FI: JARO 2014 Verze: 19. března 2015 Přednášky k předmětu MB 102 Autor: Roman Simon Hilscher Přednášející: Petr Hasil Obsah Přehled přednášek podle strany ukončení iii 1. Polynomy a interpolace 1 1.1. Interpolace 2 1.2. Lagrangeův interpolační polynom 3 1.3. Derivace polynomu 4 1.4. Hermiteův interpolační polynom 5 1.5. Interpolace splajny 7 1.6. Rozklad na parciální zlomky 8 2. Diferenciální počet 10 2.1. Reálná čísla 10 2.2. Supremum a infimum v IR 10 2.3. Intervaly 11 2.4. Limita 11 2.5. Spojitost 16 2.6. Body nespojitosti 22 2.7. Derivace 23 2.8. Vlastnosti a pravidla derivací 27 2.9. Derivace elementárních funkcí 32 2.10. Věty o střední hodnotě 37 2.11. ĽHospitalovo pravidlo 38 2.12. Derivace implicitně zadaných funkcí 40 2.13. Jednoduché slovní úlohy s derivacemi 41 2.14. Monotonie funkce a extrémy 44 2.15. Konvexnost, konkávnost, inflexe 49 2.16. Asymptoty 51 2.17. Celkový průběh funkce 54 2.18. Optimalizace 56 2.19. Diferenciál funkce 58 2.20. Taylorův polynom 59 3. Integrální počet 71 3.1. Primitivní funkce 71 ii 3.2. Základní integrační metody 74 3.3. Integrování racionálních lomených funkcí 79 3.4. Riemannův integrál 81 3.5. Vlastnosti Riemannova integrálu 86 3.6. Věty o střední hodnotě 88 3.7. Integrál jako funkce horní meze 91 3.8. Metody výpočtu určitého integrálu 95 3.9. Aplikace určitého integrálu 98 3.10. Nevlastní integrály 105 4. Nekonečné řady 112 4.1. Nekonečné číselné řady 112 4.2. Nekonečné řady s nezápornými členy 118 4.3. Alternující řady 124 4.4. Absolutně a relativně konvergentní řady 125 4.5. Mocninné řady 130 4.6. Poloměr konvergence mocninné řady 133 4.7. Taylorovy a Maclaurinovy řady 141 4.8. Aplikace nekonečných řad 146 4.9. Řady funkcí 148 5. Elementární diferenciální rovnice 150 5.1. Úvod a motivace 150 5.2. Diferenciální rovnice 1. řádu 151 5.3. Diferenciální rovnice se separovanými proměnnými 152 5.4. Lineární diferenciální rovnice 1. řádu 154 5.5. Aplikace lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu 156 5.6. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu 161 Literatura 163 íii přehled přednášek podle strany ukončení Konec 1. přednášky (19.2.2015) ................................................... 9 Konec 2. přednášky (26.2.2015) .................................................. 22 Konec 3. přednášky (5.3.2015) ................................................... 38 Konec 4. přednášky (12.3.2015) .................................................. 49 Konec 5. přednášky (19.3.2015) .................................................. 70 Konec 6. přednášky (26.3.2015) ................................................. 163 Konec 7. přednášky (2.4.2015) .................................................. 163 Konec 8. přednášky (9.4.2015) .................................................. 163 Konec 9. přednášky (16.4.2015) ................................................. 163 Konec 10. přednášky (23.4.2015) ................................................ 164 Konec 11. přednášky (30.4.2015) ................................................ 164 Konec 12. přednášky (7.5.2015) ................................................. 164 Konec 13. přednášky (14.5.2015) ................................................ 164 Konec dokumentu .................................................................. 164 1 1. Polynomy a interpolace Citace z [8, str. 237]: „V této kapitole začneme budovat nástroje umožňujících modelování závislostí, které nejsou ani lineární ani diskrétní. S takovou potřebou se často setkáme, když popisujeme systém vyvíjející se v čase a to ne jen v několika vybraných okamžicích, ale „souvisle", tj. pro všechny možné okamžiky. Někdy je to přímo záměr či potřeba (třeba ve fyzikálních modelech klasické mechaniky), jindy je to vhodné přiblížení diskrétního modelu (třeba u ekonomických, chemických nebo biologických modelů)." Polynomem nad IR rozumíme zobrazení / : IR —y IR dané výrazem f{x) = an xn + an-i xa~x + • • • + a\ x + ao, kde <2j G IR, i = 0,..., n, jsou pevně daná čísla (koeficienty). Pokud je an ^ 0, říkáme, že polynom / je stupně n. Stupeň nulového polynomu není definován. Pro polynomy / stupně n a, g stupně m, existují jednoznačně určené polynomy g a r takové, že stupeň r je menší než m nebo ]er = 0af = q- g + r, viz [ , str. 238]. Je-li pro nějaký prvek b G IR hodnota f(b) = 0, pak to znamená, že v podílu f(x) = q(x)(x — b) + r(x) musí být r = 0. Jinak by totiž nebylo možné dosáhnout f(b) = q(b) ■ 0 + r, kde stupeň r je nulový. Říkáme, že b je kořen polynomu /. Stupeň g je pak právě n — 1. Pokud má q opět kořen, můžeme pokračovat a po nejvýše n krocích dojdeme ke konstantnímu polynomu. Dokázali jsme tedy, že každý nenulový polynom nad IR má nejvýše tolik kořenů, kolik je jeho stupeň. Odtud již snadno dovodíme i následující pozorování. Lemma 1. Dva polynomy f a g nad IR jsou si rovny (jako zobrazeni), právě když maji shodné koeficienty. Důkaz. Předpokládejme f = g, tj. f — g = 0 jako zobrazení. Polynom (/ — g)(x) tedy má nekonečně mnoho kořenů, což je možné pouze tehdy, je-li nulovým polynomem. □ Příklad 1. Uvědomme si, že u konečných polí samozřejmě takové tvrzení neplatí. Uvažte např. polynom p(x) = x2 + x nad Z2 = {0,1}. Potom je p(0) = 0 a p(l) = 1 + 1 = 0, ale p(x) není nulový polynom. □ Hornerovo schéma i e praktický nástroj pro výpočet hodnoty polynomu v nějakém bodě (v důsledku i pro výpočet kořenu polynomu a podílu po dělení příslušným kořenovým činitelem). Uvažme polynom f{x) = an xn + an_i xa~x + an_2 xn~2 + • • • + a2 x<2 + ai x + ao a pevně zvolený bod xq G IR. Uvažujme postupně hodnoty b0 := an, bi := x0 b0 + an_i, b2 := x0 bi + an_2, b% := x0 b2 + an_3, • • •, ..., 6n_! := Xq bn_2 + ď\i bn := x0 bn_\ + a0 = f(x0). Tj. násobíme číslo xq koeficientem an a přičteme koeficient an_i, pak to celé vynásobíme číslem xq a přičteme koeficient an_2, atd. Nakonec takto získáme hodnotu polynomu f(x) v bodě x$. Postup zapisujeme do tabulky takto an-l an-2 an-3 a0 Xq bo '■= aj(xí ~ xj)' tedy V(x0, ...,xn)= Y\_ (xí~ xj) ŕ 0, i,j=0,...,n i > j protože jsou body xq, ... ,xn (po dvou) různé. Odtud ale vyplývá jednoznačná existence hledaného polynomu. Protože polynomy jsou jako zobrazení stejné, právě když mají stejné koeficienty věta je dokázána. □ Jednoznačně určený polynom / z předchozí věty nazýváme interpolační polynom pro hodnoty y,i v bodech Xi. Citace z [7]: „Na první pohled se může zdát, že reálné nebo případně racionální polynomy, tj. polynomiálně zadané funkce IR —y IR nebo Q —y Q, tvoří hezkou velikou třídu funkcí jedné proměnné. Můžeme jimi proložit jakékoli sady předem zadaných hodnot. Navíc se zdají být snadno vyjádřitelné, takže by s jejich pomocí mělo být dobře možné počítat i hodnoty těchto funkcí pro jakoukoliv hodnotu proměnné x. Při pokusu o praktické využití v tomto směru ovšem narazíme hned na několik problémů. Prvním z nich je potřeba rychle vyjádřit polynom, kterým zadaná data proložíme. Pro řešení výše diskutovaného systému rovnic totiž budeme obecně potřebovat čas úměrný třetí mocnině počtu bodů, což při objemnějších datech je jistě těžko přijatelné. Podobným problémem je pomalé vyčíslení hodnoty polynomu vysokého stupně v zadaném bodě. Obojí lze částečně obejít tak, že zvolíme vhodné vyjádření interpolačního polynomu (tj. vybereme lepší bázi příslušného vektorového prostoru všech polynomů stupně nejvýše n, než je ta nejobvyklejší l,x,x2,... ,xn).CÍ 1.2. Lagrangeův interpolační polynom. Sestrojíme si nejprve pomocné polynomy li s vlastností £i(xj) = < • / • Zřejmě musí být tyto polynomy až na konstantu rovny výrazům (x — Xq) . . . (x — Xi-\)(x — Xi+i) . . . (x — Xn), a proto ri^iO^_ xj) Hledaný Lagrangeův interpolační polynom pak je dán jako f(x) = y0io(x) + yxtxix) H-----h ynin(x). Citace z [8, str. 241]: „Toto vyjádření má nevýhodu ve velké citlivosti na nepřesnosti výpočtu při malých rozdílech zadaných hodnot xÍ7 protože se v ní těmito rozdíly dělí. (Pozn.: všimněme si ale, že přímá konstrukce Lagrangeova polynomu může nahradit existenční část důkazu v předchozí Větě 1.) Další nepříjemností je velice špatná stabilita hodnot reálných nebo racionálních polynomů při zvětšující se hodnotě proměnné x. Brzy budeme mít nástroje na přesný popis kvalitativního chování funkcí, nicméně i bez nich je zřejmé, že podle znaménka koeficientu u nejvyšší mocniny polynomu se hodnoty velice rychle při rostoucím x vydají buď do plus nebo do mínus nekonečna. Ani toto znaménko koeficientu u nejvyššího stupně se ale u interpolačního polynomu při malých změnách prokládaných hodnot nechová stabilně." Viz soubor . 4 Příklad 3. Nalezněte polynom P splňující následující podmínky: P(2) = 1, P(3) = 0, P(4) = -l, P(5) = 6. Tento příklad a jeho řešení je převzat z [8, str. 237-238]. Řešení. Řešíme buď přímo, tj. sestavením soustavy čtyř lineárních rovnic o čtyřech neznámých. Předpokládáme polynom ve tvaru a^x3 + ci2x2 + a\X\ + a®. Víme, že polynom stupně nejvýše tři splňující podmínky v zadání je dán jednoznačně. a0 + 2a! + 4a2 + 803 = 1 a0 + 3<2i + 9a2 + 27a3 = 0 GtO + 4<2i + 16(32 + 64(33 = —1 ao + 5<2i + 25a2 + 125a3 = 6. Každá rovnice vznikla z jedné z podmínek v zadání. Druhou možností je vytvořit hledaný polynom pomocí fundamentálních Lagrangeových polynomů: P(x) = l>~3)(x~4)(:g~5)+0.( ) + 1 > (2-3)(2-4)(2-5) + [-") + (x-2)(x-3)(x-5) (x-2)(x-3)(x-4) 1 J (4-2)(4-3)(4-5) (5-2)(5-3)(5-4) 4 o ,101 = -x3-12x2 +-a:-29. 3 3 Koeficienty tohoto polynomu jsou samozřejmě jediným řešením výše sestavené soustavy lineárních rovnic. □ 1.3. Derivace polynomu. Derivace polynomu je lineární zobrazení prostoru Vn polynomů stupně nejvýše n do prostoru Vn-i polynomů stupně nejvýše n — 1 takové, že každý polynom xk standardní báze je zobrazen na polynom kxk~1. Tuto operaci značíme '. Příklad 4. (xy = 1, (x2y = 2x, (x3y = 3x2, (x100y = íoox", (iy = o. □ Z linearity tohoto zobrazení tedy plyne, že derivace polynomu P(x) = an xn + an-i xn~x + • • • + (32 x2 + a\ x + a® je polynom P'(x) = nan xa~x + (n — 1) an_i xn~2 + • • • + 2 a2 x + ai- Druhá derivace polynomu je opět lineární zobrazení prostoru Vn do prostoru Pn_2 definované jako iterace výše uvedeného zobrazení derivace. Tj. polynom xk standardní báze je zobrazen na polynom k(k — l)xk~2. Tuto operaci značíme ". Příklad 5. (x)" = (1)' = 0, (x2)" = (2x)' = 2, (x3)" = (3x2)' = Qx, (x100)" = (lOOx99)' = 9900x98, (1)" = (0)' = 0. □ 5 Více se o derivacích (nejen polynomů) dozvíte později v tomto semestru. 1.4. Hermiteův interpolační polynom. Citace z [8, str. 243]: „Uvažme opět m + 1 po dvou různých reálných hodnot xq, ... ,xm, tj. Xi ^ Xj pro všechna i ^ j. Budeme chtít zase prokládat pomocí polynomů předem dané hodnoty, tentokrát ale budeme vedle hodnot předepisovat i první derivace. Tj. předepíšeme y,i a y[ pro všechna i. Hledáme polynom /, který bude nabývat těchto předepsaných hodnot a derivací." Zcela analogicky jako u interpolace pouhých hodnot obdržíme pro neznámé koeficienty polynomu f(x) = anxn + ... do systém rovnic a0 + x0aľ H-----h (x0)nan = y0 + n(x0)n_1a„ = y'0 ai + 2xma2 H-----h n(xm)n_1an = y'm. Toto je systém 2m + 2 rovnic pro n + 1 neznámých. Volbou stupně hledaného polynomu n = 2m + 1 bude determinant tohoto systému rovnic nenulový a tudíž bude existovat právě jedno řešení. Nalezený polynom nazýváme Hermiteův interpolační polynom. Příklad 6. Nalezněte polynom P splňující následující podmínky: P(l) = 0, P'(l) = 1, P(2) = 3, P'(2) = 3. Řešeni. Máme m = 1 a hledáme polynom stupně n = 2m + 1 = 3, tj. P(x) = x3 + a2 x2 + a\ x + ao-Dosazením Zel — 1 cl X — 2 do výrazu pro P(x) a P'(x) dostaneme systém P(l) = a3 + a2 + ai + a0 = 0, P(2) = 8a3 + 4a2 + 2ax + a0 = 3, P'(l) = 3a3 + 2a2 + % = 1, P'(2) = 12a3 + 4a2 + ax = 3. Vyřešením tohoto systému dostaneme P(rr) = — 2x3 + 10x2 — 13rr + 5. □ Stejně jako při konstrukci Lagrangeova polynomu lze Hermiteův interpolační polynom zkonstruovat přímo pomocí tzv. fundamentálních Hermiteových polynomů. Podrobnosti viz [8, str. 244]. Nej jednodušší případ je zadání hodnoty a derivace v jediném bodě. Tím určíme beze zbytku polynom stupně n = 1, tj. f(x) = f(x0) + f'(x0) ■ (x - x0), tj. právě rovnici přímky zadané hodnotou a směrnicí v bodě xq. a0 + xmal + ' ai + 2x0a2 H---- 6 Příklad 7. Nalezněte polynom P splňující následující podmínky: P(l) = 2, P'(l) = 3. Řešeni. P(x) = P(l) + P'{\) ■ (x - 1) = 2 + 3(x - 1) = 3x - 1. □ Když zadáme hodnotu a derivaci ve dvou bodech, tj. f(xo) = yo, f'(xo) = y'Q, f{xi) = y±, f'(xi) = y[ pro dva různé body xq a x±, dostaneme ještě pořád snadno počítatelný problém. Ukažme si jej ve zjednodušeném provedení, kdy xq = 0, x\ = 1. Příklad 8. Hledáme polynom stupně n = 2m + 1 = 3, tj. f(x) = x3 + 02 x2 + a\ x + a®. Dosazením za 1 = 0 a x = 1 do výrazu pro f(x) a f'(x) dostaneme systém f(0) = a0 = y0, f(l)=a3 + a2 + a1 + a0 = y1, f'(0) = a1=y'Q, f'(l) = 3a3 + 2a2 + ax = y[. Tedy matice tohoto systému a její inverze mají tvar A (Vypočtěte si tuto inverzi některou z metod z MB101!) Přímým vynásobením A ■ (a3, a2, a1} a0)T pak vyjde vektor (y0, y1} y'Q, y[)T, neboli / 2y0 - 2Vl + y'0 + y[ \ -3y0 + 3í/i - 2y'0 - y[ y'o yo í° 0 0 i\ (2 -2 1 1 \ 1 1 1 1 -3 3 -2 -1 0 0 1 0 0 0 1 0 V3 2 1 \ 1 0 0 A ■ (a3,a2,a1,a0)T p (yo) = A'1- yi Ol y0 w tj. /(ar) = (2yo - 2Vl + y'0 + y[) x3 + (-3y0 + 3yi - 2y'0 - y[) x2 + y'0x + y0 □ Obdobně lze předepisovat libovolný konečný počet derivací v jednotlivých bodech a vhodnou volbou stupně polynomu obdržíme vždy jednoznačné interpolace. Bohužel, u těchto interpolací pořád zůstávají problémy zmíněné už v případě jednoduchých interpolací hodnot - složitost výpočtů a nestabilita. Použití derivací však podbízí jednoduché vylepšení metodiky. 