Homérova shéma
Michal Korbela, Filip Pokrývka 26. februára 2015
Michal Korbela, Filip Pokrývka
Homérova schéma
Veta:
Majme polynóm stupňa n nad poľom K P (x) = anxn + an_1x"_1 + ...aix + a0. Podelíme ho polynómom x — c, c G K a dostaneme polynóm Q(x) stuňa najviac n — 1 a zvyšok       r G K. Koeficienty polynomu Q{x) = Ďn_1x"_1 + bn_2x"~2 + ... + b0 a r máme dostať cez Homérovu schému.
Michal Korbela, Filip Pokrývka
š -O<^o
Homérova schéma ^^^^^^^^^^^^^^
P(x) : (x - c) = Q(x) + ^
Michal Korbela, Filip Pokrývka
Homérova schéma ^^^^^^^^^^^^^^
P(x) : (x - c) = Q(x) + ^ /.(x - c)
P(x) = Q(x)(x - c) + r
Michal Korbela, Filip Pokrývka
Homérova schéma ^^^^^^^^^^^^^^
P(x) : (x - c) = Q(x) + ^ /.(x - c)
P(x) = Q(x)(x - c) + r P(x) = Q(x)x - Q{x)c + r
Michal Korbela, Filip Pokrývka
Homérova schéma ^^^^^^^^^^^^^^
P(x) : (x - c) = Q(x) + ^ /.(x - c)
P(x) = Q(x)(x - c) + r P(x) = Q(x)x - Q{x)c + r
a„x" + an_ix"_1 + an-2xn~2  + ... +  aix + a0 =
Michal Korbela, Filip Pokrývka
Homérova schéma ^^^^^^^^^^^^^^
P(x) : (x - c) = Q(x) + ^ /.(x - c)
P(x) = Q(x)(x - c) + r P(x) = Q(x)x - Q{x)c + r
a„x" + an_ix"_1 + an-2xn~2  + ... +  aix + a0 = 6n_ix" + ď^x"-1 + bn_3xn-2  +...+ 60x+
Michal Korbela, Filip Pokrývka
Homérova schéma
Dôkaz:
P(x) : (x - c) = Q(x) + ^ /.(x - c)
P{x) = Q{x){x - c) + r P(x) = Q(x)x - Q(x)c + r
anxn + an_ix"_1 + an_2x"-2  + ... +  a^x + a0 = bn_lXn + bn^x"-1 + bn_3xn-2  +...+ 60x+
— cĎn_1x"_1 — cbn_2x" ~2 — ... — cbix — cb0
Michal Korbela, Filip Pokrývka
Homérova schéma
Dôkaz:
P(x) : (x - c) = Q(x) + ^ /.(x - c)
P{x) = Q{x){x - c) + r P(x) = Q(x)x - Q(x)c + r
anxn + an_ix"_1 + an_2x"-2  + ... +  a^x + a0 = bn_lXn + bn^x"-1 + bn_3xn-2  +...+ 60x+
— cĎn_1x"_1 — cbn_2x" ~2 — ... — cbix — cb0 + r =
Michal Korbela, Filip Pokrývka
Homérova schéma ^^^^^^^^^^^^^^
P(x) : (x - c) = Q(x) + ^ /.(x - c)
P(x) = Q(x)(x - c) + r P(x) = Q(x)x - Q{x)c + r
a„x" + an_ix"_1 + an-2xn~2  + ... +  aix + a0 = 6n_ix" + ď^x"-1 + bn_3xn-2  +...+ 60x+
— cĎn_1x"_1 — cbn_2xn ~2 — ... — cbix — cb0 + r = (6„_i )x" + (Ď„_2 - cb^x"-1 + (Ď„_3 - cĎn_2)x"-2 +... + cb0 + r
Michal Korbela, Filip Pokrývka
Homérova schéma
Dôkaz:
P(x) : (x - c) = Q(x) + ^ /.(x - c)
P{x) = Q(x)(x - c) + r P(x) = Q(x)x - Q{x)c + r
a„x" + an_ix"_1 + an-2xn~2  + ... +  aix + a0 = 6n_ix" + ď^x"-1 + bn_3xn-2  +...+ 60x+
— cĎn_1x"_1 — cbn_2xn ~2 — ... — cbix — cb0 + r = (6„_i )x" + (Ď„_2 - cb^x"-1 + (Ď„_3 - cĎn_2)x"-2 +... + cb0 + r —>• an = bn_i —y bn_i = an
->• an_i = bn-2 - cbn-i ->• bn-2 = cbn-i + an_i...
Michal Korbela, Filip Pokrývka
Homérova schéma
Dôkaz:
P(x) : (x - c) = Q(x) + ^ /.(x - c)
P{x) = Q(x)(x - c) + r P(x) = Q(x)x - Q{x)c + r
a„x" + an_ix"_1 + an-2xn~2  + ••• +  aix + a0 = 6n_ix" + ď^x"-1 + bn_3xn-2  +...+ 60x+
— cĎn_1x"_1 — cbn_2xn~2 — ... — cĎxx — cď0 + r = (6„_i )x" + (Ď„_2 - d?„_i )x"-1 + (Ďn_3 - cĎn_2)x"-2 +... + cb0 + r —>• an = bn_i —y bn_i = an
->• an_i = bn-2 - cbn-i ->• bn-2 = cbn-i + an_i... aQ = r - cbQ     r = cbQ + a0
Michal Korbela, Filip Pokrývka
Homérova schéma
Veta:
Ak Homérovou schémou delíme polynom P (X) polynómom (x — c), tak posledný koeficient (r) je rovný P(c).
Michal Korbela, Filip Pokrývka
š -O<^o
Homérova schéma
Veta:
Ak Homérovou schémou delíme polynom P (X) polynómom (x — c), tak posledný koeficient (r) je rovný P(c).
Dôkaz:
P(x) = Q(x)(x - c) + r -> P(c) = Q(c).(c - c) + r = r —>• r je posledný koeficient získaný cez hornerovu schému.
Michal Korbela, Filip Pokrývka
Homérova schéma
Veta:
Ak Homérovou schémou delíme polynom P (X) polynómom (x — c), tak posledný koeficient (r) je rovný P(c).
Dôkaz:
P(x) = Q(x)(x - c) + r -> P(c) = Q(c).(c - c) + r = r —>• r je posledný koeficient získaný cez hornerovu schému.
Dôsledok:
Ak dostaneme dostaneme pre nejaké c, že r = 0, tak c je koreň polynomu P.
Michal Korbela, Filip Pokrývka