Průběh funkce
433721
MB202
Jaro 2015
𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑒𝑒
1
𝑥𝑥
• 𝐷𝐷𝐷𝐷 = 𝑅𝑅 − {0}
• 𝐻𝐻𝐻𝐻 = 𝑅𝑅+
• 𝑓𝑓 𝑥𝑥 ≠ 𝑓𝑓 −𝑥𝑥 , není sudá
• 𝑓𝑓 −𝑥𝑥 ≠ −𝑓𝑓 𝑥𝑥 , není lichá
• 𝑓𝑓′ 𝑥𝑥 = 𝑒𝑒
1
𝑥𝑥 −1
1
𝑥𝑥2 = −
𝑒𝑒
1
𝑥𝑥
𝑥𝑥2
• První derivace nemá žádné nulové body
• Z toho plyne že 𝑓𝑓 𝑥𝑥 je klesající na celém 𝐷𝐷𝐷𝐷 a nemá
lokální extrémy
interval (−∞, 𝟎𝟎) (𝟎𝟎, ∞)
Sgn 𝑓𝑓′
𝑥𝑥 − −
𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑒𝑒
1
𝑥𝑥
• 𝑓𝑓′′ 𝑥𝑥 = −1 −2
1
𝑥𝑥3 𝑒𝑒
1
𝑥𝑥(−1)
1
𝑥𝑥2 =
𝑒𝑒
1
𝑥𝑥(2𝑥𝑥+1)
𝑥𝑥4
• Druhá derivace má nulový bod 𝑓𝑓′
′ 𝑥𝑥 = 0 v 𝑥𝑥 = −
1
2
• Z toho plyne že 𝑓𝑓 𝑥𝑥 je konvexní na intervalech
(−
𝟏𝟏
𝟐𝟐
, 𝟎𝟎), (𝟎𝟎, ∞) a konkávní na intervalu (−∞, −
𝟏𝟏
𝟐𝟐
)
• Má jediný inflexní bod 𝑥𝑥 = −
1
2
interval
(−∞, −
𝟏𝟏
𝟐𝟐
) (−
𝟏𝟏
𝟐𝟐
, 𝟎𝟎) (𝟎𝟎, ∞)
Sgn 𝑓𝑓′
𝑥𝑥 − + +
𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑒𝑒
1
𝑥𝑥
• Asymptoty bez směrnice: 𝑥𝑥 = 0
• Asymptoty se směrnicí y = 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏
𝑎𝑎 = lim
𝑥𝑥→∞
𝑓𝑓(𝑥𝑥)
𝑥𝑥
= lim
𝑥𝑥→∞
𝑒𝑒
1
𝑥𝑥
𝑥𝑥
= lim
𝑥𝑥→∞
1
𝑥𝑥
∙ lim
𝑥𝑥→∞
𝑒𝑒
1
𝑥𝑥 = 0 ∙ 1 = 0
𝑏𝑏 = lim
𝑥𝑥→∞
(𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝑎𝑎𝑎𝑎) = lim
𝑥𝑥→∞
𝑒𝑒
1
𝑥𝑥 = 𝑒𝑒0 = 1
• Přímka 𝑦𝑦 = 1 je asymptotou se směrnicí pro 𝑥𝑥 → ∞.
• Analogicky vyřešíme pro 𝑥𝑥 → −∞. Opět vyjde přímka
𝑦𝑦 = 1