7 1.5. Interpolace splajny. Citace z [8, str. 241]: „Jak jsme viděli na obrázcích demonstrujících nestabilitu interpolace jedním polynomem dostatečně vysokého stupně, malé lokální změny hodnot zapříčiňovaly dramatické celkové změny chování výsledného polynomu. Nabízí se tedy využití malých polynomiálních kousků nízkých stupňů, které ale musíme umět rozumně navazovat. Nejjednodušší je propojení vždy dvou sousedních bodů polynomem stupně nejvýše jedna (pozn.: vzniká lomená čára). Tak se nejčastěji zobrazují data. Z pohledu derivací to znamená, že budou na jednotlivých úsecích konstantní a pak se skokem změní. O něco sofistikovanější možností je předepsat v každém bodě hodnotu a derivaci, tj. pro dva body budeme mít 4 hodnoty a jednoznačně tím určíme Hermiteův polynom 3. stupně, viz výše. ... Takové polynomiální přiblížení po kouskách už bude mít tu vlastnost, že první derivace na sebe budou navazovat. V praxi ale není pouhé navazování první derivace dostatečné a navíc při naměřených datech nemíváme hodnoty derivací k dispozici. Přímo se proto vnucuje pokus využívat pouze zadané hodnoty ve dvou sousedních bodech, ale požadovat zároveň rovnost prvních i druhých derivací u sousedních kousků polynomů třetího stupně." Definice 1 (Kubický splajn). Nechť x0 < X\ < ■ ■ ■ < xn jsou reálné hodnoty, ve kterých jsou zadány požadované hodnoty y0,... ,yn. Kubickým interpolačním splajnem pro toto zadání je funkce S : IR —> IR, která splňuje následující podmínky: • zúžení S na interval x i] je polynom Si třetího stupně, i = 1,..., n, • Si^Xi-x) = yi-x a Sí(xí) = y{ pro všechny i = l,...n, • S'^Xi) = S'í+1(xí) pro všechny i = 1,..., n — 1, • S"{xi) = S"+1(xi) pro všechny i = 1,..., n — 1. Citace z [ , str. 245]: „Kubický splajn pro n + 1 bodů sestává z n kubických polynomů, tj. máme k dispozici An volných parametrů (první definiční podmínka). Další podmínky přitom zadávají 2n + (n — 1) + (n — 1) rovností, tj. dva parametry zůstávají volné. Při praktickém použití se dodávají předpisy pro derivace v krajních bodech, tzv. „úplný splajn", nebo jsou tyto zadány jako nula, tzv. „přirozený splajn"." Citace z [ , str. 246]: „Výpočet celého splajnu už není bohužel tak jednoduchý jako u nezávislých výpočtů Hermiteových polynomů třetího stupně, protože data se prolínají vždy mezi sousedními intervaly. Při vhodném uspořádání se však dosáhne matice systému, která má nenulové prvky prakticky jen ve třech diagonálách, a pro takové existují vhodné numerické postupy, které umožní splajn počítat také v čase úměrném počtu bodů." Příklad 9. Přirozený kubický interpolační splajn s hodnotami z Příkladu 3 (interpolace). Řešení je □ tvaru 8 obrázek 1. Srovnání kubického splajnu a Lagrangeova interpolačního polynomu. □ Více ve skriptech [8, Odstavec 5.1]. 1.6. Rozklad na parciální zlomky. Jsou-li P(x) a Q{x) polynomy, Q{x) ^ 0 (tj. polynom Q není identicky roven nulovému polynomu), potom se výraz p(x) R{x) := ——— nazývá racionální lomenou funkcí. Q(x) - Je-li st P < st Q, pak R(x) nazýváme ryze lomenou. Pokud nemají polynomy P(x) a Q(x) společný kořen (tj. ve funkci R(x) již nejde žádný výraz s proměnnou x pokrátit), potom každou takovou ryze racionální lomenou funkci lze rozložit na součet parciálních zlomků. Tento součet je až na pořadí jednotlivých zlomků určen jednoznačně. Tvar jednotlivých parciálních zlomků najdeme podle kořenů a násobností jmenovatele, tj. podle funkce Q(x). Elementární kořenové činitele polynomu Q(x) lze nad IR uvažovat buď lineární (odpovídající reálným kořenům) nebo kvadratické (odpovídající dvojicím komplexně sdružených komplexních kořenů). • Je-li a G IR reálný kořen násobnosti k, potom polynom Q(x) obsahuje činitel (x — a)k, a příslušné parciální zlomky jsou tvaru Ai A2 A3 Ak ----1--=— H--^— H-----1--—. (x — a)k {x — a)k^1 (x — a)k~2 x — a • Je-li (3 ± 7« G C dvojice komplexně sdružených komplexních kořenů násobnosti k (každý z nich), potom polynom Q{x) obsahuje činitel (x2 + px + q)k, jehož diskriminant je záporný, a příslušné parciální zlomky jsou tvaru B^ + d | B2x + C2 | B3x + C3 | | Bkx + Ck {x2 + px + q)k {x2 + px + q)k~1 {x2 + px + q)k~2 x2 + px + q Je nutné vždy zahrnout všechny parciální zlomky (až do stupně k)\ 9 Příklad 10. _ x2 + 7x + 1 (XJ ~ x(x- lf{x2 + x+lf A B C D Ex + F Gx + H x (x — l)3 (x — l)2 x — 1 (x2 + x+l)2 X2 + X + 1 □ Neznáme koeficienty u parciálních zlomků hledáme buď převodem nazpět na společného jmenovatele a porovnáním koeficientů u jednotlivých mocnin (což vede na systém lineárních rovnic), nebo jednodušeji dosadíme za proměnnou x hodnoty kořenů polynomu Q(x). Příklad 11. x+1 A B C R(x) (x -l)(x-2)2 x-1 (x-2)2 x-2 A (x - 2)2 + B (x - 1) + C (x - 1) (x - 2) (x - l)(x-2)2 Porovnáváme polynomy v čitateli: x + 1 = A (x - 2)2 + B (x - 1) + C (x - 1) (x - 2). Volbou x = 1 dostaneme A = 2, volbou x = 2 dostaneme B = 3. Další kořeny již jmenovatel nemá, zvolíme proto libovolnou jinou „jednoduchou" hodnotu, např. x = 0 a dostaneme AA — B + 2C = 1, tj. C = -2. Je tedy 2 3 2 [X) ~ x~^l + (x - 2)2 " 7^2' □ Konec 1. přednášky (19.2.2015) 10 2. Diferenciální počet 2.1. Reálná čísla. Reálná čísla zavedeme v podstatě intuitivně jako obrazy bodů na přímce, kde vyznačíme bod 0 označující počátek a rozhodneme o kladném směru (doprava). Značíme IR. Matematicky lze reálná čísla zavést pomocí axiomů, viz [8, Odstavec 5.2]. Zejména si z MB101 zopakujte pojmy suprema a infima, se kterými budeme pracovat. 2.2. Supremum a infimum v IR. Nechť je dána neprázdná množina AC1. Prvek b G IR nazveme horní závorou množiny A, pokud Ví G A : x < b, tj. pokud je prvek b větší (nebo roven) než všechny prvky v množině A. Obdobně se definuje dolní závora množiny A, tj. je to prvek a G IR s vlastností, že a < x pro všechny x E A. Řekneme, že množina A je shora ohraničená (shora omezená), pokud má A alespoň jednu horní závoru. Podobně se definuje zdola ohraničená (zdola omezená) množina A. Množina A je ohraničená (omezená), pokud je A současně zdola i shora ohraničená. Viz příklady reálných intervalů. Nejmenší horní závora množiny A se nazývá supremum množiny A. Tj. prvek b G IR je supremum množiny A, pokud jsou splněny následující dvě podmínky: — \/ x £ A : rr < 6 (tj. 6 je horní závora množiny A), — je-li y G IR horní závora množiny A, potom je 6 < y (tj. b je nejmenší horní závora). Supremum množiny A značíme jako b = sup A. Obdobně se definuje infimum množiny A, neboli je to největší dolní závora množiny A, značíme a = inf A. Příklad 12. Je-li A libovolný z intervalů (0,1), [0,1], [0,1) nebo (0,1], potom je vždy sup A = 1 a inf A = 0. □ Má-li množina A největší prvek b (tj. všechny ostatní prvky jsou menší než b), potom je b = sup A. Podobně, má-li množina A nejmenší prvek a (tj. všechny ostatní prvky jsou větší než a), potom je a = inf A. Výhoda suprema či infima oproti největšímu či nejmenšímu prvku spočívá v tom, že největší či nejmenší prvek nemusí v A existovat, i když je množina A ohraničená, ale supremum a infimum existují vždy. Axiom 1. (i) Každá neprázdná shora ohraničená množina ACK má supremum. (ii) Každá neprázdná zdola ohraničená množina ACK má infimum. Tyto axiomy zaručují, že v množině reálných čísel nejsou žádné „díry". Navíc lze jednoduše dokázat, že tvrzení (i) a (ii) jsou navzájem ekvivalentní, tj. stačí mít k dispozici jen jeden z nich, a ten druhý pak již platí automaticky. 11 2.3. Intervaly. Budeme se striktně držet značení, že uzavřený interval je označen hranatými závorkami [a, b] (krajní body tam patří), zatímco otevřený interval je označen kulatými závorkami (a,b) (krajní body tam nepatří). Podobně budeme uvažovat polouzavřené intervaly [a,b) a (a,b]. Nekonečné intervaly (neohraničené zdola nebo shora) značíme jako (—00,00), [a, 00), (a, 00), (—00,6], (—00,6). Symbol —00 a 00 do intervalu nikdy nepatří, je to jen značení, že do intervalu patří libovolně velké záporné či kladné body. Definiční obor funkce f(x) budeme značit symbolem T>(f), obor hodnot pak symbolem %(/). 2.4. Limita. V tomto odstavci se budeme podrobně zabývat situací, kdy se nějaké hodnoty funkce (nebo posloupnosti) „blíží" k nějakému číslu či k ±00. To pak přirozeně vede k zavedení pojmu „limita". Příklad 13. (a) K přiblížení pojmu „limita" může dobře posloužit již známý pojem infima či suprema. V Příkladu 12 jsme ukázali, že 0 = inf(0,1), l = sup(0,l), a přitom ani jedno z čísel 0, 1 v množině (0,1) neleží. Uvažujme posloupnost bodů 11 00 í 1 1 1 , , \ G (0,1) n)n=2 12' 3' 4' pro zvyšující se n. Potom vidíme, že se hodnoty této posloupnosti „nekonečně blíží" k hodnotě infima (k nule), ale nikdy této hodnoty nedosáhnou. Podobně toto platí pro posloupnost n-l)°° fl 3 4 1 , x a hodnotu suprema (jedničku), (b) Naopak, členy posloupnosti H:=0 = {0,1,2,3,...} se „nekonečně blíží" k +00 (ale nikdy této „hodnoty" nedosáhnou), stejně tak jako členy posloupnosti {-n}~ ={0,-1,-2,-3,...} n=0 se „nekonečně blíží" k —00 (ale nikdy této „hodnoty" nedosáhnou). (c) Podobně se funkční hodnoty funkce f(x) = - „nekonečně blíží" k číslu 0 když se nezávislá proměnná x zvyšuje k ±00 (viz obr.). □ Intuitivní definice limity: „Funkce f(x) má limitu L v bodě xq, pokud se funkční hodnoty f(x) libovolně blíží k číslu L, když je x dostatečně blízko k xq." Píšeme lim f(x) = L. 12 Příklad 14. Uvádíme různé „druhy" limit - vlastní/nevlastní limita ve vlastním/nevlastním bodě. (a) Pro funkci f(x) = 3x + 1 máme (viz obr.) lim(3x +1) = 10, lim (3x + 1) = oo. (b) Pro funkci f{x) = -^ máme (viz obr.) 1 1 1 lim — = oo, lim — = 0, lim — = 0. x—>0 X x—^oo x x^ř—oo X □ Označení . ir* := ir u {±oo}. Body x g ir se nazývají vlastní body, body x = ±oo se nazývají nevlastní body. Definice 2 (Okolí bodu). Buď xq g ir*. Okolí 0(xq) bodu xq je otevřený interval s vlastností (viz obr.) Í(x0- ó,x0 + ó), je-li x0 g ir, (a, oo), je-li x0 = oo (a £ ir), (—oo, b), je-li x0 = —oo (6 g ir). Množina O(x0) \ {x0} (pro x0 g ir) se nazývá ryzí (též prstencové) okolí bodu x0. Pro Xq g ir definujeme pravé okolí bodu x0 jako interval [rcoj^o + S) a. levé okolí bodu x0 jako interval (rr0 — S, x0]. Podobně je pravé ryzí okolí bodu x0 interval (x0, x0 + ô) a levé ryzí okolí bodu x0 interval (xq — ó~,xq). □ Definice 3 (Limita). Buď xq,L g ir*. Funkce f(x) má v bodě xq limitu L, píšeme lim f(x) = L, pokud pro každé okolí O [V) bodu L existuje okolí 0(xq) bodu xq tak, že pro všechna x g O (x q) \ {x0} je f(x) g O (L). (1) □ To, že v podmínce (1) požadujeme, aby i/io, znamená, že limita nezávisí na hodnotě funkce v bodě x0\ Interpretace Definice 3 záleží na tom, jestli je xq a L vlastní nebo nevlastní bod. Definice 4 (Vlastní limita ve vlastním bodě). Buď xq, LgI. Funkce f(x) má v bodě xq limitu L, pokud pro každé e > 0 (toto číslo e určuje okolí O [V) = [L — e, L + e) bodu L) existuje ô > 0 (toto číslo ô určuje okolí 0(xq) = (xq — ô, xq + ô) bodu xq) takové, že pro všechna x taková, že 0 < \x — x0\ < ô je \f{x) — L\ < e . (2) ^-v-' ^-v-' xeO(x0)\{x0} f(x)eo(L) □ 13 Zkráceně lze Definici 4 přepsat jako Ve > 0 35 > 0 tak, že Vr : 0 < |x - x0\ < 5 =>- \f(x) - L\ < e. Příklad 15. Ukažte z definice, že linXji^^rr + 1) = 10, viz obr. Řešení. Buď e > 0 libovolné. Chceme najít číslo ô > 0 takové, aby \y — 101 < e, kdykoliv bude 0 < \x - 3| < 5. Tedy \(3x + 1) - 101 < e, tj. \3x-9\ 0 (toto číslo e určuje okolí 0(L) = (L — e, L + e) bodu L) existuje a > 0 (toto číslo a určuje okolí 0(oo) = (a, oo) bodu oo) takové, že pro všechna x_>_a je \f{x) — L\ < e. *eo(°°) f(x)eo(L) (3) Buď rr0 = — oo, L G IR. Potom lim f(x) = L, pokud pro každé e > 0 (toto číslo e určuje okolí 0(L) = (L — e, L + e) bodu L) existuje b < 0 (toto číslo b určuje okolí 0{—oo) = (—00,6) bodu —00) takové, že pravšechna x_ 0 libovolné. Chceme najít číslo a > 0 takové, aby |y — 0| < e, kdykoliv bude x > a. Tedy 1 1 1 < e, tj. — < e, tj. x > -. x e Stačí tedy vzít a :- , případně libovolné jiné a splňující a > -. □ 14 Příklad 17. Určete limitu posloupnosti an = (l + ^-)n pro n —)• oo. Řešeni. Ukáže se, že je tato posloupnost rostoucí a shora ohraničená a tudíž má limitu. Tuto limitu označujeme symbolem e a nazýváme ji Eulerovým číslem (základ přirozených logaritmů). Je tedy lim I 1 + - n Více ve skriptech [ , str. 276-277]. □ Podobně interpretujeme - nevlastní limitu ve vlastním bodě (rr0 G IR, L = ±oo), - nevlastní limitu v nevlastním bodě (rr0 = ±oo, L = ±oo). Ve vlastních bodech rr0 se můžeme blížit k bodu rr0 také jen zprava nebo jen zleva, tj. v Definici 3 použijeme v podmínce (1) pouze pravé ryzí okolí bodu rr0 nebo pouze levé ryzí okolí bodu rr0. Dostáváme pak pojmy limity zprava a limity zleva: Definice 6 (Limita zprava/zleva). Buď xq G IR, L G IR*. Funkce f(x) má v bodě xq limitu zprava rovnu číslu L, píšeme lim f(x) = L, pokud pro každé okolí 0(L) bodu L existuje ô > 0 tak, že pro všechna x G (x0,Xq + ô) je f {x) G 0(L). (5) Funkce f {x) má v bodě x0 limitu zleva rovnu číslu L, píšeme lim f {x) = L, pokud pro každé okolí O (L) bodu L existuje ô > 0 tak, že pro všechna x G (xq — ô,xq) je f {x) G 0(L). (6) □ Příklad 18. (a) Pro funkci sgnrr („signum" =znaménko, viz obr.) definovanou jako 1, pro x > 0, sgnrr := { —1, pro x < 0, platí (b) Pro funkci - platí (viz obr. 0, pro x = 0, lim sgnrr = 1, lim sgnrr = — 1. x—>0+ x—>Q~ lim — = oo, lim — = —oo. x^0+ X x^O- X □ 15 A kdy limita neexistuje? Pokud má funkce v bodě x0 a jeho okolí následující chování: • skok - funkce má obě jednostranné limity vlastní, které jsou ale různé (viz Příklad 18(a)), • „nekonečný" skok - funkce má obě jednostranné limity, přičemž alespoň jedna z nich je nevlastní (tj. ±00), tyto jednostranné limity jsou ale různé (viz Příklad 18(b)), • oscilace - např. funkce f(x) = sin ^ v bodě x0 = 0, viz obr. Příklad 19. Funkce 1, pro x G Q (tj. pro x racionální), 0, pro i^Q (tj. pro x iracionální), q(x) :-- nemá limitu v žádném bodě xq G ir*, protože v libovolném okolí zvoleného bodu xq se nacházejí jak racionální tak iracionální čísla a tedy tato funkce zde nabývá hodnot 1 i 0 (a tedy zde nemůže mít limitu). □ V následujícím si přiblížíme některé základní vlastnosti limit. Věta 2 (Vlastnosti limit). (i) Funkce f(x) má v bodě x0 G ir* nejvýše jednu limitu. (ii) Má-li f(x) vlastní limitu L E R v bodě xq G M.*, potom je f(x) na nějakém ryzím okolí bodu xq ohraničená. (iii) Limita existuje právě když existují obě jednostranné limity a jsou si rovny, tj. lim f(x) = L lim f(x) = L = lim f(x). X^-Xq x^rx\ X^X^ Věta 3 (Vlastnosti limit). Jsou-li lim f(x) = L, lim g(x) = M, X^rXQ X^rXQ kde L,M G ir (pouze vlastní limity!) a x0 G M.