MB202 - Diferenciální a integrální počet B Metrické prostory - pokračování, důkaz konvergence Fourierových řad, konvoluce funcí MB202/10 1 / 28 Obsah přednášky Q) Úplné a kompaktní metrické prostory Q| Důkaz konvergence Fourierových řad Q| Integrální operátory Úplné a kompaktní metrické prostory Říkáme, že podmnožina A c X v metrickém prostoru X je hustá, jestliže je uzávěrem A celý prostor X. Množina A je řídká v X, jestliže je X \ A hustá. Zjevně je A hustá v X, jestliže každá otevřená množina v celém prostoru X má s A neprázdný průnik. Ve všech případech Lp norem na funkcích na po částech spojitých funkcích je vcelku snadné vidět, že nejde o úplné metrické prostory. Snadno se totiž stane, že cauchyovská posloupnost funkcí z našeho vektorového prostoru 5°[a,fa] by měla mít za limitu funkci, která již v tomto prostoru nebude. Vezměme si třeba na intervalu [0,1] funkce fn, které jsou nulové na [0, l/n) a rovny sin(l/x) na [1/n, 1]. Zjevně budou konvergovat ve všech Lp normách k funkci sin(l/x), ta ale do našich prostorů již nepatří. MB202/10 4/28 Úplné a kompaktní metrické prostory Nechť X je metrický prostor s metrikou d, která není úplná. Metrický prostor X s metrikou d takový, že X c X, d je zúžením d na podmnožinu X a uzávěrem X je celý prostor X, se nazývá zúplnění metrického prostom X. Prakticky stejným postupem, jak jsme vytvorili reálná čísla z racionálních, můžeme nyní najít zúplnění libovolného (neúplného) metrického prostoru X. A půjde to udělat jednoznačně. MB202/10 5/28 Úplné a kompaktní metrické prostory Jednoznačnost zúplnění 0 zobrazení ip : X\ —> X2 mezi metrickými prostory s metrikami d\ a c/2 řekneme, že je izometrie, jestliže pro všechny prvky x,y G X platí d2{ X\ a 12 : X —> X2 do dvou zúplnění prostoru X a pišme d, d\ a c/2 pro příslušné metriky. Evidentně je na husté podmnožině ^i(X) c X\ dobře definované zobrazení (p : tl (X) ^—^ X —X2 . Jeho obrazem je hustá podmnožina ^(X) C X2 a toto zobrazení je navíc zjevně izometrií. Stejně tak funguje i opačné zobrazení i\ o 1. MB202/10 6/28 Úplné a kompaktní metrické prostory Každé izometrické zobrazení samozřejmě zobrazuje cauchyovské posloupnosti na cauchyovské posloupnosti. Zároveň budou takové cauchyovské posloupnosti konvergovat ke stejnému prvku v zúplnění právě, když totéž bude platit o jejich obrazech v izometrii p. Je-li tedy takové p definované na husté podmnožině X metrického prostoru X\, jistě bude mít jednoznačné rozšíření na celé X\ s hodnotami v uzávěru obrazu p(X), tj. X2. Podle předchozí úvahy tedy existuje jediné zozšíření ip na zobrazení ip : X\ —> X2, které je bijektivní izometrii. Jsou tedy v tomto smyslu skutečně X\ a X2 stejné. MB202/10 7/28 Úplné a kompaktní metrické prostory Věta o zúplnění Theorem Necht X je metrický prostor s metrikou d, která není úplná. Pak existuje jeho zúplnění X s metrikou d a to jednoznačně až na bijektivní izometrie. * Úplné a kompaktní metrické prostory Banachova věta o kontrakci Zobrazení F : X —> X na metrickém prostoru X s metrikou d se nazýva kontrahující zobrazení, jestliže pro nějakou reálnou konstantu 0 < C < 1 a všechny prvky x, y v X platí d(F(x),F(y)) 0, pak existuje právě jeden bod xěX patřící do průniku všech A,. MB202/10 10 / 28 Úplné a kompaktní metrické prostory Bairova věta o průniku hustých množin Theorem Je-li X úplný metrický prostor, pak průnik libovolného spočetného systému otevřených hustých množin A, je množina hustá v metrickém prostoru X. Úplné a kompaktní metrické prostory Vnitřním bodem podmnožiny A v metrickém prostoru je takový prvek, který