Zkouška MB202
JS 2015, sk. Ukázka
Jméno a příjmení
uco
Počet listů přílohy
Příklad	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	B	Z	E
Body														
Příklad 1   [4 b.l:    Je dána funkce
x2 sin
in - x 0 0 x = 0.
a) Napište definici spojitosti funkce v bodě a s její pomocí rozhodněte o spojitosti funkce / v bodě x0 = 0.
b) Napište definici derivace funkce v bodě a s její pomocí určete derivaci funkce / v bodě Xq = 0.
► Příklad 2 [3 b. ] : Naformulujte některou Bolzanovu větu o spojité funkci a kratčeji vysvětlete na obrázku.
► Příklad 3 [3b.]: Udejte příklad funkcí g,h, které nejsou na intervalu [—2, 3] integro-vatelné (v Riemannově smyslu), ale absolutní hodnoty těchto funkcí, tj. \g\, \h\, zde integrova-telné jsou a platí
ŕ ŕ
/   \g(x)\dx = 17,        /   \h(x)\dx = —3.
J-2 J-2
Vše pro zvolené funkce řádně zdůvodněte, popř. zdůvodněte, proč požadovaná funkce neexistuje.
► Příklad 4 [5b.]: Uveďte definici vlastnosti, která zajistí, že je konvergentní řadu možné přeskládat v řadu divergující k minus nekonečnu. Napište příklad řady s touto vlastností a popište (stačí obecně) jak lze takové přeskládání provést.
► Příklad 5  [3 b.]:   Najděte Lagrangeův interpolační polynom funkce dané tabulkou.
X	-1	0	2	3
/(*)	5	10	2	1
Dále pomocí získaného polynomu odhadněte hodnotu funkce / v x0 =
-1/2.
Příklad 6  [4 b.]:    Určete limity
Inx I
_ /       11 x \ÍI1X
(i) lim (3n — v9n2 — 3),    (ii)  lim (cos — )     ,    (iii) lim
100
► Příklad 7 [4 b.]: Vlakjedoucí rychlostí 90 km/h má zabrzdit tak, aby se rovnoměrně zpomaleným pohybem zastavil na vzdálenosti 1 km.
a) Za jaký čas zastaví?
b) Jaká bude jeho rychlost 30 s potom, co začne brzdit?
(Nápověda: Dráhu popisuje vztah s = v0t — ^at2, kde v0 je počáteční rychlost, a je zrychlení.)
► Příklad 8  [3 b. ] :   Určete intervaly monotonie a lokální extrémy funkce
/(*) = ^2-
► Příklad 9  [4 b.]:   Vyčíslete integrály
feS       7 f% f°° —3
(i)   /    — dx,    (ii)   /   xs'mxdx,    (iii)   / —=—-=dx.
Ji   x^/l + \nx Jo J4 y/xe^x
► Příklad 10  [3 b.]:   Určete pro která x E IR je mocninná řada
(-l)n(x + 2)n
n + J n
n=l
konvergentní / absolutně konvergentní / relativně konvergentní. ► Příklad 11  [4 b.]:   Pomocí součtu mocninné řady
oo
^2n(n + 2)xn,       \x\ < 1,
n=l
určete součet řady
n=l
Je velmi pravděpodobné, že se v některých "ostrých " variantách písemky objeví např. také slovní úlohy na extrémy, přičemž taková úloha múze nahradit libovolnou jinou.
t> Čitelně vyplňte identifikační údaje a počet listů, které k zadání přikládáte. t> Tabulku na body ponechejte prázdnou.
t> U výpočtů příkladů řádně označujte, ke kterému příkladu (a jeho části) patří.
t> Každý výsledek musí být podpořen výpočtem (zdůvodněním), jakkoli je triviální.
t> Je-li požadován daný způsob řešení (např. metodami diferenciálního počtu), není možné řešit jinak (např. úvahou, vypsáním všech možností atd.).
t> Všechny papíry s výpočty podepište a odevzdejte společně se zadáním.
t> Není povoleno použití kalkulačky ani žádných materiálů (tabulky, vzorce, skripta, poznámky,...). Jakýkoli pokus o podvádění bude mít za následek hodnocení 0 bez možnosti opravy.