*, potom lim \f(x) ± g(x)] =L±M, (7) x^>xo lim f(x) ■ g(x) = L-M, (8) x—>Xq f(x) L lim J-—t = —, pokud (9) x^x0 g[x) M lim |/(rr)| = I lim f(x)\ = \L\. (10) x—>Xq 1 1 1 x—>Xq 1 Věta 4 (O třech limitách). Nechť x0,L G ir*. Je-li g{x) < f(x) < h{x) na nějakém ryzím okolí bodu Xq a je-li lim g(x) = L = lim h(x), potom také existuje limita funkce f(x) a je rovna číslu L, tj. lim f(x) = L. 16 Příklad 20. Rozhodněte, jestli má funkce x sin ^ limitu v bodě x0 = 0. Řešeni. Protože je funkce sin x ohraničená (jedničkou shora a mínus jedničkou zdola), pro i / 0 platí nerovnosti 1,, — \x\ < x sin — < \x\. x A protože lim^o \x\ = 0, existuje podle Věty 4 také limita funkce x sin ^ a platí 1 lim x sin — = 0. x^O x □ Poznámka 1. Všechny vlastnosti limit uvedené ve Větách 2, 3 a 4 platí i pro jednostranné limity, tj. pro limity zprava a zleva. □ Poznámka 2. Pro výpočet limit používáme značení pro „typ" dané limity, např. |typ |typ |typ |typ atd- Typ dané limity zjistíme tak, že dosadíme do daného výrazu přímo limitní hodnotu x = xq. Kupříkladu x2 - 4 lim —-- x^2 x2 + 4 o typ ô 0. □ 2.5. Spojitost. Spojitost funkce je důležitým znakem jejího chování. Uvidíme, že spojité funkce mají téměř všechny „důležité" vlastnosti. Funkce f(x) je spojitá v bodě x0 G ir, jestliže existuje v tomto bodě vlastní limita L, v bodě x0 existuje funkční hodnota f(x0) a tyto dvě čísla jsou si rovny, tj. pokud lim f(x) = f(x0). Spojitost zprava a spojitost zleva v bodě x0 se definuje stejně, ale s pomocí jednostranné limity, tj. lim f(x) = f(x0), lim f(x) = f(x0). Příklad 21. Funkce (viz obr.) je /(*) 2 — x, pro x G [0,1), 2, pro x G [1,2), 1, pro x = 2, 2, pro x G (2, 3], 5 — x, pro x G (3,4), 2, pro x = 4, _i_i_i_ spojitá v každém bodě x G [0,4] kromě x = 0,1,2,4, spojitá zprava v každém bodě rr G [0,4] kromě x = 2,4, spojitá zleva v každém bodě x G [0,4] kromě x = 0,1, 2,4. □ 17 Věta 5 (Vlastnosti spojitých funkcí). (i) Jsou-li funkce f(x) a g(x) spojité v bodě xq, pak jsou zde spojité i funkce f(x) (/±0)0*0, f(x)-g(x), —— prog(x0)^0. g{x) (ii) (Věta o záměnnosti limitního přechodu a funkce.) Nechť xq G ir*. Je-li \imx^Xo g (x) = M a je-li funkce f(y) spojitá v bodě y0 = M, potom lim f(g(x))=f( lim g(x)) = f(M). (iii) (Spojitost složené funkce.) Je-li funkce g{x) spojitá v bodě x q a je-li funkce f{y) spojitá v bodě y0 = g(x0), potom je složená funkce (/ o g){x) = /(g(rr)) spojitá v bodě rr0. Všimněte si, že vlastnost (10) je speciálním případem Věty 5(ii), protože je |rr| spojitá funkce. Příklad 22. Ve Větě 5(ii) může existovat \imx^xo /(g(rr)) i v případě, že \imx^xo g(x) neexistuje. Např. pro g(x) = sgnrr a f{y) = y2 platí, že linx^o sgnrr neexistuje, ale přesto je lim/(p(rr)) = lim(sgnrr)2 = lim 1 = 1. x—>0 x—>0 x^>0 □ Příklady spojitých funkcí: • konstantní funkce f{x) = C (v každém bodě iGl), • polynom P(x) (v každém bodě iGl), • racionální lomená funkce R(x) = (v každém bodě x G T>(R), tj. v každém bodě x, kde Q(rr)^O), • trigonometrické funkce (všude, kde jsou definovány). Spojitost funkcí lze dobře využít k výpočtu limit - prostým dosazením. Příklad 23. lim (rr2 + 2x) = (-1)2 + 2(-l) = -1, limcosrr = cosO = 1. x—>—1 x—>0 V následujících příkladech uvádíme tzv. základní limity. Příklad 24. Určete sinrr lim-. x^O x Řešení. Dosazením za x = 0 dostaneme, že tato limita je typu Pro x G (0, f) platí sinrr < x < tg x (viz obr.). A protože je pro tato x hodnota sin x > 0, je x 1 sinrr 1 < - < -, t j. cos x < - < 1. sin x cos x x □ 18 Jelikož je funkce cos x spojitá (v nule), obě strany nerovnosti se pro x —> 0+ blíží k 1, a tedy podle věty o třech limitách (Věta 4) je sinrr lim - = 1. x^0+ x Protože je funkce sudá, existuje také limita zleva a je rovna 1, tj. smx siní lim -= 1 = lim - Věta 2(iii) x^q- x x^0+ x smx lim-= 1 x^O x (H) □ Příklad 25. Určete 1 — COS x lim x^O x Řešení. Dosazením za x = 0 dostaneme, že tato limita je typu jj lim x^O 1 — COS x x lim x^O lim x^O 1 — COS x 1 + COS x x 1 + COS x 1 sin2 x x lim x^O 1 — COS x x 1 + COS x smx lim - • smx x^O \ x ->1 1 + COS x 1 COS x i.o.5 = o. Proto je lim x^O 1 — COS x x (12) □ Příklad 26. Určete , ex - 1 lim- x^O x Řešení. Dosazením za x = 0 dostaneme, že tato limita je typu | Pomocí nerovnosti (viz obr. níže) x x + 1 < ď < 1 x 1 - 2x'' pro x E (0, | 2/> 19 -1-*~ I (a) Graf funkce na intervalu [-1,1]. (b) Graf funkcí ^j—-, ^-pj a na intrevalu [O, 0.4]. (c) Graf funkcí e x , a 1_2x na intrevalu [—0.4, 0]. neboli 1 e* - 1 1 < - < x + 1 x 1 — 2:r7 dostaneme z věty o třech limitách (Věta 4), že ex - 1 lim Podobně, platí x^0+ x 1 e* - 1 1 < - < 1 — 2x x x + 1 a tedy podle věty o třech limitách (Věta 4) platí ex - 1 lim x^o- x pro x E (0, \ 2>-> 1. pro x E (—|, 0), 1. Celkově tedy podle Věty 2(iii) je , ď - 1 lim-= 1 x^0 X (13) □ 20 Příklad 27. Určete ,. ln(l + x) lim- x^O x Řešeni. Z Příkladu 26 máme, že pro malé x je ex — 1 »2 rr, tedy je e"1 »2 1 + rr. Logaritmováním obou stran dostaneme, že x »2 ln(l + rr). Tedy platí, že lim 1,1(1 (14) □ Příklad 28. Určete , ax - 1 lim- x^O x Řešení. Dosazením za x = 0 dostaneme, že tato limita je typu jj . Pomocí rovnosti ax = elnaX = ex lna dostaneme x lna ■ lna = lna, a tedy je ď — 1 lim-= ln a x^O x Všimněte si, že nyní je limita (13) speciálním případem limity (15) pro a = e. (15) □ Příklad 29. Určete limlQg"(1+") x^O x Řešení. Dosazením za x = 0 dostaneme, že tato limita je typu Pomocí rovnosti loga(l + x) = dostaneme loga(l + ar) ln(l+x) 1 1 lim —^-- = lim —-- •--=--, x^o x x^o x lna lna a tedy je lim x^O \oga(l + x) x ln a Všimněte si, že nyní je limita (14) speciálním případem limity (16) pro a = e. (16) □ 21 Spojitost na intervalu - Buď I C T>(f). Funkce f(x) je spojitá na intervalu J, je-li spojitá v každém vnitřním bodě intervalu I a patří-li levý/pravý krajní bod do intervalu J, je v něm f(x) spojitá zprava/zleva. Píšeme / G C(I), případně / G C[a,b], pokud I = [a,b]. (Písmeno „C" pochází z anglického continuous=spojitý.) Příklad 30. (a) f(x) = \jA — x1 (viz obr.), f(x) je spojitá na intervalu [—2,2], tj. / G C[—2,2]. (b) f(x) = | (viz obr.), f(x) je spojitá na intervalu (—oo, 0), na intervalu (0, oo), ale není spojitá na intervalu (—oo, oo) (na IR). (c) Všimněte si, že spojitost funkce na intervalech (—oo,0) a [0,oo) stále ještě nemusí stačit pro spojitost na celém IR. Např. funkce (viz obr.) pro x < 0, pro x > 0, je spojitá na každém z intervalů intervalech (—oo,0) a [0, oo), ale není spojitá na IR. □ Věta 6 (Weierstrassova). Je-li funkce f(x) spojitá na intervalu [a,b], tj. na uzavřeném konečném intervalu, potom je na tomto intervalu ohraničená a nabývá v něm své nejmenší a největší hodnoty (viz obr.). Důkaz. Je založen na principu suprema a infima. □ Poznámka 3. Žádná z podmínek ve Větě 6 nemůže být vypuštěna, protože by pak existence nejmenší nebo největší hodnoty v daném intervalu nemusela být zaručena, jak ukazují následující příklady. (a) Interval musí být konečný. Např. f(x) = x na uzavřeném intervalu [0, oo) nabývá své minimum v bodě x = 0, ale nenabývá zde své maximum. Navíc je tato funkce neohraničená. (Viz obr.) (b) Interval musí být uzavřený. Např. f(x) = ^ na intervalu (0,1] nabývá své minimum v bodě x = 1, ale nenabývá zde své maximum. Navíc je tato funkce neohraničená. (Viz obr.) (c) Interval musí být uzavřený. Např. f(x) = x na intervalu (0,1) nenabývá v tomto intervalu své minimum ani své maximum, ale tato funkce je ohraničená. (Viz obr.) □ Věta 7 (Bolzanova). Je-li funkce f(x) spojitá na intervalu [a,b], tj. na uzavřeném konečném intervalu, potom f{x) nabývá v tomto intervalu všech hodnot mezi svou nejmenší a největší hodnotou (viz obr.). Tj. označíme-li m := min f(x) a M := max/(i), potom pro každou hodnotu y G [m, M] existuje (alespoň jedno) c G [a, b] tak, že platí f (c) = y. Volbou y = 0 v předchozí větě dostaneme následující. 22 Důsledek 1. Je-li funkce f(x) spojitá na intervalu [a, b] a mají-li hodnoty f (a) a f(b) různá znaménka (tj. f (a) ■ f(b) < 0)), pak existuje bod c G (a, b) tak, že platí f(c) = O, t j. rovnice f {x) = O má v intervalu (a, b) alespoň jedno řešení (viz obr.). Věta 8 (O spojitosti inverzní funkce). Je-li funkce f{x) spojitá a ryze monotónní (tj. stále „roste" nebo stále „klesá") na intervalu I, potom je také inverzní funkce f~ľ(x) spojitá a ryze monotónní na intervalu J := /(/). Z výše uvedené věty plyne spojitost cyklometrických funkcí arcsinrr, arccosrr, arctgrr, arccotgrr, a dále spojitost logaritmických funkcí. 2.6. Body nespojitosti. Rozlišujeme následující typy nespojitosti (v bodech x0 G ir): 1. Odstranitelná nespojitost - existuje vlastní limita \imx^Xo f(x), ale tato limita je různá od f(xo) (případně f(x0) není vůbec definována). Tento typ nespojitosti lze „odstranit" předefinováním (případně dodefinováním) hodnoty f(x0). Příklad 31. (a) Funkce r2 — 4 /M - — má v bodě xq = 2 odstranitelnou nespojitost (v podstatě je f(x) = x + 2 pro i^2). (b) Funkce sinrr f(x) =- x má v bodě xq = 0 odstranitelnou nespojitost. □ 2. Skok (též nespojitost prvního druhu) - existují vlastní jednostranné limity \imx^x+ f{x) a lim^^- f(x), ale tyto jednostranné limity jsou různé (přitom vůbec nezáleží na hodnotě /(*o)).° Příklad 32. Funkce f(x) = sgnx má v bodě x0 = 0 nespojitost typu skok. □ 3. Nespojitost druhého druhu - alespoň jedna jednostranná limita je buď nevlastní nebo neexistuje. Příklad 33. Funkce 1 1 f(x^ = ~2> /(:r) = snímají v bodě Xq = 0 nespojitost druhého druhu. □ Konec 2. přednášky (26.2.2015) 23 2.7. Derivace. Jako motivaci uveďme výpočet následujících limit. Příklad 34. (a) (b) (c) Příklad 35. (a) (b) (c) , x2- 1 lim- x^l x — 1 X lim x^2 X — 2 o typ - typ (x-l)(x+l) lim- x^l X — 1 lim x^2 (x -2)(x + 2) x lim-- 0 typ - lim 21—> Xg {x — Xq) (x + Xq) X — Xq \im(x x—>1 \im(x + 2) = 4. x—*2 lim (x + Xq) = 2Xq. X^rXQ i-1 lim-- x — 1 I _ I lim 1 2 >2l-2 0 typ - yi 0 typ 1—a: lim lim 1 — x x^l X—L i-íl X (i - 1) x^l x lim — = — 1. lim 2-a 2:r lim 2 - x lim 2i^2 S-Jl x^2 2x (x - 2) x^2 2x 1 4' 1__l_ lim £-íl x^x0 X — Xq typ o XQ—X lim "° lim Xq — X lim í^O ^ x^x0 x Xq (x — Xq) x^x0 x Xq x, 2 • Definice 7 (Derivace). Nechť x0 G T>(f). Pokud existuje f(x) - f(x0) lim (vlastní nebo nevlastní) □ □ (17) x^xo x — Xq nazýváme tuto limitu derivací funkce f(x) v bodě xq a značíme f(xo). Je-li tato limita nevlastní (tj. ±oo), nazývá se f'(x0) nevlastní derivací funkce f(x) v bodě Xq. □ Jiná terminologie je diferencovatelnost funkce f(x) v bodě x$. Co je to vlastně „derivace" v bodě XqI 1. Analyzujme diferenční podíl (viz obr.) f{x) — f(x0) směrnice sečny procházející body x-xq g{f> M = [xo,f(x0)] a N = [x, f (x)] 24 2. Pokud se x blíží k x0 (tj. bod N se blíží k bodu M), sečna MN se stává tečnou v bodě M, a tedy je f'(x0) = lim f(x) - f(x0) >x0 x — x() směrnice tečny v bodě M = [xq, f(xo)]. Příklad 36. Funkce f(x) = ^ má v bodě x0 = 1 tečnu, která má směrnici a = — 1. A proto je také /'(l) = —1, srovnejte s Příkladem 35(a). □ Poznámka 4. (i) Derivace f'(x0) (jako limita) je vždy limitou typu ^. (ii) Pokud nahradíme limitu ve výrazu (17) jednostrannými limitami, dostaneme definici derivace zprava a derivace zleva v bodě x0, tj. f+{x0) = hm f_{x0) = hm 21—>Xg x x0 x^>-x0 x x0 Zřejmě pak f'(x0) existuje <í=> existují f'_(xo) a f\(x0) a tyto jednostranné derivace jsou si rovny. (iii) Každá funkce má v libovolném bodě xq nejvýše jednu derivaci. (iv) Hodnota f'(xo) popisuje rychlost změny funkce f(x) v bodě xq (růst nebo pokles a současně velikost tohoto růstu nebo poklesu). (v) Po ložím e-li h := X — Xq . dostaneme f(x) - f(x0) f'(xo) lim x—>Xq X — Xq lim f(x0 + h) - f(x0) h (18) (vi) Aby mohla mít funkce f(x) derivaci v bodě x0, musí být definována na nějakém okolí bodu Xq (včetně bodu x0)\ (vii) f'(x0) někdy píšeme jako ^(x0), nebo jako f'(x) X = XQ □ Poznámka 5. Rovnice tečny ke grafu funkce f(x) v bodě [xQ,f(x0)] je pak y-Vo = f'M(x-x0), kde y0 = f(x0). □ 25 Příklad 37. Určete směrnici tečny a rovnici tečny funkce f(x) = ^ v bodě x0 = 2. Řešení. Z Příkladu 35(b) víme, že /'(2) = —\, tedy směrnice tečny v bodě xq = 2 je a Protože je /(2) = |, je podle Poznámky 5 rovnice tečny v bodě x0 = 2 i '4- 1 1 ž/ - ô = ~-(x ~ 2)> ťj- y = --x + l. 4 4 □ Příklad 38. V Příkladech 34 a 35 jsme vlastně odvodili vztahy 2y I (ť) 2Xn íY 2 • □ Z geometrické vlastnosti, že derivace je směrnice tečny, můžeme tedy odvodit následující pravidla: (x)'\ = 1, (ax + b)'\ = a, x ' \X = XQ ' (k)'\ = 0. Příklad 39. „3y X X n (xój\ _ = lim \x—x0 x^xo X — Xq x^xq (x — Xq) (x2 + X Xq ~\~ XqJ lim X — Xq lim (x + XXq + XQ) X^rXQ 3^ľq . Podobně lze odvodit takové pravidlo pomocí rozvoje pro xn — Xq (kde n G N), tj. „n --o (x11)'] _ = lim \x-x0 x^x0 X — Xq TIXq , tj. (xny X = XQ nx, n—l Porovnejte tento výsledek s definicí derivace polynomu v Odstavci 1.3. Příklad 40. Určete derivaci funkce f(x) = \fx v bodech x0 G T>(f). □ (19) Řešeni. Zřejmě je T>(f) = [0, oo). Pro xq > 0 je f'(x0) = lim x^x0 X — Xq lim —— X^XQ y/X + y/XQ lim x—>Xq lim X — Xq \fx — ^/Xq \fx + y/Xo X — Xq ^fx + ^/Xq J x^x0 (x — Xq) (y/x + ^/Xq) 2Jx~q Pro xq = 0 derivace neexistuje (je to krajní bod definičního oboru, a tudíž v něm neexistuje limita existuje zde pouze limita zprava). Vypočtěme tedy derivaci zprava: /1(0) = lim ^——^— = lim ^— = lim —= = oo. x^0+ x — 0 x^0+ x x^0+ Jx Funkce f(x) = \fx tedy má v počátku nevlastní pravostrannou derivaci /+(0) = 00, neboli tečna v bodě xq = 0 je svislá přímka. □ 26 Pokud se na bod x0 budeme dívat jako na „proměnnou", potom můžeme derivaci chápat jako zobrazení, které každému bodu x přiřadí hodnotu f'(x) (pokud je tato hodnota vlastní). Tedy f'(x) je opět funkce proměnné x, přičemž pro její definiční obor platí, že v(f) — *>(/)• Příklad 41. V Příkladu 40 je T>(f) = [0, oo) a T>(f) = (0, oo), přestože f'+(0) existuje (ale jen jako nevlastní derivace). □ Tedy prozatím odvozené vztahy pro derivace můžeme shrnout jako {xn)' = nxn-\ neN, (T) = _J_ (Jx)> 1 / >> / /■>> 2 ' O / / >> Ju J Ju \ l Ju Má-li funkce f(x) derivaci v každém bodě množiny (např. intervalu) J, pak říkáme, že f(x) je diferencovatelná na I. Např. xn je diferencovatelná na IR, nebo - je diferencovatelná na (0, oo) a na (-oo,0). Normála ke grafu v bodě xq je přímka, která prochází bodem [xq, f(xo)] a je kolmá na tečnu (viz obr.). Je-li a\ směrnice tečny a 02 směrnice normály, potom platí vztah Příklad 42. Určete rovnici tečny a normály ke grafu funkce f(x) = x4 v bodě xq = 1. Řešení. Tečna: Protože je směrnice tečny v bodě xq = 1 rovna /'(l) = (4x3)|_r_1 = 4 a protože je /(l) = 1, podle Poznámky 5 je rovnice tečny y — 1 = 4 (x — 1), tj. y = 4x — 3. Normála: Protože je směrnice normály v bodě xq = 1 rovna 02 = —/^TJ = — \ a protože i normála (stejně jako tečna) prochází bodem [xq, f(xo)] = [1,1], je rovnice normály 1 15 □ Příklad 43. Určete zda má funkce /(rr) = |rr| v bodě xq = 0 derivaci, i? esem'. /'(O) = lim J—!-— = lim J—- = lim sgnx ... limita neexistuje. x — 0 x - Funkce |rr| nemá v počátku derivaci. Pochopitelně, protože míti derivaci = míti (právě jednu) tečnu. Na druhou stranu, můžeme vypočítat jednostranné derivace v počátku: m 1 = 1, ^0 lim(-l) = -1. z—»0 Tedy tyto jednostranné derivace jsou různé, a proto podle Poznámky 4(ii) neexistuje /'(O). □ lim \x\ - 101 = lim \x\ = lim — = x^0+ x x - 0 x lim \x\ - 101 = lim \x\ = lim - 27 Derivace v praxi 1. Je-li s(t) poloha hmotného bodu na přímce v čase t, potom je výraz celková dráha s(t) — s (to) celkový čas t — to roven průměrné rychlosti za časový úsek [to,ť\. Zřejmě je pak lim S{t) ~ S{t0) = s>(t0) t^t0 t-t0 rychlost v okamžiku t0, a tedy je v(t) = s'(t), rychlost je derivace dráhy Zde je nutné vzít v úvahu, že rychlost v(t) má znaménko, tj. v(t) > 0 ve směru pohybu, kdy se s(t) zvětšuje a v(t) < 0, když se s(t) zmenšuje. 