do A patří i s nějakým svým e-okolím. Hraniční bod množiny A je takový prvek x e X, jehož každé okolí má neprázdný průnik jak s A tak s doplňkem X \ A. Hraniční bod tedy může, ale nemusí patřit do samotné množiny A. Otevřené pokrytí množiny A je takový systém otevřených množin U; C X, i G /, že jejich sjednocení obsahuje celé A. Izolovaným bodem množiny A rozumíme prvek 3 6/1, který má v metrickém prostoru X e-okolí, jehož průnik s A je právě jednobodová množina {a}. MB202/10 12 / 28 Úplné a kompaktní metrické prostory Ohraničené a kompaktní množiny Množina A prvků metrického prostoru se nazýva ohraničená nebo omezená, jestliže je její průměr konečný, tj. existuje kladné reálné číslo r takové, že d(x,y) < r pro všechny prvky x, y £ A V opačném prípade je neohraničená nebo neomezená. Metrický prostor X se nazývá kompaktní, jestliže v něm má každá posloupnost x; G X podposloupnost konvergující k nějakému bodu x e X. Pro libovolné podmnožiny A, B c X v metrickém prostoru X s metrikou d definujeme vzdálenost dist(A B)= sup {d(x,y)}. xeA,yeB Je-1i A = {x} jednobodová množina, hovoříme o vzdálenosti dist(x, B) bodu od množiny. MB202/10 13 / 28 Úplné a kompaktní metrické prostory Řekneme, že je metrický prostor X totálně omezený, jestliže ke každému kladnému číslu e > 0 existuje konečná množina A taková, že dist(x, A) < e pro všechny body x e X. Připomeňme, že metrický prostor je omezený, jestliže má celé X konečný průměr. Je okamžitě vidět, že totálně omezený prostor je také omezený. Skutečně, průměr konečné množiny je vždy konečný a jeli A množina z definice totální omezenosti příslušná k e, pak vzdálenost dvou bodů d(x,y) můžeme vždy shora odhadnout součtem dist(x, A), dist(y,/4) a diam A což je konečné číslo. V případě metriky na podmožině konečněrozměrného euklidovského prostoru tyto pojmy splývají. MB202/10 14 / 28 Úplné a kompaktní metrické prostory Theorem Následující podmínky na metrický prostor X jsou ekvivalentní O X je kompaktní, Q každé otevřené pokrytí X obsahuje konečné pokrytí, 0 X je úplný a totálně omezený. MB202/10 15 / 28 Důkaz koi Theorem Uvažujme konečný interval [a, b] s délkou T = b — a. Dále nechť f je funkce s reálnými nebo komplexními hodnotami v S1 [a, b] (tj. po částech spojitá funkce s po částech spojitou první derivací), periodicky rozšířená na celé M.. Potom platí: O Částečné součty s/v její Fourierovy řady konvergují bodově k funkci @ Je-li navíc f spojitá periodická funkce s po částech spojitou derivací, pak je bodová konvergence její Fourierovy řady stejnoměrná. O L.2-vzdálenost ||s/y — f\\2 částečných součtů s/v Fourierovy řady od funkce f na 51[a, b] vždy konverguje k nule při N —> oo. MB202/10 17 / 28 Důkaz koi Theorem Nechi fn, n = 1, 2,..., je ortogonální posloupnost funkcí Riemannovsky integrovatelných na I = [a, b] a necht g je libovolná funkce Riemannovsky integrovatelná v kvadrátu na I. Označme cn = ||fn|| 2 / fn{x)g(x)dx. J a (1) Pro libovolné pevné íiéN má ze všech lineárních kombinací funkcí fí,..., fn nejmenší vzdálenost od g výraz n hn = ^2qfi(x). i=i MB202/10 18 / 28 Důkaz koi Theorem (pokračování) (2) Řada čísel Yľ^Ĺi cnll^ill2 vždy konverguje a platí oo £cnWoo EJl\\r ||2 li ||2 cnllrn|| = lléll • MB202/10 19 / 28 Důkaz koi Lemma (Holderova nerovnost) Pro pevné reálné číslo p > 1 a každé dvě n-tice nezáporných reálných čísel x, a y j platí n , n s l/p , n N l/q /=i E=i 7 E=i kde l/q = 1 - l/p. MB202/10 20 / 28 Dirichletovo jádro 1 N fT/2 sN(t) = - V / f(x)e-^kxei^ktdx, ' k=-NJ-T/2 kde T je základní perioda, se kterou pracujeme a