rsin ř, dx = rcostdt (s využitím výsledku pro I2 z minulé přednášky) a(r) = 2 f Vr2 - x2 dx ctt/2 2r2 I cos2 t dt -tt/2 — [cos ŕ sin ŕ + ŕ] Jw/2 ivr2. Příklady užití integrálu Další obdobou téhož principu je výpočet povrchu nebo objemu rotačního tělesa. Pokud vznikne těleso rotací grafu funkce f kolem osy x v intervalu [a,b], vzniká při přírůstku Ax nárůst plochy o násobek As délky křivky zadané grafem funkce f a velikosti kružnice o poloměru f(x). Plocha se proto spočte formulí Objem stejného tělesa naroste při změně Ax o násobek tohoto přírůstku a plochy kružnice o poloměru f(x). Proto je dán formulí A(f) = 2ir / f(x) ds = 2ir / f(x)Jl + {f'{x))2 dx, kde ds = yj dx2 + dy2 je dán přírůstkem délky křivky y = f (x). Příklady užití integrálu Jako příklad užití posledních dvou vzorců odvodíme známé formule pro plochu sféry a objem koule. Ar = 2tt í rJl-íx/r)2 , 1 dt = 2irr f dt = Aur2 J-r V K ' ' y/1 - (x/r)2 7_r Vr = Tv r2 - x2 dx = 2mr2 - i Kdy lze najít neurčitý integrál pomocí výrazů složených ze známých elementárních funkcí? Drtivá většina spojitých funkcí vede na integrály, které tak vyjádřit neumíme. Protože se integrací získané funkce velice často v praxi vyskytují, mnohé mají jména a před nástupem počítačů byly pro potřeby inženýrů vydávány obsáhlé tabulky hodnot takových funkcí. Uvedeme si nyní aspoň nějaké příklady. V metodách pro zpracování signálu je velice důležitá funkce Docela přímočaře, byť pracně, lze ověřit, že jde o hladkou funkci s limitními hodnotami f{0) = l, f'{0) = 0, f"(0) = -|. Je tedy okamžitě vidět, že tato sudá funkce bude mít v bodě x = 0 absolutní maximum a s narůstající absolutní hodnotou x se bude vlnit se stále se zmenšující amplitudou. Přírůstky v ZOO Funkce Sinusintegrál je definovaná vztahem Si(x) = í sinc(r) dt. Jo Důležité jsou také Fresnelovy sinové a kosinové integrály FresnelS(x) = / sin(|7rŕ2)c/ŕ Jo FresnelC(x) = / cos(^7rŕ2)c/ŕ. Jo Na levém obrázku je průběh funkce S/(x), na pravém vidíme obě Fresnelovy funkce. iJNMMMI MB202/07 23 / 30 Přírůstky v ZOO Nové typy funkcí dostáváme také, když do integrovaného výrazu povolíme volný parametr, na kterém pak výsledek závisí. Příkladem může být jedna z nejdůležitějších funkcí v matematice vůbec — tzv. Gamma funkce. Je definovaná vztahem rOO T(z)= / e-'ť^dt. Lze ukázat, že tato funkce je analytická ve všech bodech z ^ Z a pro malá zěN můžeme počítat: oo -t .oj, _ r „-ti r(i)= / e-řt° M je kladná a nerostoucí na intervalu (l,oo). Pak tato řada konverguje právě tehdy, když konverguje intergrál /oo f(x) dx. MB202/07 27 / 30 Integrální kritérium konvergence Důkaz. Pokud interpretujeme integrál, jako plochu pod křivkou, je kriterium názorně vidět. Pokud daná řada diverguje, pak diverguje i řada Yl^=2 f{n)- ^ro libovolné k G n máme pro k-tý částečný součet s'k (řady bez prvního členu) nerovnost neboť s'k je dolním součtem Riemannova integrálu J1 f(x)dx. Pak aleje / f(x)dx= lim / f(x) dx > lim s'k = 00, a uvažovaný integrál diverguje. □ MB202/07 28 / 30 Integrální kritérium konvergence pokračování. Předpokládeme nyní, že daný integrál konverguje a označme k-tý částečný součet dané řady jako s^. Potom máme nerovnosti ľoo ľk / f(x)dx = lim / f (x) dx < lim < oo, J1 k^oo J1 k^oo neboť Sk je horním součtem Riemannova integrálu f£ f(x) dx a předpokádáme, že daná řada konverguje. □ * MB202/07 29 / 30 Integrální kritérium konvergence Jako příklad použití rozhodněme, pro jaká k konverguje řada oo 1 Všimněme si nejprve, že neumíme o konvergenci rozhodnout na základě podílového či odmocninového kriteria (obě limity lim i lim jfa~n jsou rovny 1). Pomocí integrálního kriteria pro konvergenci řad dostáváme pro k ^ 1: ľ°° 1 \, , i u~]5 [k-l k>\ / -^dx = lim (1 - *)x1_,r = { Ji *k í-k» Lv Ji j^oo k 1 a diverguje pro /c < 1. V případě /c = 1 je primitivní funkcí logaritmus a integrál i řada opět divergují.