2. Protože je zrychlení a(t) změna rychlosti, podobně platí, že v(t) — v(t0) ,, . lim —-— = v'(t0) t^t0 t-t0 je zrychlení v okamžiku t0, a tedy je a(t) = v'(t), zrychlení je derivace rychlosti 3. Protože platí, že změna práce výkon =-, změna času je P(t) = W'(t), výkon je derivace práce 4. Protože platí, že změna elektrického náboje elektrický proud =-, změna času je I(t) = Q'(t), proud je derivace náboje 2.8. Vlastnosti a pravidla derivací. V tomto odstavci odvodíme základní vlastnosti funkce a její derivace a pravidla pro počítání derivací. Věta 9. Má-li f(x) v bodě xq vlastni derivací f'(xo), potom je funkce f(x) spojitá v bodě xq. Důkaz. Chceme ukázat, že lim^^ f(x) = f(xo). Protože existuje vlastní f'(xo) je lim f(x) = lim \f(x) - f(x0) + f(x0)] = lim ( ^—^-• (x - x0) + f(x0) x^xo x^xo x^xo y x — Xq >•-v-' ^—n/—' = f(xo) ■ 0 + f(x0) = f(x0). Je tedy f(x) spojitá v bodě xq. □ Z Věty 9 plyne, že pokud je funkce f(x) nespojitá v bodě x0, pak v něm nemůže mít derivaci. 2 K Příklad 44. Funkce sgnx je nespojitá v počátku, a proto zde nemá (vlastní) derivaci. □ Pozor! Opačné tvrzení k Větě 9 neplatí, tj. ze spojitosti v Xq neplyne existence derivace v bodě x0. Příkladem je funkce \x\ v bodě xq = 0. Pokud má funkce nevlastní derivaci v bodě xq, tak stále ještě může být spojitá v xq. Obecné pravidlo jako ve Větě 9 ale k dispozici nemáme. Příklad 45. (a) Funkce f(x) = y/x je zřejmě spojitá v bodě x0 = 0 (dokonce na celém IR). Přitom /'(O) = lim lim lim 1 z->0 x — 0 x^O x z-s-0 Nx2 tyPÔT oo. Tato funkce má tedy v počátku nevlastní derivaci (tečna je svislá přímka = osa y, viz obr.) a přitom je spojitá. (b) Funkce f{x) = sgnx je nespojitá v bodě x0 = 0. Přitom /;(0) = lim SSnX-Sgn° = lim !£i£ = lim i i->o+ x — 0 x^0+ x x^0+ x tyPfjT f_{0) = Um = lim mi = lim Zl no- a: — 0 x^o- a; n-o- x typ — oo, a tedy také /'(O) = oo existuje. Tato funkce má tedy v počátku nevlastní derivaci a přitom je zde nespojitá (nemá tečnu v počátku). □ Věta 10 (Pravidla pro derivace). Necht! mají funkce f(x) a g(x) vlastní derivaci v bodě x. Potom platí následující pravidla. (i) Pravidlo konstantního násobku: [c-/(*)]' = c/'(*). (ii) Pravidlo součtu a rozdílu: [f(x)±g(x)]' = f(x)±g'l x . (iii) Pravidlo součinu: [f(x) -g(x)]' = f{x) ■ g(x) + f(x) ■ g'(x) (iv) Pravidlo podílu: m f(x) ■ g(x) - f(x) ■ g\x) 29 Důkaz. Pravidla (i) a (ii) jsou triviální z definice derivace (jako limity). Ukážeme pravidlo součinu: íf y/ x ,. f(x) ■ g(x) - f(x0) ■ g(x0) (/ • 9) (xo) = lim - z-keo — x0 = lim /(z) ■ g(x) - f M ■ g (x) + f(xp) ■ g (x) - f(x0) ■ g(xp) x^x0 X — Xp v f f (x) - f{xp) g (x) - g{xp) = hm <^--g(x) + f{xp)-- x^x0 [ X — Xp ^—v—' X — Xp *-^—-' -^(xo) ->/(*o) '--' ->f'(x0) ->g'(x0) = f'(xo) ■ g(xp) + f(xp) ■ g'(xp), přičemž jsme použili Větu 9 pro spojitost funkce g (x) v bodě xp. Pravidlo podílu se ukáže podobně, jako pravidlo součinu. □ Příklad 46. (2x3 + 3x + 1)' = 2(x3)' + 3(2;)' + (1)' = 2 • 3x2 + 3 • 1 + 0 = 6x2 + 3, x2 + l\ (x2 + 1)' (x2 - 1) - (x2 + 1) (x2 - 1)' x2-lj (x2- l)2 2x(x2 - 1) - (x2 + \)2x -Ax 2: {x2 - l)2 {x2 - 1) (y/x ■ X2)' = (yfx)' ■ X2 + \fx • (x2)' = --= • X2 + \fx • 2x 2^/X 1 3 3 0 3 5 /—- = - x2 + 2x2 = - x2 = - ví. 2 2 2 Všimněte si, že poslední uvedený příklad má na levé straně (x^)'• D Příklad 47. Uvažujme soukolí tří ozubených kol, přičemž kolo A má 12 zubů, kolo B má 4 zuby a kolo C má 6 zubů (viz obr.). Jestliže kolo A udělá y otáček, kolo B udělá u otáček a kolo C udělá x otáček, potom platí 1 3 , 113 1 y = — u, u = - x, a tedy je y = — u =--x = - x. y 3 ' 2' Jjyg 32 2 Velikost změny y ke změně u je zřejmě |, velikost změny u ke změně x je zřejmě |, a proto velikost změny y ke změně x je - ■ - — - 3 2 ~~ 2- Ukázali jsme tedy, že při skládání funkcí se velikost změn (= derivace) násobí. □ Věta 11 (Derivace složené funkce). Má-li funkce y = f (u) derivací v bodě Up := g{xp) a funkce u = g (x) derivaci v bodě Xp, potom má složená funkce y = (f o g) (x) = f (g(x)*) derivaci v bodě Xp a platí (/ 0 g)'(x) = f'(uo) ■ g\xp) = f'(g(xp)) ■ g\xp). 30 Příklad 48. Určete derivaci funkce \jx2 + x. Řešení. Označme f(u) = ^/u a u = g(x) = x2 + x. Potom je f'(u) = a g'(x) = 2x + 1. A protc je podle Věty 11 2x + 1 (Vx2 + x)' = —^= ■ (2x + 1) -__ Složenou funkci je výhodné derivovat podle pravidla vnější funkce a vnitřní funkce: [ / ( g (*))]'= f{g{x)) ■ g\x) . □ vnější vnitřní derivuj vnější derivuj nechej jako vnitřní argument vnitřní Příklad 49. (y/x3 + x2 + x + l)' = — = • (3x2 + 2x + 1), V ' 2^/x3 + x2 + x+l [(x2 + x)2}' = 2 (x2 + x) ■ (2x + 1) = Ax3 + 6x2 + 2ar. Všimněte si, že poslední uvedený příklad lze spočítat i přímo [(x2 + x)2}' = (x4 + 2x3 + x2)1 = Ax3 + 6x2 + 2ar, nebo podle pravidla součinu [(x2 + x)2]' = [(x2 + x) ■ (x2 + a:)]' = {2x + 1) • (x2 + x) + (x2 + • {2x + 1) = 4x3 + 6x2 + 2ar. □ Druhá derivace funkce f(x) v bodě xq se definuje jako derivace funkce f'(x) v bodě xq, tj. f"(x) : = [/'(*)]'■ Podobně definujeme n-tou derivaci funkce f{x) v bodě x0 jako derivace funkce /^^(x) v bodě *0,tj. f{n\x) := [/("-^(rr)]'. Příklad 50. i / i y i i 2y/ČČ J 2 \y/x J 2 [y/X]2 AXy/x' □ Poslední pravidlo, které budeme pro derivování potřebovat, je pravidlo pro derivaci inverzní funkce. Jak již víme, funkce / má inverzní funkci f~ľ pouze pokud je f(x) prostá (injektivní v terminologii MB101), tedy na zadaném intervalu buď stále roste nebo stále klesá (tj. je tzv. ryze monotónní). Složení funkce / a její inverze f~ľ (v libovolném pořadí) dává identické zobrazení a tudíž jsou grafy funkce / a její inverze f~ľ souměrné podle přímky y = x (tj. podle osy 1. a 3. kvadrantu). Jelikož budeme nyní primárně studovat vlastnosti funkce inverzní označíme si tuto funkci v proměnné x, tj. inverzní funkce f~ľ bude zadána jako předpis y = f^1{x) na svém definičním oboru 31 V(f~ľ) = J. Neznámé vlastnosti (zejména tedy derivaci) inverzní funkce f~ľ(x) vyjádříme pomocí derivace „původní" a tudíž známé funkce /, kterou si označíme v proměnné y. Tj. „původní" funkce je dána předpisem x = f {y) na svém definičním oboru T>(f) = I = f~ľ(J), neboli V(f~ľ) = J = /(/). Příklad 51. Zajímají nás vlastnosti (např. derivace) funkce ^/x. Tato funkce je inverzní k funkci x3. Označíme si proto tuto inverzi v proměnné x, tj. / 1(x) = \fx , a „původní" funkci v proměnné y, t}.\f(y) = y3 Potom budeme moct vyjádřit derivaci funkce ^fx pomocí derivace „původní" funkce f(y) = y3, tj. pomocí f'(y) = 3y2. □ Věta 12 (Derivace inverzní funkce). Je-li funkce x = f (y) spojitá a ryze monotónní na intervalu J a je-li yo G J vnitřní bod tohoto intervalu takový, že f(y) má derivaci (vlastní nebo nevlastní) f'(yo) v bodě yo, potom má inverzní funkce y = f~ľ(x) derivaci (/_1)'(rro) v bodě xq := f{yo). Pro tuto derivaci platí následující: (i) Je-li f'(y0) ý 0, potom je 1 1 (rl)/(xo) = 77R = f(/-1M ' (ii) Je-li f'(yo) = 0, potom je (/_1)'(rro) nevlastní a přitom (/_1)'(rro) = oo, pro f(y) rostoucí, (f^Yixo) = -oo, pro f(y) klesající Důkaz. Označme jako p = (známý) směrový úhel tečny ke grafu funkce x = f (y) v bodě [í/oj^o] vzhledem ke kladnému směru osy y, ip = (neznámý) směrový úhel tečny ke grafu funkce y = f~ľ(x) v bodě [^ojž/o] vzhledem ke kladnému směru osy x, přičemž platí, že tgp = f'(yo) je známá hodnota a my chceme určit neznámou hodnotu tg v = (rvfo) Vzhledem k tomu, že p + ip = | (viz obr.), je pro tgp ^ 0 til j sin(| — íp) sin | cos p — cos | sin p cos p cos(| — p) cos | cos p> + sin | sin p> sin p> cotg ip tgp neboť sin | = la cos ^ = 0. Je tedy f'ivoY 32 Je-li tg ip = O (tečna ke grafu původní funkce x = f {y) je vodorovná), potom je tečna ke grafu inverzní funkce y = f~ľ(x) svislá, tj. (/_1)'(rro) je nevlastní. □ Poznámka 6. Derivaci inverzní funkce lze také odvodit z pravidla pro složenou funkci (Věta 11). Je totiž pro každé x G V(f~ľ) x = f(f-1(x)), a tedy derivováním na obou stranách této rovnosti dostaneme i = [/(r1^))]' = r{r\x)) ■ cr1)^), tj. (r1)^) = f^f\x)y □ Příklad 52. Určete derivaci funkce tyx. Řešení. Označme si (viz Příklad 51) y = f-\x) = ^, x = f(y) = y3 f'(y) = 3y2. Tedy podle Věty 12 je 111 1 (v^y f'(y) 3y2 3(y^)2 3v^' Všimněte si, že yfx = x^ a výraz na pravé straně je \ rr_t. □ 2.9. Derivace elementárních funkcí. V tomto odstavci odvodíme derivace všech elementárních funkcí. Ze vztahu (19) víme, že pro n G N U {0} je (xn)' = nxn~ľ (pro n = 0 derivaci funkce x° = 1 můžeme v tomto vztahu interpretovat jako 0 = (1)' = (x0)' = 0x~ľ, přičemž poslední uvedený výraz definujeme jako 0). Nyní ukážeme, že stejný vztah platí pro libovolné (reálné) exponenty, nejen pro přirozená čísla. Tvrzení 1 (Derivace mocniny). Pro libovolný exponent r G IR platí, že (x')' = rx'-1, (20) kdykoliv maji uvedené výrazy smysl. Důkaz. Krok I. (r = n G N U {0}). To jsme již ukázali ve vzorečku (19). Krok II. (r = m G Z). Nechť m je záporné celé číslo, tj. m = —n pro nějaké n G N. Potom tedy derivaci funkce xm odvodíme z pravidla pro derivaci podílu (Věta 10(iv)): 33 Krok III. (r = i, kde q G N). Derivaci funkce xi = tfx odvodíme z věty o derivaci inverzní funkce (Věta 12, podobně jako v Příkladu 52). Označme si y = f~ľ(x) = <ýx a x = f (y) = yq. Protože je g G N, je podle Kroku I. f'{y) = qyq~x■ A tedy podle Věty 12 platí, že / r\l ( ql~\l 1 1 111 i_1 1 [x = « =-- =-t- = - •-r = -xi = rx 1 ' y ' w*-1 qi^y-1 1 x^ 1 Krok IV. (r = 2 G Q, kde p G Z a g G N). Derivaci funkce re? = (re?) odvodíme z věty o derivaci složené funkce (Věta 11) a z Kroku I. a III.: / ry r/ ±\PV / I\P-1 1 1-1 P 1=3. P p-l+l-7 P E_! r_x g g g g Nebo lze postupovat v obráceném pořadí, tj. derivovat výraz x i = {xp)i jako složenou funkci. Vyzkoušejte si tuto druhou možnost sami. Krok V. (r G IR). Tento poslední krok plyne např. z pravidla pro derivování exponenciální funkce, které odvodíme později (viz Důsledek 2). □ Poznámka 7. Výraz xr obecně není definován pro libovolné r G IR a x G IR. Např. pro r = ^ je tento výraz definován pouze pro x > 0. Obecně lze s jistotou říci, že rovnost (20) platí pro x > 0 (a libovolné r G IR). Navíc, pro některé exponenty může rovnost (20) platit i pro x < 0. Např. pro r > 1 platí i pro x = 0, či pro r celé záporné (tj. pro r = —1, —2, —3,...) rovnost (20) platí pro všechna x < 0 (kromě již uvedených x > 0). □ Příklad 53. i 1 i 1 (y/x)' = (12)' = -;r~2 = — (yiz Příklad 40), 2 ^ v ^ i V i - = U-1)' = (-1) x-2 =---, (viz Příklad 3* xl x2 (x*y = >kxit-1. □ Tvrzení 2 (Derivace trigonometrických funkcí). Pro trigonometrické funkce platí (sin re)' = cosrr, (cos re)' = — sinrr, (21) (tg x)' = , (cotg x)' = - -\-. (22) COSz x Slil x 34 Důkaz. Derivace funkcí sinx a cosx vypočteme z definice (Definice 7 a vzorec (18)) za použití součtových vzorců: . sin(x + h) — sinx (sinx) (cosh) + (cosx) (sinh) — sinx (sinrr) = lim-= lim- h^O h h^O h í 1 ~~ cos h sm h 1 = lim < (— siní •--Hcosx) •- > = (— sinrr) • 0 + (cosx) • 1 = cosx, h^o { h J ->o -> i . cos(x + h) — cos x (cos x) (cos h) — (sin rr) (sin h) — cos rr (cosx) = lim-= lim- h^O h h^O h í Sm h r 1 ~~ COS ^ 1 = lim < (— sinx) •--(cosx) •- > = (— sinx) • 1 — (cosx) • 0 = — sinx. h^o h h ] Derivace funkcí tgx a cotgx odvodíme z pravidla pro derivaci podílu (Věta 10(iv)): sinrr V (cosx) • (cosx) — (sinx) •(—sinx) cos2x + sin2x 1 (tgx)' (cotgx)' cosx/ (cosx)2 cos2x cos2x' cosxV (—sinx) • (sinx) — (cosx) • (cosx) — sin2x —cos2x 1 sinx y (sinx)2 sin2 x sin2 x Všimněte si také, že derivaci cotgx lze spočítat z pravidla pro derivaci složené funkce (Věta 11), protože platí (cotgx)' = [(tgx)"1]' = (-1) (tgx)"2 • —L- = (-1) -\---l— = —V. L J cos2 x tg2 x cos2 x sm x □ Dále uvedeme derivace exponenciálních a logaritmických funkcí. O číslu e více v Příkladu 17. Tvrzení 3 (Derivace exponenciálních a logaritmických funkcí). Pro exponenciální a logaritmické funkce platí (ex)' = ex, (ax)' = ax\na, (23) (lnx)' = -, (logax)' = ——. (24) x x lna Důkaz. Derivace funkcí ex a ď vypočteme z definice (Definice 7) za použití základních limit (13) a (15): &x+h _ &x &x . &h _ &x eh — 1 (exY = lim- = lim-= ď ■ lim-= ď ■ 1 = ex h^o h h^o h , .~ u (axY = lim-= lim- = ax ■ lim --1 = ax ■ ln a. h^o h h^o h h^o h = lna Všimněte si, že derivaci funkce ax je také možné vypočítat z derivace složené funkce pomocí (ax)'= (exlna)' = exlna -\na = ax lna. 35 Derivace funkcí lnx a \ogax vypočteme z definice (Definice 7) za použití základní limity (14): \n(x + h)-\nx y ln*±* ln (l + |) 111 (lna:) = lim —----= lim-— = lim —^-r—— ■- = !■- = -, h^O h h^O h h^O ± X XX x lna y lna x lna Všimněte si, že derivaci funkce lna: lze také spočítat z derivace funkce inverzní (Věta 12), neboť pro y = f~ľ(x) = lna: a pro x = f (y) = ey máme f (y) = ey, takže podle Věty 12 je 1111 (\nx)' = _L_ = _ = _ = _ f'(y) e» elnx x □ Důsledek 2 (Derivace mocniny). Pro libovolné r G IR platí (xr)' = rxr~1, x > 0. Důkaz. Z pravidla pro derivaci složené funkce (Věta 11) a z derivace logaritmu plyne, že (xry = (er lnxy = ď lnx ■ (r lnrr)' = rrr • r - = rxr ■ x'1 = rrr"-1. x Poznámka 8. V Příkladech 24, 25, 26, 27, 28 a 29 jsme ukázali, že sin h 1 — cos h lim-= 1, lim-= 0, h^O h h^O h , eh - 1 , ln(l + h) lim-= 1, lim-= 1, /i->o h h^o h □ , loga(l + ^) 1 lim —--= ln a, lim — h^o h h^o h lna Tyto limity ale nevyjadřují nic jiného, než derivace funkcí sin a:, cos a:, ex, ď v bodě 0 a derivace funkcí lnx, \ogax v bodě 1, neboť ,, sin h ,, cos /i — 1 (sinrr) _ = lim-= 1, (cos a:) . = lim-= 0, , T„, eh - 1 , N/l ln(l + h) (ex)'\ = lim- = 1, (lnx)' = lim v ; = 1, ^-lu.- n„„ „vi _ ^(l + *0 _ 1 (a>x)'\ r, = lim-= lna, (log„ x)'\ = lim □ Tvrzení 4 (Derivace cyklometrických funkcí). Pro cyklometrické funkce platí 1 1 (arcsina:)' = —j===, (arccosa:)' =--A , (25) a: (arctga:)' = ——-, (arccotga:)' = -——-. (26) 1 + ar 1 + ar 36 Důkaz. Derivace všech těchto cyklometrických funkcí vypočteme z pravidla pro derivování inverzní funkce (Věta 12). • Pro y = /_1(:c) = arcsinrr a pro x = f(y) = siny máme f'(y) = cosy, a proto podle Věty 12 platí, že 11 1 (arcsin x)' = =-= ----. j'{y) cosy cos(arcsinrr) Protože ale pro libovolné y G IR je (cosy)2 + (siny)2 = 1 (zejména tedy pro y = arcsinx), je 1 = [ cos (arcsin rr) ]2 + [ sin(arcsinrr) ]2 = cos2 (arcsin rr) + rr2, =>- cos(arcsinrr) = Vl — x2. A tedy platí, že 1 1 (arcsin x)' cos(arcsinrr) \/\ — x2 • Pro y = f~ľ(x) = arccos x a pro x = f (y) = cosy máme f (y) = — siny, a proto podle Věty 12 platí, že 11 1 (arccos x)' = =- =-----. f'{y) —siny sin(arccos x) Protože ale pro libovolné y G IR je (cosy)2 + (siny)2 = 1 (zejména tedy pro y = arccosx), je 1 = ľ cos (arccos x) ]2 + ľ sin (arccos x) 12 = x2 + sin2 (arccos x), s-v-' = X s in (arccos x) = Vl — x2. A tedy platí, že 1 1 (arccos x)' - sin(arccos x) \/\ — x2 Pro y = f~ľ(x) = arctgrr a pro x = f {y) = tgy máme f (y) = eoř[2 , a proto podle Věty 12 platí, že 1 (arctgrr)' = = cos2 y = cos2 (arctgrr). f'(y) Protože ale pro libovolné y G IR je (cosy)2 + (siny)2 = 1 (zejména tedy pro y = arctgrr), je 1 = [cos(arctgrr) ]2 + [sin(arctgrr) ]2. Vydělením obou stran této rovnosti výrazem [cos(arctgrr) ]2 dostaneme i _1+/™íBr^iy = 1 + [ ]a = 1 \vcos(arctgrr)y L^-^-/J cos2 (arctgrr) = X -2t cos (arctgrr) A tedy platí, že 1 + rr 2 ' (arctgrr)'= cos2 (arctgrr) = i 2. 