lo = 2-k/T. Můžeme přepsat fT/2 sN(t) = / KN{t- x)f{x)dx J-T/2 a funkci 1 N KN(y) = y E ^ k=-N nazýváme Dirichletovo jádro. Důkaz koi Dirichletovo jádro je kouskem geometrické řady s poměrem členů elujy. Můžeme ji tedy přímo vyjádřit pro všechna y / 0 ! e-iNuiy _ ei(N+l)uiy Mr) = 7-j—^ry- 1 _e->(N+l/2)u>y + ei(N+l/2)uy T QÍojy/2 _ e-iwy/2 1 sin((/V + l/2)uy) ~ 7 sin(wy/2) ' V bodě y = 0 samořejmě přímo vidíme K/v(0) = y(2/V + 1). MB202/10 22 / 28 Integrální operátory V konečněrozměrných vektorových prostorech: • vektory jsou dány v bázi souřadnicemi (zobrazení z konečné množiny do souřadnic) • výběr jedné souřadnice je lineární zobrazení vektorů do skalárů (tzv. lineární forma), obecně je každá lineární forma zadána pomocí jednořádkových matic (vektorů v duálním prostoru) jako součet součinů hodnot formy f = (fi,..., fn) na generátorech se souřadnicemi vektoru xT = (xi,... ,xn)T. • Složitější lineární zobrazení s hodnotami opět ve vektorových prostorech byla obdobně zadána maticemi. Velice podobně umíme přistoupit k lineárním operacím na prostorech funkcí. MB202/10 24 / 28 Integrální operátory Pracujme opět s vektorovým prostorem S všech po částech spojitých funkcí na intervalu / = [a, b\. Lineární zobrazení S —> M se nazývají (reálné) lineární funkcionály. Jednoduché příklady: • vyčíslení funkce (případně jejích derivací) v jednotlivých bodech: f M- L(f) = f(xo) • pomocí integrace zadáme integrální funkcionál s pomocí pevně zvolené funkce g(x): L(f)= [bf(x)g(x)dx. Funkce g[x) zde hraje roli váhy, se kterou při definici Riemannova integrálu bereme jednotlivé hodnoty reprezentující funkci f(x). Nejjednodušším příkladem takového funkcionálu je samozřejmě Riemannův integrál samotný, tj. případ s g (x) = 1 pro všechny body x. MB202/10 25 / 28 Integrální operátory Dobrou představu dává volba je-li |x| > a je-li |x| < a. To je funkce hladká na celém M. s kompaktním nosičem v intervalu (—a, a). Integrální funkcionál je možné vnímat jako „rozmlžené zprůměrování" hodnot funkce f kolem bodu x = y (funkce g má ve svém středu má hodnotu jedna a hladkým monotónním způsobem se plynule přimkne k nule ve vzdálenosti a na obě strany). Ještě lepší volbou je z tohoto pohledu libovolná funkce g jejíž integrál přes celou reálnou osu je jednička. MB202/10 26 / 28 Integrální operátory Pohled na integrální funkcionál Ly jako na zprůměrované chování funkce f v okolí daného bodu je názornější pro případ nevlastních mezí integrálu a = —oo, b = oo. Místo prostoru S všech po částech spojitých funkcí na M budeme uvažovat po částech spojité a v absolutní hodnotě integrovatelné funkce f v roli argumentu pro náš funkcionál. Volný parametr y může být vnímán jako nová nezávislá proměnná a naše operace tedy ve skutečnosti zobrazuje funkce opět na funkce f i-> f: Této operaci se říká konvoluce funkcí f a g, značíme ji f * g. Většinou se konvoluce definuje pro reálné nebo komplexní funkce s kompaktním nosičem na celém M. MB202/10 27 / 28 Integrální operátory Pomocí transformace t = z — x se snadno spočte (f * g)(z) = / f (x)g(z -x)dx=- f (z- t)g(t) dt = (g* f)(z), je tedy konvoluce coby binární operace na dvojicích funkcí s kompaktními nosiči komutativní. Konvoluce je mimořádně užitečný nástroj pro modelování způsobu, jak můžeme pozorovat experiment nebo jak se projevuje prostředí při přenosu informací (např. analogový audio nebo video signál ovlivňovaný šumy apod.). Argument f je přenášenou informací, funkce g je volena tak, aby co nejlépe vystihovala vlivy prostředí či zvoleného technického postupu. MB202/10 28 / 28