1 37 • Pro y = f 1(x) = arccotgrr a pro x = f (y) = cotg y máme f (y) = — sin12 -, a proto podle Věty 12 platí, že (arccotgrr)' = = — sin2 y = — sin2(arccotg:c). Protože ale pro libovolné y G M. je (cosy)2 + (siny)2 = 1 (zejména tedy pro y = arccotgrc), je 1 = [cos(arccotgrr) ]2 + [sin(arccotgx) ]2. Vydělením obou stran této rovnosti výrazem [sin(arccotgrr) ]2 dostaneme 1 sin2(arccotg:r) / cos(arccotgrr) \ r -,2 -—-■-- + 1 = cotg(arccotga;) + 1 \sin(arccotga;jy L^-^-' x2 + 1, sin2(arccotgx) 1 + x2 A tedy platí, že 1 (arccotgrr)' = — sin2(arccotgx) = — -——-. □ Příklad 54. Zkuste si promyslet, jak by se vypočítaly derivace funkcí typu [f(x)]9^\ jako např. xx, xlnx, xsinx, (sinx)x, atd. □ 2.10. Věty o střední hodnotě. Věta 13 (Rolleova). Nechi f(x) je spojitá na [a,b], f(x) je diferencovatelná na (a,b) a necht f (a) = f (b). Potom existuje (alespoň jeden) bod c G (a, b) s vlastností f (c) = 0 (tj. tečna v bodě x = c je vodorovná). Důkaz. Viz obr. □ Věta 14 (Lagrangeova). Nechi f(x) je spojitá na [a,b] a f(x) je diferencovatelná na (a,b). Potom existuje (alespoň jeden) bod c G (a, b) s vlastností říz \ fd°) ~ f(a) (tj- tečna v bodě x = c je rovnoběžná s přímkou ^ ' b — a procházející body [a, f (a)] a [b,f(b)]). Důkaz. Viz obr. □ Věty o střední hodnotě mají celou řadu důsledků týkajících se vlastnosti funkcí. Např.: • Které funkce mají nulovou derivaci? - Pouze konstantní funkce. • Které funkce mají stejnou derivaci? - Právě ty funkce, které se navzájem liší o konstantu. 38 Důsledek 3. Je-li f (x) diferencovatelná na (a,b) a je-li f'{x) = O na (a,b), potom f(x) = c na (a, b). Důkaz. Pro libovolné dva body x±,X2 G (a,b), x\ < x2, platí, že f{x) je spojitá na [rri,^] (podle Věty 9, neboť existuje vlastní f'{x)) a diferencovatelná na (xi,x2). Podle Lagrangeovy věty (Věta 14) je pak pro nějaký bod c G (x1} x2) Í{X2) ~ f(Xl) = f'(c) = 0, =* f(x1) = f(x2). X2 — Xi A protože byly body x\ a x2 vybrány libovolně v intervalu (a, b), musí být nutně f{x) konstantní na intervalu (a, b). □ Důsledek 4. Jsou-li f{x) a g(x) diferencovatelné na (a,b) a je-li f'{x) = g'{x) na (a,b), potom f{x) = g{x) + c na (a, b) (f{x) a g{x) se liší o konstantu). Důkaz. Funkce (/ — g){x) je diferencovatelná na (a,b) a (/ — g)'{x) = f'{x) — g'{x) = 0 na (a, b). Podle Důsledku 3 je pak f{x) — g{x)=c na (a, b), tj. f(x) = g{x) + c na (a, b). □ Konec 3. přednášky (5.3.2015) 2.11. L'Hospitalovo pravidlo. Některé limity typu jj nebo lze řešit pomocí tzv. 1'Hospitalova ±oo pravidla. (Případně i typu tyto limity jsou ale automaticky rovny 0.) Věta 15 (L'Hospitalovo pravidlo). Buď x q G IR* a nechi je f(x) 0 ±oo lim —— typu - nebo -. (27) x^x0 g[x) 0 ±00 Existuje-li (vlastní nebo nevlastní) limita lim m = L, x^x0 g'(x) potom existuje také limita (27) a tyto dvě limity jsou si rovny, tj. lim ^4 = Hm f-^r\ = L (G IR*). (28) x^x0 g{x) x^x0 g'[x) Příklad 55. 39 (a) lim a; lni typ O • (-00) lim x^O+ ± x typ -00 00 FHosp. .. (hl X V = lim X I lim -JLr lim (—x) = 0. (b) lim xx x^0+ typ 0C lim Qx^nx spojitost ex lima._>0+a; lna; (f^ ^0 _ -y x^0+ □ Poznámka 9. ĽHospitalovo pravidlo říká, že jestliže existuje limita podílu derivací, potom existuje také limita podílu funkcí (a tyto dvě limity jsou si rovny)! Nic víc. (i) ĽHospitalovo pravidlo nelze použít, pokud limita podílu derivací neexistuje. Např. limita podílu funkcí lim smrr ai^oo x typ ohr. 00 0, ale limita podílu derivací neexistuje, protože (sinrrY cos x lim ———— = lim -= lim cos x (neexistuje). X—>OQ \X) X^řOO 1 x—>oo (ii) ĽHospitalovo pravidlo nelze použít na typ limity co ° ! Pokud je ve jmenovateli typ 0, musí pak být i v čitateli typ 0 (aby bylo možné 1'Hospitalovo pravidlo použít). Např. limita podílu funkcí arctg x lim x^oo arccotgrr ale limita podílu derivací je jiná, protože (arctg x)' lim typ lim 0- 00, 1 1+x2 x^co (arccotgrr)' x^co — ^ -1. □ Poznámka 10. (i) Limity typu 00 — 00 lze převést na typ jj následovně: 40 (ii) Limity typu 0 • oo lze převést na typ ^ (viz Příklad 55(a)) nebo na typ ^ následovně: lim [f(x) ■ g{x)\ typ 0 • oo = lim —t- x^x0 x^x0 —r- nebo ,. 9\X) = lim —— W) 0 typ - oo typ — oo (iii) Limity typu 0°, oo°, 1°° lze pomocí exponenciální funkce (viz např. Příklad 55(b)) převést na typ 0 • oo: lim f(x)9^ = lim e9^ lnf^ = elim*^o9(x) in/Or) X—>X(j typ 0 • oo nebo oo • 0 □ 2.12. Derivace implicitně zadaných funkcí. Pokud máme zadánu funkci f(x) vzorcem y = f (x), hovoříme o jejím explicitním zadání. Obecnějším zadáním funkce je rovnice F(x,y) = 0, kde závislá proměnná y představuje „neznámou" funkci. Pokud tuto rovnici nelze (nebo to nepotřebujeme) vyřešit vzhledem k y, pak hovoříme o funkci zadané implicitně. Avšak i v tomto obecnějším případě budeme schopni vypočítat y'(x) (aniž bychom znali explicitní vzorec pro y(x)), a to pomocí pravidla pro derivaci složené funkce (Věta 11). Příklad 56. Rovnice y2 = x definuje dvě diferencovatelné funkce 1 1 yi = V%, V2 = -y/x y[ = 77-7=, y'2 = -^~i= (x > °)- Avšak i bez znalosti samotných funkcí yľ a y2 lze derivováním rovnice y2 = x spočítat, že , 1 (y2)' = (xy 2yy' což je jediný vzorec pro y' obsahující jak yľ tak y2. y = 7T> ty □ Při derivování implicitně zadaných funkcí obsahuje výsledná derivace y' jak proměnnou x tak proměnnou y (na rozdíl od „normálního" derivování funkce, kdy je ve výsledku pouze proměnná x). Při derivování implicitně zadaných funkcí musíme brát závislou proměnnou (obvykle) y jako funkci proměnné x, tedy jakýkoliv složitější výraz s y musíme derivovat pomocí pravidla pro derivaci složené funkce (Věta 11), viz Příklad 56. Příklad 57. Určete směrnici tečny ke kružnici x2 + y2 = 25 v bodě P = [—3,4]. Řešeni. Derivováním zadané rovnice podle proměnné x dostaneme (x2 + y2)' = (25)' =>• 2x + 2yy' = 0 =>• y' - x y A proto je směrnice tečny v bodě P (=derivace v bodě P) rovna -3 _ 3 ~~ ~ 4' y □ 41 V Příkladech 56 a 57 bylo možné neznámou funkci y explicitně vypočítat (i když jsme to nepotřebovali) a najít tak y' původním způsobem. V následujícím příkladu ale y již vyjádřit nelze, a tudíž je implicitní derivování jediným možným způsobem, jak y' najít. Příklad 58. Určete derivaci funkce y = f (x), která je zadaná rovnicí 4y = x3 + cosy. Řešeni. Derivováním zadané rovnice podle proměnné x dostaneme (Ay)' = (x3 + cosy)' Ay' = 3ir2 — (siny) y' y 3ir2 4 + siny □ Tímto způsobem lze počítat i derivace vyšších řádů. Příklad 59. Určete první a druhou derivaci funkce y = f (x), která je zadaná rovnicí 3ir4 — 4y3 = 1. Řešeni. Derivováním zadané rovnice podle proměnné x dostaneme (3ir4 - 4y3)' = (1)' =>■ 12ir3 - 12y2y' = 0 =>• x3 - y2y' = 0 =>• x Opětovným derivováním předposlední uvedené rovnice podle proměnné x dostaneme (x3 - y2y')' = (0)' ^ 3x2-(2yy'-y' + y2-y") = 0 ^ 3x2 - 2y (y')2 - y2 y" = 0 A2 „ 3x2-2y(y') Všimněte si, že pro derivaci výrazu y2y' musíme použít pravidlo součinu, protože obě funkce y2 a y' jsou funkce proměnné x. Ve výsledku samozřejmě ještě můžeme dosadit za y' z předchozího výpočtu, tj- n 3x2-2y(^)2 3x2y3-2x6 □ 2.13. Jednoduché slovní úlohy s derivacemi. Následující slovní úlohy jsou převzaty z [9]. Příklad 60. Jak rychle klesá voda ve válcové nádrži, jestliže vytéká rychlostí 3000 l/min (viz obr.)? Řešeni. Označme r poloměr nádrže [m], h(t) výšku vody v nádrži [m], t čas [min], V(t) objem vody v nádrži [m3]. Víme, že V'(t) = —3000 l/min, tj. V'(t) = —3 m3/min (objem se zmenšuje, jeho derivace je tedy záporná). Hledáme h'(t). Z rovnice pro objem válce V(t) =nr2h(t) určíme derivováním podle t V'(t) = nr2h'(t), tj. h'(t) = ^l = —2. 42 Voda tedy klesá (protože je derivace objemu záporná) rychlostí 3/(irr2) m/min. Pro malé r bude voda klesat rychle, pro velké r bude voda klesat pomalu. Např. pro r = 10 cm, tj. r = 0.1 m, je h'(t) = —300/7T = —95 m/min, naproti tomu pro r = 10 m je h'(t) = — 3/(100 7r) = —0.0095 m/min, tj. h'(t) = —9.5 mm/min. □ Příklad 61. Horkovzdušný balón stoupá kolmo vzhůru. Je zachycen radarem, který je 500 metrů od místa vzletu a který v té chvíli udává elevační úhel |, přičemž úhel roste rychlostí 0.14 rad/min. Jak rychle v tomto okamžiku balón stoupá (viz obr.)? Řešeni. Označme t čas [min], h(t) výška balónu nad zemí [m], (t)=2x(t)x>(t) + 2y(t)yi(t), tj. x'(t) = ^ y(t) ^ Dosazením údajů pro daný okamžik dostaneme At) = V(0.6)» + (0.8)^-40 - (0.6) (-120) = ^ km/h Auto lupičů ujíždí v daném okamžiku od křižovatky rychlostí 140 km/h. □ 43 Příklad 63. Policejní vrtulník letí 3 km nad rovnou cestou v obci rychlostí 120 km/h. Pilot vidí protijedoucí auto a radarem zjistí, že když je auto od něj 5 km daleko, jejich vzdálenost klesá rychlostí 160 km/h. Určete rychlost auta v tomto okamžiku. Řešeni. Označme (viz obr.) x(t) pozici auta (vodorovná) [km], y(t) pozici vrtulníku (vodorovná) [km], t čas [h], s(t) vzdušnou vzdálenost vrtulníku a auta [km]. Potom víme, že y'(t) = 120 km/h a s'(t) = —160 km/h pro s = 5 km (jejich vzdušná vzdálenost se zmenšuje, proto je derivace záporná). Hledáme x'(t) v tomto okamžiku. Z rovnice [x(t)-y(t)]2 + 32 = s2(t) dostaneme derivováním podle t 2[x(t)-y(t)][x\t)-y\t)] = 2s(t)s'(t), tj. x'(t) = y\t) + S(í) ^ ii je a daný okamžik, že x(t)-y(ty Pro s = 5 km je x — y = \/h2 — 32 = 4 km, tedy dosazením do výše uvedeného vztahu dostaneme pro x'(t) = 120 + 5^416°) = -80 km/h. Auto jede (přibližuje se z pohledu pilota vrtulníku) v obci rychlostí 80 km/h. □ Příklad 64. Žebřík délky 13 metrů je opřený o stěnu domu. Dolní část žebříku začne klouzat směrem od domu. Když je dolní část žebříku 12 metrů od domu, pohybuje se tato dolní část rychlostí 5 m/s. (a) Jak rychle se pohybuje horní část žebříku v tomto okamžiku? (b) Jak rychle se mění plocha vymezená žebříkem, zemí a stěnou domu v tomto okamžiku? (c) Jak rychle se mění úhel mezi žebříkem a zemí v tomto okamžiku? Řešeni. Označme (viz obr.) x(t) pozici dolní části žebříku (vodorovná) [m], y(t) pozici horní části žebříku (svislá) [m], t čas [s], A(t) plochu mezi žebříkem, zemí a stěnou domu, 0, potom je v bodě xq ostré lokální minimum. (ii) Je-li f"(x0) < 0, potom je v bodě x0 ostré lokální maximum. Důkaz, (i) f"(xo) > 0 a f'(xo) = 0 znamená, že f'{x) roste v bodě xq z 0 do © hodnot, tedy funkce f{x) samotná klesá a pak roste. Tedy je v bodě xq ostré lokální minimum. (ii) f"(x0) < 0 a f'(x0) = 0 znamená, že f'{x) klesá v bodě x0 z © do 0 hodnot, tedy funkce f{x) samotná roste a pak klesá. Tedy je v bodě x0 ostré lokální maximum. □ Řešení. Protože x > 0 : f(x)=x—l x < 0 : f{x) = x — 1 -x f'(x) - f'(x) 1-^ 48 Příklad 70. Stejně jako v Příkladu 69 je 2 > 0 =>• ostré lok. min. v xq = —. □ f(k-1\x0)=0 a /«(rro)^O, • pro k sudé je ostrý lokální extrém v bodě xq, přičemž pro f(k\xo) > 0 je v bodě xq ostré lokální minimum, pro f^(xo) < 0 je v bodě x0 ostré lokální maximum, • pro k liché není lokální extrém v bodě x0, přičemž pro f(k\xo) > 0 funkce f(x) roste v bodě x$, pro f(k\x0) < 0 funkce f{x) klesá v bodě x0. Všechny tyto případy si můžete lehce ilustrovat na mocninných funkcích x2, x3, x4, x5, atd. v bodě Definice 10 (Globální extrémy). Funkce f(x) má v bodě xq G T>(f) • globální maximum na množině M C T>(/), pokud f(x) < f(x0) pro všechna x G M, • globální minimum na množině M C T>(f), pokud f(x) > f(x0) pro všechna x G M. Poznámka 12. (i) Místo globální max/min se také používá termín absolutní max/min. (ii) Globální max/min nemusí být jediné. Např. funkce f(x) = x2 na intervalu [—1,1] má globální max 1 v bodech 1, kdežto globální min 0 v bodě x = 0. (iii) Globální max/min nemusí ani existovat (viz Poznámka 3). (iv) Weierstrassova věta (Věta 6) zaručuje existenci globálního max/min - za předpokladu spojitosti funkce f(x) na intervalu [a, b]. (v) Pokud víme, že globální extrémy existují, potom musí tyto globální extrémy být ve stacionárních bodech nebo v bodech, kde neexistuje f'(x), nebo v krajních bodech daného intervalu. Nemusíme již pak určovat, jestli jsou ve stacionárních bodech lokální extrémy x0 = 0. □ □ či nikoliv. □ 49 Konec 4. přednášky (12.3.2015) Poznámka 13. Z Poznámky 12(v) plyne postup pro nalezení globálních extrémů spojité funkce f(x) na intervalu [a,b] (z Weierstrassovy věty víme, že globální max/min existuje): • Najdeme stacionární body funkce f(x) a body, kde neexistuje f'(x). • V těchto bodech a v krajních bodech intervalu určíme funkční hodnoty. • Vybereme z nich max a min hodnotu. □ Příklad 71. Určete globální extrémy funkce f(x) = x — 1 — \/ \x\ na intervalu [—1,1]. Řešení. Protože je f(x) spojitá na intervalu [—1,1], globální extrémy v tomto intervalu existují. Z Příkladu 69 víme, že x = ^ je jediný stacionární bod a x = 0 je bod, kde neexistuje f'(x), v intervalu [—1,1]. Máme tedy stacionární body: /9 f'{x) krajní body: x i 4' x = 0, x = — ] rr = 1, 5 "4' /(0) = -l, /(-1) = -l-l-l = -3, /(l) = 1 - 1 - 1 = -1. •<— max •<— min •<— max Tedy je globální min —3 v bodě x = — 1, globální max —lv bodech x = 0, x = 1. □ 2.15. Konvexnosť, konkávnost, infiexe. Pojmy konvexnost, konkávnosti a inflexních bodů slouží ke studiu toho, jak daná funkce (či přesněji její graf) „zatáčí". Tyto pojmy budeme uvažovat pouze pro diferencovatelné funkce. Definice 11 (Konvexnost, konkávnost). Nechť má funkce f(x) vlastní derivaci na intervalu I C £>(/). Funkce f(x) se nazývá • konvexní na intervalu J, pokud je f'(x) neklesající na J, • konkávni na intervalu J, pokud je f'(x) nerostoucí na I. □ Poznámka 14. To, že funkce f'(x) je neklesající na intervalu I (tj. f(x) je konvexní), znamená, že tečny mají „neklesající směrnici", tj. (viz obr.) graf funkce f(x) „zatáčí doleva" a tečny leží pod grafem. 50 To, že funkce f'(x) je nerostoucí na intervalu I (tj. f(x) je konkávni), znamená, že tečny mají „nerostoucí směrnici", tj. (viz obr.) graf funkce f(x) „zatáčí doprava" a tečny leží nad grafem. □ Příklad 72. (a) Funkce f(x) = x2 má derivaci f'(x) = 2x, což je funkce rostoucí (tudíž neklesající) na IR. A proto je x2 konvexní na IR (viz obr.). (b) Funkce f(x) = x3 má derivaci f'(x) = 3x2, což je na intervalu [0,oo) funkce rostoucí (tudíž neklesající). A proto je x3 konvexní na [0, oo) (viz obr.). (c) Funkce f(x) = x3 má derivaci f'(x) = 3x2, což je na intervalu (—oo, 0] funkce klesající (tudíž nerostoucí). A proto je x3 konkávni na (—oo, 0] (viz obr.). (d) Funkce f(x) = ax + b má derivaci f'(x) = a, což je funkce konstantní (tudíž neklesající) na IR. A proto je ax + b konvexní na IR. Současně je konstantní funkce f'(x) = a nerostoucí na IR, a proto je ax + b také konkávni na IR. □ Věta 20 (Konvexnost a konkávnost a druhá derivace). Nechť I C T>(f) je otevřený interval a nechť má funkce f(x) druhou derivaci f"{x) na I. (i) Je-li f"{x) > 0 na I, potom je f{x) konvexní na intervalu I. (ii) Je-li f"{x) < 0 na I, potom je f{x) konkávni na intervalu I. Důkaz, (i) Je-li f"{x) > 0 na intervalu J, potom je podle Důsledku 5(i) (který aplikujeme na funkci f'{x)) funkce f'{x) rostoucí na intervalu I. Tedy je podle Definice 11 funkce f(x) konvexní na intervalu I. (ii) Je-li f"{x) < 0 na intervalu J, potom je podle Důsledku 5(ii) (který aplikujeme na funkci f'{x)) funkce f'{x) klesající na intervalu I. Tedy je podle Definice 11 funkce f{x) konkávni na I. □ Tam, kde se mění konvexnost na konkávnost nebo naopak, se nacházejí tzv. inflexní body funkce. Definice 12 (Inflexní bod). Nechť má funkce f{x) vlastní nebo nevlastní derivaci f'(xo). Je-li f'(xo) nevlastní, potom navíc předpokládejme, že je f{x) spojitá v bodě x$. Bod xq je inflexní bod funkce f(x), pokud v nějakém levém okolí bodu xq je funkce f{x) konvexní a v nějakém pravém okolí bodu Xq je funkce f{x) konkávni, nebo naopak (viz obr.) □ Věta 21 (Vlastnosti infiexních bodů). (i) Pokud existuje vlastní druhá derivace f"(xo) v inflexním bodě xq, potom je f"(xo) = 0. (ii) Je-li f"(xo) = 0 a f"{x) mění znaménko v bodě xq, potom je xq inflexní bod. (iii) Je-li f"(xo) = 0 a f"'(xo) ý 0, potom je xq inflexní bod. 51 Zejména část (ii) v předchozí větě ukazuje, jak inflexní body najít. Současně ze změny znaménka f"(x) (tedy jestli se jedná o změnu z 0 do © nebo o změnu z © do 0) poznáme, kterým směrem graf funkce f{x) v bodě xq „zatáčí". Příklad 73. Určete monotonii, lokální extrémy, konvexnost/konkávnost a inflexní body funkce f{x) = x + sinrr na intervalu [0,47r]. Řešeni. f'{x) = 1 + cosrr = 0 implikuje, že cos x = —1, tedy x = 7r, 3tt jsou stacionární body (v intervalu [0,47r]). Body, kde neexistuje f'{x) nejsou. V každém z intervalů (0,7r), (tt, 3tt) a (37r,47r) vybereme jeden bod pro určení znaménka f'{x) v těchto intervalech (viz tabulka). Tedy f{x) je rostoucí na [0,47r], f{x) nemá lokální extrémy. f"{x) = — sin x = 0 implikuje, že x = 0,7r, 2tt, 3tt, Att jsou kandidáti na inflexní body. V každém z intervalů (0,7r), (tt, 2tt), (2tt, 3tt) a (3tv, Att) vybereme jeden bod pro určení znaménka f"(x) v těchto intervalech (viz tabulka). Tedy f(x) je konvexní na [tt, 2tt] a na [37r,47r], f(x) je konkávni na [0,7r] a na [27r,37r], f(x) má inflexi v bodech x = 7r, 2tt, 3tt. • A protože můžeme jednoduše vypočítat funkční hodnoty a hodnoty derivace (pro sklon tečny) ve zmiňovaných stacionárních, inflexních a krajních bodech, /(0) = 0, /(7r)=7T, f(2n)=2n, /(3tt) = 3tt, /(4tt) = 4tt, /;(0) = 2, /'(tt) = 0, f(27r) = 2, f(37r)=0, /í(4tt)=2, můžeme také načrtnout graf této funkce na intervalu [0,47r] (viz obr.). □ 2.16. Asymptoty. Funkce f(x) může mít jako asymptotu svislou přímku (asymptota bez směrnice) nebo přímku se směrnicí. Ve druhém případě pak rozlišujeme asymptoty v oo a v — oo. Definice 13 (Asymptoty funkce). • Přímka X — Xq (svislá přímka) je asymptotou bez směrnice funkce f(x), pokud je alespoň jedna jednostranná limita v bodě xq nevlastní, tj. lim f(x) = ±oo nebo lim f(x) = ±oo. Přímka y = ax + b (a, b G IR) je asymptotou se směrnicí v oo, pokud lim \f{x) — {ax + 6)] = 0, případně je asymptotou se směrnicí v — oo, pokud lim \f{x) — {ax + 6)] = 0. x—>—oo 52 □ Příklad 74. (a) Funkce f(x) 1 má asymptotu bez směrnice x = 0 a asymptotu se směrnicí y = 0 (v ±oo) (b) Funkce /(rr) = má asymptotu se směrnicí y = 0 (v ±oo), protože , siní lim--0 x^±oo \ X smx lim x^±oo X typ ohr. ±oo 0. (c) Funkce f(x) = ax + b je svou vlastní asymptotou (v ±oo). □ Poznámka 15. Je zřejmé, že asymptoty bez směrnice mohou být pouze v bodech nespojitosti funkce f{x). Viz např. Příklad 74(a). Samozřejmě ne každý bod nespojitosti zadává asymptotu, viz např. Příklad 74(b) a bod x = 0. □ Věta 22 (Asymptoty se směrnicí). Přímka y = ax + b je asymptotou funkce f{x) v oo <š=> /(*) a = lim b = lim [f(x) — ax]. x^řoo X Podobně, přímka y = ax + b je asymptotou funkce f(x)v—oo <š=> (29) lim /(*) x^-co X b = lim \f{x) — ax]. x^—oo Důkaz. Býti asymptotou v oo znamená, že f{x) ~ ax -\- b pro x —> oo. Tedy pokud obě strany podělíme výrazem x, dostaneme, že /(*) ~ - , b (30) (31) x x pro x —ř oo. A protože výraz ^ —> 0 pro rr —)• oo, dostáváme odtud vzoreček pro hodnotu koeficientu a. Dále, známe-li koeficient a, potom z vzorce (31) plyne, že f(x) — ax ?žb pro x —> oo, tj. dostáváme odtud vzoreček pro hodnotu koeficientu b. Podobně to platí pro x —> — oo. □ Poznámka 16. Protože se může snadno stát, že limity v (29) a (30) se např. pro koeficient a nebo pro koeficient b liší, používáme ve výpočtu těchto koeficientů značení a+, b+ pro limity v oo a a_, &_ pro limity v — oo. 53 Tedy x^oo X f (z) lim x^-oo X b+ = lim \f(x) — a+ ■ x], b_ = lim \f(x) — a_ ■ x] x^—oo (32) (33) □ Samozřejmě, pokud alespoň jedna z limit definujících koeficienty a, b je nevlastní nebo neexistuje, tak potom daná funkce asymptotu v příslušném oo nebo — oo nemá. Příklad 75. Určete asymptoty funkce /(*) (x - 2)3 Or + 2)2' Řešeni. Asymptoty bez směrnice: Protože je funkce f(x) spojitá na intervalech (—oo, —2) a (—2, oo), asymptota bez směrnice může být teoreticky pouze v bodě x = —2 (viz Poznámka 15). Spočteme proto jednostranné limity v tomto bodě: lim (x - 2)3 x"-2+ (x + 2)2 Tedy typ -64 -oo, lim--—7 (x + iy typ -64 o- -oo. X -2 je asymptota bez směrnice Asymptoty se směrnicí: lim /(*) x^co X lim x^oo x (x + iy ' (x — 2)3 lim \f(x) — a+ ■ x] = lim (--rrx — x (x + 2y lim (x - 2)3 x-(x + 2f oo\(x + 2)2 (x + 2y lim x—>oo -10x2 + 8x (x + 2)2 -10. Tedy y = x — 10 je asymptota v oo Výpočty pro a_ a &_ jsou naprosto stejné: lim m = lim o* - 2)3 x^-oo x x^-oo X (x + 2)2 lim \f(x) — a- ■ x] = Wx2 + 8x - 8 x—y—oo x^—oo -i- — n ■10. lim--— — x (x + 2)2 lim (x - 2)3 x-(x + 2f -oo\(x + 2)2 (x + 2y lim x—>—oo (x + 2y Tedy y = x — 10 je asymptota v —oo . (Viz obr.) 54 □ 2.17. Celkový průběh funkce. Příklad 76. Vyšetřete celkový průběh funkce /(*) x X £>(/)= M \{-l}. Řešení. Určíme • definiční obor (pokud již není zadán), • první derivaci f'(x) a vše co z ní lze určit, tj. stacionární body, body kde neexistuje f'(x), intervaly monotonie (rostoucí a klesající f(x)), lokální extrémy (pokud použijeme Větu 18 či Důsledek 5), • druhou derivaci f"(x) a vše co z ní lze určit, tj. konvexnost, konkávnost a inflexní body, případně lokální extrémy (pokud použijeme Větu 19), • asymptoty bez směrnice a se směrnicí, • hodnoty funkce f(x) a derivace f'(x) ve všech „význačných" bodech (např, stacionárních a inflexních bodech, kde neexistuje f'(x) nebo f"(x), v krajních bodech, atd.), a nakonec ze všech těchto informací sestrojíme graf funkce f(x). Příklad 77. Vyšetřete celkový průběh funkce 1 f(x) =--h lnrr. x □ Řešeni. Definiční obor je T>(f) = (0, oo) První derivace lnrr 1 x x 0, />< / /■>> i. />< /■>> tXj / tXj tXj tXj tedy x = 1 je jediný stacionární bod. Protože f'(x) < 0 na intervalu (0,1) a f'(x) > 0 na intervalu (l,oo) (viz tabulka), f(x) je klesající na (0,1], f(x) je rostoucí na [1, oo), f(x) má lokální min v bodě x = 1. [Vzhledem k okolnostem je zřejmě v bodě x = 1 globální minimum funkce f(x) na intervalu (0,oo).] 55 Druhá derivace 1 1 /■>> & rtr* I / y> O / >< 1 _2-x ~2 ~~ tedy x = 2 je jediný kandidát na inflexní bod. Protože f"(x) > 0 na intervalu (0, 2) a f"(x) < 0 na intervalu (2, oo) (viz tabulka), f(x) je konvexní na (0, 2], f(x) je konkávni na [2, oo), f(x) má inflexi v bodě x = 2. Asymptoty bez směrnice: lim —h ln x x^0+ V X typ oo — oo lim 1 + x In x x protože podle Příkladu 55(a) je \imx^0+ x In x = 0. Tedy 00, x = 0 je asymptota bez směrnice . Asymptoty se směrnicí: r /(*) a = lim -= i + lnrr 1 lnrr hm --= lim — + lim - X^KX) X X^KX) X X^KX) X* X^tCX) X 00 typ — 00 1'Hosp. lim — = lim — = 0, x—>oo 1 x—>oo X b = lim [f(x) — ax] = lim I —h lnrr ] I typ 0 + 00 I = 00. X—>OQ X^řOO \ X Tedy Funkce f(x) nemá asymptotu v 00 Hodnoty funkce f(x) a derivace f'(x) ve všech „význačných" bodech: /(!) = !, /'(1) = 0, /(2) = ± + ln2«1.19, f (2) = \. a nakonec ze všech těchto informací sestrojíme graf funkce f(x): 56 □ 2.18. Optimalizace. V tomto odstavci uvidíme, jak využít znalostí o průběhu funkce či globálních extrémů funkce pro aplikace v „běžném životě". Příklad 78 (Papírová krabice). Z kartonu tvaru čtverce o straně délky 54 cm vyřízněte v každém rohu stejný čtverec tak, abyste mohli sestrojit krabici (bez víka) s co největším objemem (viz obr.). Řešeni. Označme jako x (v cm) délku strany čtverců, které musíme vyříznout. Potom má zbývající podstava rozměry 54 — 2x cm x 54 — 2x cm, přičemž výška krabice bude právě x cm. Pro objem krabice dostaneme proto vztah V = V(x) = (54 - 2xf x = (2916 - 216x + Ax2) x = 4 (729x - 5Axz + xó) „2 , „3\ Délka strany vyřízlých čtverců může být nejvýše 54/2 = 27 cm, a proto musíme najít maximum funkce V(x) na intervalu [0,27]. Protože je funkce V(x) spojitá na intervalu [0,27], její maximum existuje (Weierstrassova věta -Věta 6). Podle Poznámky 13 musíme najít stacionární body: V'(x) = 4 (729 - 108x + 3x2) = 12 (243 - 36x + x2) = 12 (27 - x) (9 - x) = 0, =>• xi = 27, x2 = 9. Body, kde V'(x) neexistuje, nejsou. 57 Body xi = 27 a x2 = 9 jsou tedy stacionárními body funkce V(x) v intervalu [0, 27], přičemž bod X\ = 27 je současně krajním bodem tohoto intervalu. Hodnoty funkce V(x) v těchto bodech jsou stacionární body: x = 27, V(27) = (54 - 54)2 27 = 0, x = 9, V (9) = (54- 18)29 = 11664, ^max krajní body: x = 0, ^(0) = 0, x = 27, V (27) = 0. Tedy maximální objem je 11664 cm3 (téměř 12 litrů) pro krabici o rozměrech 36 cm x 36 cm x 9 cm, tj. v každém rohu musíme vyříznout čtverec o straně 9 cm Všimněte si, že maximum můžeme také ověřit testem s první derivací (např. Důsledek 5): pro x G [0,9) je V'(x) > 0, tedy V(x) je rostoucí na intervalu [0,9], zatímco pro x G (9,27) je V'(x) < 0 a tedy V(x) je klesající na intervalu [9, 27]. Všimněte si také, že funkce V(x) je konkávni na intervalu [0,18], konvexní na intervalu [18,27] a v bodě x = 18 má inflexní bod. □ Příklad 79 (Výroba plechovky). Určete rozměry litrové plechovky válcového tvaru tak, aby spotřeba materiálu na její výrobu byla co nej menší. Řešeni. Označme si jako h (v cm) výšku plechovky a jako r (v cm) poloměr jejího dna (či víčka). Potom je na výrobu takové plechovky potřeba S = S (h, r) = 2_7iT2/ +2Trrh cm2 materiálu. dno + víčko stěna Protože ale musí mít plechovka objem 1 litr = 1000 cm3, musí platit 1000 V = nr2h = 1000 h a tedy je S = S (r) = 2irr2 + 2nr 1000 2nr2 2000 pro r > 0. Hledáme tedy minimum funkce S (r) pro r G (0, oo). Všimněte si, že daný interval není uzavřený ani ohraničený, a proto pro existenci extrému nelze použít Weierstrassovu větu (Věta 6). Určeme nejdříve stacionární body: S'(r) = (2nr2 + 2000 r"1)' = 4nr - 2000 r"2 2000 Anr--— = 0, Trr3 = 500, r = r0 :- 500 7t 5.42. Dále, protože je S"(x) = (Anr - 2000 r~2)' = 4tt + 4000 r ,-3 47t 4000 > 0 pro r > 0, je funkce S(r) konvexní na celém intervalu (0, oo). A proto je bod tq globální minimum. 58 Odpovídající výška plechovky je pak 1000 1000 hn = -7T = 500 7t 500 7t 2r0 10.84. Spotřeba materiálu je tedy minimální, pokud výška plechovky je rovna průměru podstavy . □ 2.19. Diferenciál funkce. Diferenciál funkce je pojem, který se pro funkce jedné proměnné využívá pouze pro potřeby integrování (viz následující kapitola) nebo pro přibližné výpočty. Pro funkce více proměnných má mnohem větší význam (viz MB 103). Definice 14 (Diferenciál). Nechť x0 G T>(f) je bod, ve kterém existuje vlastní derivace f'(x0) funkce y = f {x). Potom definujeme diferenciál dx (diferenciál nezávislé proměnné) jako dx = x — x0 (pro x blízko x0 diferenciál dy (diferenciál závislé proměnné) jako dy = f'(x0) ■ dx Alternativní značení pro dy je df, případně df(x0) pokud chceme zdůraznit, že se jedná o diferenciál v bodě xq. □ Uvědomte si, že pokud je x napravo od x0, je dx = x — x0 > 0, pokud je ale x nalevo od x0, je dx = x — Xq < 0. Příklad 80. y = siní, y = —x + x \nx, dy = (sinrr)' • dx = (cosrr) dx, dy = {—x + x \nx)' ■ dx = (\nx) dx. Co to vlastně ten diferenciál je (nepleťte si s diferenciálem v automobilu)? □ Pokud se podíváme na rovnici tečny v bodě x0 (viz Poznámka 5), potom máme y-Vo = f(x0) (x - x0), kde y0 = f(x0), y ~ f(xp) = f'(xo) dx = df(x0). (34) dy Vidíme tedy, že diferenciál dy je změna funkčních hodnot na tečně (viz obr.). A protože hodnoty na tečně aproximují funkční hodnoty f(x) pro x blízko bodu xq, plyne z (34) vzoreček pro přibližné výpočty: ^_^ tj- f(x) ~ f(x0) + f'(x0) (x - x0). f(x) « f(x0) + df(x0) (35) (Jedná se vlastně o rovnici tečny zapsanou trošku jiným způsobem). Tedy hodnoty funkce f(x) pro x „blízko" bodu x0 se přibližně rovnají hodnotám na tečně v bodě x0, přičemž pro tento výpočet musíme znát hodnotu funkce f(x0) a derivace f'(x0) v bodě x0. 59 Diferenciál je tedy přibližná změna funkčních hodnot pro x blízko x0. Příklad 81. Pomocí diferenciálu přibližně vypočtěte y/85. Řešení. Protože známe y/81 = 9, položíme x0 = 81 a x = 85, tj. dx = x — x0 = 4. Tedy pro f(x) = y/x potom je f'(x) = ^/j, a tedy /(81) = 9 a /'(81) = = jg. Ze vzorce (35) potom plyne, že /(85) « /(81) + df (81) = /(81) + f(81) dx, tj. 1 2 83 V85 R29 + — - 4 = 9 + - = — = 9.2222 ... 18 9 9 (Pro srovnání je přesná hodnota = 9.2195 ....) □ Příklad 82. Poloměr kruhu se mění z 20 m na 20,1 m. Odhadněte nárůst jeho plochy. Řešeni. Obsah kruhu je P = P (r) = irr2. Položíme r0 = 20, r = 20.1, a pak dr = r — r0 = 20.1 — 20 = 0.1. Protože je P(r0) = P(20) = 400tt a P'(r0) = P'(20) = 27rr|r=20 = 40tt, je podle vzorce (35) P(r) ^ P(r0) + P'(r0)dr = 400tt + 40tt • (0.1) = 404tt. I dP(r0) = 4tt I ^ P(r) - P(r0). Odhad nárůstu plochy je asi Air m2. Přibližný procentuální nárůst plochy (vzhledem k původní ploše) je pak dP(r0) 47t 1 P(r0) 400tt 100 °' Tedy plocha vzroste přibližně o 1%. □ 2.20. Taylorův polynom. Viděli jsme, že pro aproximaci funkce pomocí lineárního polynomu slouží tečna (tedy diferenciál). Lze ale použít i aproximace vyšších řádů. V tomto obecnějším případě potom hovoříme o Taylorově polynomu. Definice 15 (Taylorův polynom). Nechť x0 G T>(f) je bod, ve kterém existují vlastní derivace f'(xo), f"(xo), • • •, f(n\xo) funkce f(x) až do řádu n. Taylorův polynom stupně n funkce f(x) se středem v bodě x0 je polynom T(x) = Tn(x) = T[(x) = T/(ar; x0) definovaný jako T(x) := f(x0) + f'(x0) (x - x0) + " ^o)2 + (x - x0f + ■■■ + (x - x0)n. 2 3! n\ Alternativně zapisujeme Taylorův polynom pomocí sumy T(x) = ±^p±(x-x0)\ k=0 pricemz pro k = 0 klademe 0! := 1 a /^(x) := f(x). □ 60 Poznámka 17. (i) Taylorův polynom stupně n = 0 se středem v bodě xq je tedy polynom To(x) = f(x0), tedy jedná se o konstantní funkci. (ii) Taylorův polynom stupně n = 1 se středem v bodě xq je tedy polynom Tl{x) = f(x0) + f'(xo) (X - Xq). Vidíme tedy že tento polynom je přesně rovnice tečny (viz Poznámka 5) nebo také vyjadřuje aproximaci funkce f(x) pomocí diferenciálu (viz vzorec (35)). □ Příklad 83. Určete Taylorův polynom stupně n = 0,1,2,3,4,5,6 se středem v bodě xq = 0 pro funkci f{x) = sinx Řešeni. Pro funkci f(x) = sinx máme f'{x) = cosx, f"(x) = — sinx, f'"{x) = —cosx, f(4\x) = sinx = f(x), f(5\x) = cosx = f'(x), f(6\x) = — sinx = f"(x). Hodnoty funkce a derivací v bodě x0 = 0 tedy jsou /(0) = 0, f(0) = l, /"(0) = 0, f"'(x) = -l, /(4)(0) = 0 = /(O), /(5)(0) = 1 = /'(O), /(6)(0) = 0 = /"(O). Všimněte si, že všechny derivace sudého řádu jsou v bodě xq = 0 rovny 0, a tedy sudé mocniny x se ve výsledných polynomech nebudou vyskytovat. Příslušné Taylorovy polynomy Tn{x) stupňů n = 0,1,2, 3,4, 5,6 jsou tedy T0(x Ti(x T2(x T3(x T^{x T5(x T6(x /(O) = 0, T0(x Ti(x T2{x T3(x T4(x T5(x + f'(0)x = x, tXj tXj tXj t 3! /(4)(0) tXj tXj tXj 4! 6 /(5)(0) 5! /(6)(0) 6! tX/ tX/ tX/ 1 3 , 1 5 6 120 fí 1 q 1 c; tX/ tX/ tXj tXj * 6 120 Aproximace funkce sin x pomocí těchto polynomů: 61 Příklad 84. Určete Taylorův polynom stupně n = 0,1,2,3,4,5,6 se středem v bodě xq = 0 pro funkci f(x) = cos x . 62 Řešeni. Pro funkci f(x) = cosir máme f'(x) = — siní, f"(x) = — cosi, f"'(x) = siní, f^(x) = cosi = f(x), /^(i) = — siní = /'(i), /^(i) = — cosi = f"(x). Hodnoty funkce a derivací v bodě i0 = 0 tedy jsou /(0) = 1, f(0)=0, /"(0) = -l, f"'(x) = 0, /(4)(0) = 1 = /(O), /(5)(0) = 0 = /'(O), /<8>(0) = -1 = /"(O). Všimněte si, že všechny derivace lichého řádu jsou v bodě i0 = 0 rovny 0, a tedy liché mocniny i se ve výsledných polynomech nebudou vyskytovat. Příslušné Taylorovy polynomy Tn(i) stupňů n = 0,1,2, 3,4, 5,6 jsou tedy T0(i) = /(O) = 1 Ti(i) = TQ{x) + , T2{x) = Tx(i) + T3(x) = T2(i) + T4(i) = T3(i) + 75(2;) = ±i(x) + T6(i) = T5(x) + + /'(0)i = l, f M 2 _ t _ I 2 2 2 ' Ho) 3! /W(0) 4! /(^(0) 5! 6! 1 1 1 1 1 - -1' 1 - -x2 2 1 - -aT 2 24 1 24 1 1 1 1 - - iz + — ^4__^_ 6 24 720 Aproximace funkce cos 1 pomocí těchto polynomů: 63 (a) Graf funkce cos(x) na intervalu [— 2tv, 2tt]. (b) Graf funkcí cos(x) a Tq(x) = 1 na intervalu [—2tt,2tt\. ----------------------- "V. X. ----------^ _ s s / \> \\ \ \ \ \ \ \ \ N s * / \ V \ *^---' s (c) Graf funkcí cos(x), To (a;) 2 = 1 a T2(x) = 1 — ^- na intervalu [- -2vr, 2vr]. V •s \ X \ s ^ \ /? s \ /' s \ S' ^S. / / \\ / s s ^—/ \"V / \ *^ y \ v*----- ✓ * / / y s s \ \ (d) Graf funkcí cos(x), T$(x) = 1 a T2(x) = 1 - ^ a T4(x) = 1 - ^ + na intervalu [—27r,27r]. obrázek 2. Ilustrace aproximace funkce cosrr pomocí Taylorových polynomů. □ Příklad 85. Určete Taylorův polynom stupně n = 0,1,2, 3,4 se středem v bodě xq = 0 pro funkci /(*) = z* ■ Řešeni. Pro funkci f(x) = ex máme f{x) = /'(*) = /"(*) = /"'(*) = f4\x) = ď. Hodnoty funkce a derivací v bodě x0 = 0 tedy jsou všechny rovny e° = 1. 64 Příslušné Taylorovy polynomy Tn(x) stupňů n = 0,1,2, 3,4 jsou tedy T0(x) = /(O) = 1, Ti (a:) = TQ{x) + /'(O) x=l + x, T2{x) = Ti (ar) + = 1 + x + ^ x2, T3(rr) = T2(x) + = 1 + rr + X- x2 + i x3, TAx) = T3(x) + x4 = i _|_ x _|_ I x2 _|_ I x3 _|_ _L x4. 4v ; 4! 2 6 24 Aproximace funkce e"1 pomocí těchto polynomů: (b) Graf funkcí ex a Tq{x) = 1 na intervalu [—3, 3]. 65 66 Příklad 86. Určete Taylorův polynom stupně n = 0,1,2, 3,4 se středem v bodě xq = 0 pro funkci f(x) = ln(l +ir) Řešeni. Pro funkci f(x) = ln(l + a?) máme 1 -i r(i) = (-i)(-2)(i+i)-3 /"(rr) = (-l)(l + rr) -2 /<4>(s) = 2(-3)(l + :r) -4 (l + ir)2' —6 (l+i)3' Hodnoty funkce a derivací v bodě iro = 0 tedy jsou /(0)=0, /'(0) = 1, /"(0) = -l, /'"(O) = 2, /(4)(0) Příslušné Taylorovy polynomy Tn(x) stupňů n = 0,1,2, 3,4 jsou tedy (l + ir)4' -6. T0(ir) = /(O) = o, Ti(i) = T0 (a:) - \-f'(0)x T2(a:) = T1(x)- u /"(O) h 2 J T3(a:) = T2(x)- u /"'(O) h 3! T4(rr) = T3(x)- , /(4)(0) 4! q 1 2 ^ s / y> - / >> _ _ />> I _ '7 ' tXj tXj tXj | tXj * 4 1 2 , 1 3 1 4 />< - / >> _ _ />> _l_ _ nrt _ _ / y> tX/ eX./ eX/ eX/ eX/ 1 Aproximace funkce e"1 pomocí těchto polynomů: (a) Graf funkce ln(x + 1) na intervalu (—1,4]. (c) Graf funkcí cos(x), Tq{x) = 0 a T\{x) = x na intervalu (—1, 4]. (a) Graf funkcí cos(x), Tq(x) = 0 a T\(x) = x a T2(x) = i - y na intervalu ( — 1,4] (b) Graf funkcí cos(x), T0(x) = 0 a Ti(x) = x, T2(x) = x - ^- a T3(x) = x - \ + ^- na intervalu ( — 1,4]. 2 ^vi3 ^4 (c) Graf funkcí cos(x), T0(x) = 0 a Ti(x) = x, T2(x) = x- T3(x) = x- \ + \ a T3(x) = ^-% + ir-%-na intervalu ( — 1,4]. obrázek 1. Ilustrace aproximace funkce ln(rr + 1) pomocí Taylorových polynomů. □ 69 Vidíme tedy, že funkce f(x) je aproximována Taylorovým polynomem. Můžeme se ovšem ptát, jak vypadá přesné vyjádření funkce f(x) pomocí Taylorova polynomu. Potom nutně musíme zahrnout do výpočtu výraz pro chybu aproximace - a dostaneme tzv. Taylorův rozvoj se zbytkem. Věta 23 (Taylorův rozvoj se zbytkem). Necht! f{x) má spojité derivace f'(x), f"(x), . . ., f^n\x) na uzavřeném intervalu [a, b] a necht! existuje vlastní derivace f^l+1\x) na otevřeném intervalu (a, b). Potom pro každý bod x G (a, b) existuje bod c G (a, x) tak, že platí rovnost -. f(n+i)( \ f(x) = Tn(x) + Rn(x) , kde Rn(x) = J \ (x - a)n+\ (36) -1 [n + ly. kde Tn(x) je Taylorův polynom stupně n funkce f(x) se středem v bodě a. Důkaz. Toto důležité tvrzení je důsledkem Rolleovy věty o střední hodnotě (Věta 13). Podrobnosti jsou ve skriptech [ , str. 330-331]. □ Výraz Rn(x) ve vzorci (36) se nazývá Taylorův zbytek (se středem v bodě xq) a vyjadřuje chybu aproximace Taylorovým polynomem Tn(x). O odhadu velikosti Rn(x) (a tudíž velikosti chyby aproximace Taylorovým polynomem) je celá matematická teorie. Příklad 87. Pro funkci f(x) = ex a Taylorův polynom Tn(x) se středem v bodě 0 (viz Příklad 85) je zřejmě pro libovolné x G IR ec Rn(x) =--— xn+1, kde c leží mezi 0 a x. y ' (n + 1)! Všimněte si, že pro x > 0 je vždy ec < ex (neboť c G (0,x) a exponenciální funkce je rostoucí), a tedy platí odhad Rn(x) <-^—xn+1, x>0, (n + 1)! zatímco pro x < 0 je vždy ec < 1 (neboť v tomto případě je c G (x, 0)), a tedy platí odhad 1 RJx) <--- \x\n+1, x<0. y ' ~ (n + 1)! 1 1 ' V obou dvou případech (jak pro x > 0 tak pro x < 0) ale vidíme, že pro pevně zvolené x se bude s rostoucím n výraz Rn(x) blížit k nule, protože lze ukázat, že pro libovolné x G IR je xn+l lim--— = 0. íwoo [n + 1)! □ Poznámka 18. S rostoucím n se stupeň Taylorova polynomu zvyšuje, až se pro n —> oo dostáváme v polynomu Tn(x) k součtu nekonečně mnoha členů - tzv. nekonečné řadě. Více o tomto tématu probereme v Odstavci 4.5. □ 71) Příklad 88. Odhadněte chybu v bodě x = ^ Taylorova polynomu stupně n = 6 funkce f(x) = cosx se středem v bodě x0 = 0. Řešení. Z Příkladu 84 víme, že příslušný Taylorův polynom je TJx) = \--x2 + — x4-— x6. 6V ; 2 24 720 ' přičemž /^( x = — cosx. Pro zbytek R§(x) pak podle vzorce (36) platí, že D / \ /(7)(C) 7 SÍI1C 7 /2e(a:) = x' = —x kde číslo c leží mezi 0 a ar. A protože pro libovolné c G M platí | sinc| < 1, potom pro x = j máme 7! U 4 7 < 4 í - I ~ 0.0000366 □ Konec 5. přednášky (19.3.2015) 71 3. Integrální počet Integrální počet se zabývá studiem funkcí a jejich aplikací, pokud známe hodnotu derivace. 3.1. Primitivní funkce. Základní otázkou tohoto odstavce je následující: Známe-li funkci f(x), jak lze najít (pokud vůbec existuje) funkci F(x) tak, že F'{x) = f(x)l Příklad 89. Pro jakou funkci F{x) platí, že F'{x) = f(x kde (a) f{x) = x2, (b) f{x) = cosx. Řešeni. (a) F{x) = -, y + 1, y-Tr, neboť F'(x) = — + 0 = x2 = f(x) či nejobecněji x3 F{x) =--hC, kde C je libovolná konstanta. 3 (b) F{x) = sinx, sinrc+l, sinx —7r, neboť F'(x) = cosx + 0 = cosx = f(x) či nejobecněji F{x) = sinx + C, kde C je libovolná konstanta. □ Definice 16 (Primitivní funkce). Nechť f(x) a F{x) jsou funkce definované na intervalu J. Funkce F{x) je primitivní k funkci f(x) na intervalu J, pokud F'{x) = f(x) pro všechna x E L (37) □ Příklad 90. Z pravidel pro derivování elementárních funkcí (viz Odstavec 2.9) snadno dostáváme následující „tvrzení". (a) Funkce je primitivní k funkci xn na IR. (b) Funkce lnrr je primitivní k funkci ^ na (0,oo). Funkce ln(—x) je primitivní k funkci ^ na (—oo, 0). Dohromady zapsáno: Funkce ln |rr| je primitivní k funkci ^ na (—oo, 0) a na (0, oo). (c) Funkce arctgx je primitivní k funkci na IR- (d) Funkce arcsinrr je primitivní k funkci na (—1,1). (e) Funkce C (konstantní funkce) je primitivní k funkci 0 na IR. □ 72 Kdy k dané funkci f (x) existuje primitivní funkce F(x)l Ne vždy! Věta 24 (O existenci primitivní funkce). Je-li funkce f(x) spojitá na intervalu I, potom k ní existuje na tomto intervalu funkce primitivní. Důkaz. Uvedeme později, viz Poznámka 28(ii) v Odstavci 3.4. □ Poznámka 19. (i) Věta 24 udává postačující podmínku pro existenci primitivní funkce. Spojitost není nutnou podmínkou pro existenci primitivní funkce. Např. funkce 2x sin i — cos ^, prox^O, '" 1 0, pro x = 0, není spojitá v bodě x = 0, protože 1 1 lim fix) = lim I 2xsin--cos— I neexistuje. x^O V ' x^O V . XJ ^JĽ, ' —> 0 neexistuje Na druhé straně, funkce f(x) .= j x2sin^, pro x ^0, ^ v ' ' 0, pro x = 0, je primitivní k f(x) na celém R, neboť pro rr 7^ 0 je , 1 2 1 / 1 \ 1 1 ,, , .F (x) = 2x sin —\- x cos — • I--- = 2x sin--cos — = fix) a pro x = 0 je p(r^\_F(Q\ x2 sin — 1 F'(0) = lim —-^ = lim-= lim x sin - = 0 = /(0). z->o x — 0 2:^0 x Z->0 x (ii) Je-li F(x) primitivní k funkci f(x) na intervalu J, potom je F(x) + C také primitivní k f (x) na intervalu J pro libovolnou konstantu C G IR. (iii) Jsou-li F(x) a G(x) primitivní k funkci f(x) na J, potom existuje konstanta C G IR tak, že F(x) = G(x) + C pro všechna x E I (tedy funkce F(x) a G(x) se liší o konstantu na celém intervalu I). (iv) Důsledkem částí (ii) a (iii) je, že je-li F(x) primitivní k f (x) na intervalu J, potom {F(x) + C, CeR} je množina všech primitivních funkcí k f (x) na intervalu I. Tuto množinu budeme nazývat neurčitý integrál. □ 73 Příklad 91. Protože mají funkce F(x) = arctg x a G(x) = — arccotgx stejnou derivaci f(x) = (viz Tvrzení 4), musí se tyto funkce lišit o konstantu, tj. arctg x = — arccotg x + C \/x G IR. Konstantu C můžeme určit např. z hodnot těchto funkcí v bodě x = 0, 7t 7t arctg 0 = 0, arccotg 0 = —, =>• C = —, 6 6 2 2 neboli platí 7t arctg x + arccotg x = —, Mx G IR. □ Definice 17 (Neurčitý integrál). Množina všech primitivních funkcí k funkci f(x) na intervalu I se nazývá neurčitý integrál z funkce f(x) na intervalu I. Tuto množinu budeme značit (zkráceně) jako J f (x) dx := {F(x) + C, C G R} = F (x) + C, tedy symbol množiny { } budeme (kvůli stručnosti) vynechávat. □ Příklad 92. Z pravidel pro derivování elementárních funkcí (Odstavec 2.9, viz také Příklad 90) snadno dostáváme následující. xn+l xn dx =--hC, n ý — 1) n + 1 sin x dx = — cos x + C, cos x dx = sin x + C, e'1 dx = e'1 + C, dx =---h C, lna 1 -dx = ln|x|+C, (39) x 1 dx = arctg x + C, 1 + x2 1 dx = arcsin x + C, dx = ln /(x) + C. Ve vzorci (39) si všimněte, že na pravé straně je v logaritmu absolutní hodnota, neboť pro x > 0 je (lnx)' = - a pro x < 0 je [ln(-x)]' = — • (-1) = -. □ 74 3.2. Základní integrační metody. Věta 25 (Pravidla pro neurčitý integrál). (i) Pravidlo konstantního násobku: c ■ f(x) dx = c J f(x) dx. Neboli, je-li F{x) primitivní k f{x), potom je c ■ F(x) primitivní k c ■ f(x). (ii) Pravidlo součtu a rozdílu: [f(x) ± g(x)\ dx = / f(x)dx± / g(x)dx. Neboli, je-li F{x) primitivní k f (x) a je-li G (x) primitivní k g (x), potom je F (x) ± G (x) primitivní k f (x) ± g (x). Důkaz. Obě pravidla jsou jednoduchým důsledkem příslušného pravidla pro derivace (viz Věta 10): [c-F(x)Y = c-F'(x) =c-f(x) [F(x) ± G(x)]' = F'{x) ± G'{x) = f(x) ± g(x). □ Příklad 93. (a) (b) (c) (d) x^ (x3 - 3x2 + 5) dx = — - x3 + 5x + C, x 3 2 7 —= + 2xb ) dx = / 12 + x 3 + 2xb) dx = ^- + + 2--h C, / J I I 7 2\ 2X 2X - - )dx =--2 ln Id + C, x ln2 11 2 5 dx = 2 arcsin x + 5 arctg x + C, = —2 arccosrr — 5 arccotgx + C. □ Další integrační pravidlo umožňuje integrovat součiny funkcí, přičemž integrál z daného součinu se vhodně převede na integrál z „jednoduššího" součinu (viz příklady dále). Věta 26 (Metoda per-partes pro neurčitý integrál). Nechť funkce u(x) a v(x) mají derivaci na intervalu J. Potom platí u'{x) ■ v{x) dx = u{x) ■ v{x) — j u(x) ■ v'{x) dx. 75 Důkaz. Tato metoda je jednoduchým důsledkem pravidla pro derivaci součinu (viz Věta 10(iii)) a pravidla pro integrál součtu (viz Věta 25 (ii)): [u v]' = u' v + u v', =>- j [uv]' = j (u' v + uv') =>• uv + C=lu'v+luv'. □ Příslušné výpočty pro metodu per partes budeme stejně jako u typu limity psát ve výpočtu mezi dvě svislé čáry, viz následující příklad. Příklad 94. (a) x cosxdx v! = cosx V = X U = Slili v' = 1 x sin x — sin x dx x sin x — (— cos x) + C = x sin x + cos x + C (b) x lnrrdrr u v - x \nx x' — In x 2 U = -7T I _ í X V x2 ľ x2 1 — In x — I — • — dx 2 ./ 2 x — dx 2 — In x-- 2 4 C (c) ln x dx = / 1 • ln x dx u' = 1 v = \nx u = x i _ i x V i lna; x ■ — dx = x ln x x 1 dx x Inx — x + C (d) ď sinrrdrr u' = ex v = sin x u = e v' = cosx označme jako / ex sin x — ex cos x dx u' = ex u = e v = cos x v sinrr e sm x — < e cos x e"1 sin x — e"1 cos x — ex sin x dx Tedy pro neznámý integrál I dostáváme rovnici I = ď (sin x — cos x) — I =^ 21 = ex (sin x — cos x) I = - ex (sinx — cosx) 2 v ; 76 a proto je ex sinídi - ex (sin x — cos x) + C Ve všech příkladech ověřte, že zpětným derivováním výsledku dostanete příslušnou funkci v integrálu. □ Poznámka 20. (i) Metoda per-partes vede k cíli zejména pro integrály typu xn arctg(air) dx, J xn arccotg(air) dx, J xa lnn x dx. (ii) Metoda per-partes vede někdy na rovnici pro neznámý integrál (viz Příklad 94(d)), např. eax cos(&ir)dir, / eax sin(&ir) dx. (iii) Metoda per-partes vede někdy na rekurentní formuli pro neznámý integrál (viz následující Příklad 95). □ Příklad 95. Určete Řešeni. Zřejmě je Kn(x) :-- (x2 + 1)' dx. K0 (x) = J 1 dx K^x) = x + C x2 + 1 di arctg x + C Neznámý integrál Kn (pro n > 2) vypočítáme metodou per-partes: v! = 1 u = x v = (x2 + l)-'n v1 = -n(x2 + l)-"-1 ■ 2x x ■ (-n) (x2 + lY'^1 ■ 2xdx (l2- x (ir2 + 1) X (x2 + l)n X (ir2 + l)n X (x2 + X (x2 + íy 2n 2n 2n x (x2 + l)n+1 x2 + 1 - 1 (X2 + 1)"+! 1 di di (x2 + l)n (x2 + l)n+1 2n [^„(rr) - Kn+1(x)} x (x2 + l)ř di + 2n Kn (x) - 2n Kn+1 (x). 77 Tedy platí vztah 2nKn+1(x) x (x2 + íy + (2n-l)Kn(x) Kn+i{x) x 2n (x2 + l)r 2n - 1 2n Kn(x) Např. volbou n = 1 vypočítáme integrál K2{x): (x2 + iy dx = K2{x) x 2 x2 + 1 2 K^x) x 2 x2 + 1 2 arctg x + C □ Další dvě integrační metody (Věta 27 a Věta 28) jsou založeny na pravidle pro derivování složené funkce (Věta 11). Věta 27 (Substituce pro neurčitý integrál). Nechi je funkce f(t) definovaná na intervalu I a nechť íp(x) je definovaná na intervalu J a • dt = íp'(x) dx 78 (ii) Substituce uvedená ve Větě 27 je tedy tvaru „nová proměnná" t = funkce „staré proměnné" x. Integrál po substituci již nesmí obsahovat „starou proměnnou" x a musí již být zapsán pouze pomocí „nové proměnné" t. (iii) Pokud bychom jako „novou proměnnou" zvolili jiné písmenko, např. s = 2): A B C (x — rco)n' (x — xo)n 1 A i ■ ■ ■ i (x - x0)k dx = A I (x — xq) k dx = A X — Xq (x — x0)~k+1 pro k = 2,..., n: -k + 1 A (1 — k)(x — x^f-1 80 Pro dvojici jednoduchých komplexně sdružených kořenů a + j3i: Bx + C Bx + C dx (x-a)2 + P27 J (x-a)2 + (52 Výraz ve jmenovateli upravíme vytýkáním na tvar t2 + 1, kde t = ^-^L- Výsledný integrál je po této substituci tvaru Dt + E t2 + 1 dt = D t t2 + l dt + E t2 + 1 dt D ln(ť E arctgí Pro dvojici vícenásobných komplexně sdružených kořenů a + /3i (n > 2): Bx + C Dx + E Fx + G pro k = 2,..., n: [(x - a)2 + j32]k Výraz ve jmenovateli upravíme vytýkáním na tvar (t2 + l)k, kde t = S-^L. Výsledný integrál je po této substituci tvaru [(x - a)2 + f32]n7 \(x - a)2 + P2]"-1' '"' (x - a)2 + (52 Bx + C dx Ht + J dt = H t dt + J ■ dt, (ť + ľ)k J (t2 + l)k J (t2 + l)k ' přičemž první z uvedených integrálů vypočteme substitucí s = t2 + 1 (potom ds = 2tdť) a druhý z uvedených integrálů je integrál Kn(x) z Příkladu 95 (přesněji v tomto případě K k (t)), který vede na rekurentní formuli. Příklad 99. Vypočtěte x 6x2 + 5 (x + l)2 (x2 + 4) dx. Řešeni. Rozkladem na parciální zlomky zjistíme x3 + 6x2 + 5 A B Cx + D (x + l)2 (x2 + 4) (x + 1)2 x + 1 x2 + A Odsud plyne, že A = 2, B = — 1, C = 2, D = 1 a tedy je x3 + 6x2 + 5 (x + l)2 (x2 + 4) dx 2x+l (x + 1)2 x + 1 x2 + A dx x+ 1 ln \x + 1\ 2x x2 + A dx x2 + A dx —2 1 x --ln \x + 11 + \n(x2 + 4) + - arctg - + C x+1 l^l^ ^ ^2 &2 přičemž předposlední integrál jsme spočítali pomocí substituce t = x2 + 4 (tj. dt = 2xdx) a poslední integrál pomocí substituce t = | (tj. dt = \ dx). □ Mnoho dalších typů integrálů vede přes vhodné substituce na integrály z racionálních lomených funkcí, některé ukázky jsou ve skriptech [ , Odstavec 6.2]. 81 Poznámka 23. Někdy ani nelze daný integrál vůbec spočítat (tj. vyjádřit pomocí elementárních funkcí), např. smi di, i cos x di, x x lni ■ di, sin(i ) di, / cos(i ) di di, i ď di. Z věty o existenci primitivní funkce (Věta 24) ale víme, že k uvedeným funkcím existuje primitivní funkce, protože tyto funkce jsou spojité. Tyto primitivní funkce se pak nazývají vyšší funkce (jsou nevyjádřitelné pomocí elementárních funkcí). Pozn.: Pozor ale na /In x 1 -di = - ln21 + C, (není to vyšší funkce)! i 2 □ 3.4. Riemannův integrál. V tomto odstavci budou uvažované funkce vždy ohraničené. Základní otázka tohoto odstavce zní: Jaká je plocha mezi f(x) a osou i (na intervalu [a, &])? Příklad 100. (a) f(x) = 2 pro i G [-1,1] (viz obr.), | P = 4 (b) f (x) = k pro i G [a, b] (viz obr.), P = k (c) f (x) = x pro i G [0,4] (viz obr.), P = \ 42 (d) f (x) = x pro i G [2,4] (viz obr.), P = \ 42 - \ 22 (e) /(i) = i pro i G [a, 6] (viz obr.) 2= 6 1 62 - ± ~2 2 " 2 (f) f (x) = \j 1 - i2 pro i G [-1,1] (viz obr.), P = \ -k ý (g) /(i) = —2i + 1 pro i G [1,2] (viz obr.), P 1 3 q _ 1 1 2 ' 2 ' ° 2 ' 2 1 = 2. Ale protože je plocha pod osou i, klademe P (h) f(x) = i3 pro i G [—1,1] (viz obr.), plocha je stejná nad i pod osou i, a proto klademe P = Ol □ Tato „orientovaná plocha" se nazývá určitý integrál (též Riemannův integrál) z funkce /(i) přes interval [a, b] a značíme ji P /(i) di orientovaná plocha mezi grafem funkce /(i) a osou i Příklad 101. Tedy výpočty uvedené v Příkladu 100 můžeme alternativně zapsat následovně: 82 (a) f_\ 2 dx = 4 (b) kdx = k(b — a) , (c) JQ4 x dx = 8 , (d) J24 x dx = 6 , (e) f6 x dx = \ b2 — \ a2 , (f) I /_\ dx = f I, (g) /_11(-2x + l)drr = -2 (h) dx = o. □ Skutečnou plochu mezi f(x) a osou x odhadneme pomocí „vepsaných" a „opsaných" obdélníků (viz obr.), čímž dostaneme dolní odhad s(D,f) pro skutečnou plochu a horní odhad S(D,f) pro skutečnou plochu. Definice 18 (Dělení intervalu). Nechť a, b G IR, a < b. Dělením intervalu [a, b] je konečná množina bodů D C [a, b] s vlastností a, b E D. Tedy D = {x0, Xi,..., xn}, kde x0 = a, xn = b. Body xq,x\, ... ,xn se nazývají dělící body a interval [xk-i,Xk] se nazývá dělící (pod)interval. Délka největšího dělícího podintervalu je pak norma dělení D, tj. je to číslo n{D) := max {xk — xk-i}. fc=l,...,n Množinu všech dělení intervalu [a, b] označujeme jako D[a, b] či jenom jako D. Pro ohraničenou funkci f(x) na [a, b] a dělení D intervalu [a, b] zaveďme označení mk := inf {f(x), x G [xk-i,xk}}, (viz obr.) Mk := sup{f(x), x G [xk-^Xk]}, (viz obr.) (40) □ s(D, f) := ^2 mk ixk ~ Xk-i) k=l n S (D, f) :=^Mfc(^-^-i) dolní součet funkce f(x) při dělení D, horní součet funkce f[x) při dělení D. k=l 83 Tvrzení 5. Nechť c < f (x) < d pro každé x G [a,b]. Potom pro každá dvě děleni D1} D2 G D[a, 6] platí c(b-a)< s(Dh f) < S(D2, f)• / X = sup{s(D,x)} = sup{0} = 0, / x = inf{S(D,x)} = inf{6-a} = b-a J—a Ja rb -Jb |-, / X < / X a tedy x & 7£[a, 6] (x není integrovatelná). J_„ J a □ Jak ale obecně určíme, zda je daná funkce integrovatelná (a pak jakou hodnotu má její určitý integrál) či nikoliv? Nulová posloupnost dělení Dk G D je taková posloupnost dělení, která splňuje n(Dk) —> 0 k —> oo, neboli norma dělení (viz vzorec (40)) jde k nule. pro Věta 29. Nechi je funkce f{x) ohraničená na intervalu [a, b]. Potom pro libovolnou nulovou posloupnost děleni Dk G D platí, že s(Dk,f)^ í f, S(Dk,f)^ í f, prok^oG. J—a Ja Je-li navíc f{x) integrovatelná na [a, b], potom dolní součty s(Dk, f) i horní součty S(Dk, f) konvergují (ve smyslu existence vlastní limity) k číslu ja f. Z Věty 29 vyplývá, že pokud víme, že je f(x) integrovatelná na [a, b], potom lze Jb f určit limitním přechodem pomocí libovolné nulové posloupnosti dělení intervalu [a,b]. 85 Příklad 103. Víme-li, že je funkce f(x) = x2 integrovatelná na intervalu [0,1] (viz např. Věta 30 uvedená níže), potom určete J1 x2 dx. Řešeni. Připomeňme si vzorec l2 + 22 + 32 n 5>2 k=l n (n + 1) (2ra + 1) 6 (42) Rozdělíme interval [0,1] na n stejných dělících intervalů délky K Potom jsou dělící body xk = ^ pro k = 0,1,... ,n (viz obr.) a norma takového dělení je právě číslo K Tedy jedná se o nulovou posloupnost dělení. Navíc, protože je funkce x2 rostoucí, je její infimum na k-tém dělícím intervalu dosaženo v levém krajním bodě. Tedy platí, že pro libovolné k = 1, 2,..., n je nik = xt-i a proto n n (A;-l)2 1 1 n k=l n—l n* n uJ k=l k=l 2 (42)sn-i 1 (n—l)n(2n—l) 2 1 n° —' n3 6 6 3 k=l A proto je x dx □ Zásadní otázku, které funkce jsou vlastně (riemannovsky) integrovatelné, zodpovídá následující tvrzení. Věta 30. (i) Každá spojitá funkce na intervalu [a, b] je zde také integrovatelná, neboli C[a,b] C K[a,b] (ii) Každá monotónni funkce na intervalu [a,b] je zde také integrovatelná. Poznámka 24. Riemannův integrál (tj. vlastně orientovaná plocha) se zřejmě nezmění, pokud je integrovatelná funkce f(x) nespojitá či není definována v konečně mnoha bodech (či obecněji na množině „míry nula"), viz obr. Tímto dostáváme určitý integrál přes otevřený nebo polo uzavřený interval. Zejména pro (ohraničené) intervaly všech typů (a, 6), (a, 6] i [a, 6) je příslušný určitý integrál přes tento interval roven již dříve definovanému číslu f, tj. Riemannově integrálu přes uzavřený interval [a,b]. □ 86 Příklad 104. Pro nespojitou funkci sgnrr (viz Příklad 18(a)) platí (viz obr.) ŕ / sgn x dx = 3 + (—2) = |"T~|. Obdobně lze ukázat (rozvažte si to), že pro a < 0 < b je sgn x dx = a + b. □ 3.5. Vlastnosti Riemannova integrálu. V tomto odstavci odvodíme základní vlastnosti Rieman-nova integrálu. Stále mějte na paměti, že se vlastně jedná o „orientovanou plochu" mezi grafem funkce a osou x. Věta 31. Je-li funkce f(x) integrovatelná a ohraničená na intervalu [a,b], tj. c < f (x) < d pro všechna x G [a, b], potom c(b-a)< í f c na intervalu [a, b] pro nějaké O O, potom je ^ G 7Z[a, b]. (vii) Pravidlo návaznosti: je-li a < c < b, potom je f G TZ[a, c], f e TZ[c, b] a platí (viz obr.) b pc pb f= f+ f- Poznámka 25. Všimněte si, že pravidla (i) a (ii) vlastně říkají, že operace „určitý integrál" je lineárni. Tj. zobrazení I:TZ[a,b]^R, /(/):= ľ f J a je lineárni zobrazení mezi vektorovými prostory TZ[a, b] a. M (viz MB101). □ Poznámka 26. (i) V pravidle součinu (Věta 32(v)) pro určitý integrál je zřejmě (obecně) '/•'// í /'/Ví r-/V (ii) V pravidle podílu (Věta 32(vi)) nestačí, aby g (x) > 0 na intervalu [a, b], tj. je nutné, aby byla funkce ve jmenovateli „odražena od 0". Např. pro funkce f(x):=l na [0,1], g(x) := { W° * ^ platí, že f e TZ[0,1], g e TZ[0,1], protože f = 1 a Jq g = \- Dále je g(ir) > 0 na celém intervalu [0,1], ale funkce / / n = f 1, pro i = 0, 0W~U, pro i G (0,1], není integrovatelná na intervalu [0,1], protože ŕ f ŕ 1 / — = / — di = oo, (viz Odstavec 3.10). Funkci g(ir) nelze „odrazit od 0", protože se k nule blíží (a tedy je funkce neohraničená). 88 (iii) Pravidlo návaznosti (Věta 32(vii)) lze jednoduše rozšířit na libovolné hodnoty a,b,c G IR (dokonce mohou být některá tato čísla stejná), pokud definujeme a f := 0, (tj. „plocha" pod jediným bodem je nulová), a pb f ■= — f- (tj. záměna integračních mezí mění znaménko určitého integrálu). J a Potom podle pravidla návaznosti zřejmě platí □ Příklad 105. (a) Podle pravidla součtu a podle Příkladů 103 a 101 (e) je [x2 + x) dx 1 2 ŕ i x dx + x dx = -o Jo 3 (b) Podle pravidla konstantního násobku a podle Příkladu 103 je -i 2x2 dx = 2 í x2 dx = 2 • -o Jo 3 (c) Podle pravidla rozdílu a podle Příkladu 103 je (viz obr.) (1 — x2) dx 1 dx x2 dx = 1-- o 3 □ 3.6. Věty o střední hodnotě. Stejně tak jako má diferenciální počet své věty o střední hodnotě (viz Odstavec 2.10), jsou podobné věty důležité i v integrálním počtu. Začněme následujícím motivačním příkladem. Pokud máme konečně mnoho čísel a±,..., an, potom jejich průměrná hodnota je n n k=l ak. Tedy průměrná hodnota čísel /(ci),..., f{cn) je pak k=l 89 Položme si otázku, co by se stalo, kdybychom nahradili konečně mnoho čísel /'(ci),..., /(cn) nekonečně mnoha funkčními hodnotami f(x), tj. analyzujme limitu lim - V f(ck) = lim--V /( n^oo n z—' n->oo 0 — cl z—' k=l k=l ck) ■ b — a n délka dělících subintervalů lim n—>cx 1 oo b — a b (Riemannův součet, ale místo či je zde /(c^)) b — a Definice 21 (Průměr funkce). Nechť / G TZ[a,b]. Potom číslo av(f) = av[aM(f) :-- b — a f nazýváme průměrnou hodnotou (též střední hodnotou) funkce f(x) na intervalu [a, b]. Označení je z angličtiny „average value". □ Příklad 106. (a) Pro funkci f(x) = c na intervalu [a, b] platí av(f) cdx c(b — a) = [~č], b — a Ja b — a tj. průměrná hodnota konstantní funkce je samozřejmě tatáž konstanta. (b) Pro funkci f(x) =ina intervalu [a, b] platí (viz Příklad 101(e)) p6 i av(f) b — a x dx b2-a2 b — a b + a (c) Pro funkci f(x) = x2 na intervalu [0,1] platí av(f) 1-0 x dx □ V dalším textu označme m := inf {f(x), x G [a, 6]}, M := sup {/(re), rr G [a, &]}, tj. platí pak m < f(x) < M na intervalu [a, b]. Nyní uvedeme důležitou větu o střední hodnotě integrálního počtu. I když tato věta plyne až z následující věty, uvádíme ji jako první, protože bude pro nás velmi důležitá. 90 Věta 33 (O střední hodnotě integrálního počtu). (i) Nechť f G TZ[a, b]. Potom existuje číslo c G IR, m < c < M, takové, že r>ř) f = c(b-a), tj. c = av(f), tj. plocha mezi grafem funkce f (x) a osou x je rovna obsahu obdélníka se základnou [a, b] a výškou c (viz obr.). (ii) Je-li navíc funkce f (x) spojitá na [a, b], potom existuje bod x0 G [a, b] s vlastností, že 1 ľh f(x0) = c = av(f) = -- / /, b-a Ja tj. spojitá funkce f (x) nabývá svou průměrnou hodnotu v intervalu [a, b]. Důkaz. Plyne z následující Věty 34 volbou g (x) = 1 na [a,b]. □ Příklad 107. Funkce f (x) = 4 — x2 má na intervalu [0, 3] průměrnou hodnotu av(f) = -f (A-x2)dx= -í í Adx- í x2 dx] = - ■ (12 - 9) = 1, 3 J o 3 \ J q J q J 3 (Integrál JQ3 x2 dx = 9 lze spočítat podobně jako Příklad 103.) Podle Věty 33(i) tedy pro číslo c = av(f) = 1 platí, že 3 (4 - x2) dx = c (b - a) = 1 • 3 = 3. Dále, protože je funkce 4 — x2 spojitá na intervalu [0, 3], existuje podle Věty 33(ii) bod x0 G [0, 3] s vlastností, že f(x0) = 4 — Xq = 1. Zřejmě se jedná o bod x0 = y/Š, viz obr. □ Poznámka 27. To, že spojitá funkce nabývá svou průměrnou hodnotu, je vlastnost, která obecně neplatí pro konečně mnoho hodnot. Je to velmi důležitá vlastnost! □ Příklad 108. Pokud je funkce f{x) nespojitá na intervalu [a,b], potom svou průměrnou hodnotu nabývat nemusí. Např. pro funkci f(x) na intervalu [—1,1] definovanou jako ( , í -1, pro x G [—1,0), n)' \ 1, pro x G [0,1], je (viz obr.) 1 f1 1 aVÍf) = 2 J J= 2'0 = 0' ale funkce f(x) nenabývá hodnotu 0 nikde v intervalu [—1,1]. □ 91 Věta 34. Nechi f, g E TZ[a,b] a g(x) > O na [a,b]. (i) Existuje číslo c G M, m < c < M, takové, že ŕ f -g = c g. (ii) Je-li navíc funkce f (x) spojitá na [a,b], potom existuje bod x0 G [a,b] s vlastností, že f(x0) = c, tj- f ■ g = f(xo) / g- J a Důkaz, (i) Protože je m < f (x) < M a současně g(x) > 0 na intervalu [a,b], platí nerovnosti m ■ g(x) < f (x) ■ g(x) < M ■ g(x) pro x G [a, b]. Je-li g = 0, potom z pravidla monotonie určitého integrálu (Věta 32(iii)) je pb pb pb pb 0 = m g< f-g 0 (neboť g(x) > 0 na [a, o]), potom platí nerovnosti fb fb fb fb f-g m g < f ■ g < M g, ^ m < < M, Ja Ja Ja Ja g a tudíž číslo fb f-g c:= JaJb y la 9 splňuje tvrzení této věty. (ii) Je-li f (x) spojitá na [a,b], potom podle Weierstrassovy věty (Věta 6) nabývá f (x) svého maxima (=M) a minima (=m) v intervalu [a, b]. Dále, podle Bolzanovy věty (Věta 7) nabývá f(x) všech hodnot mezi m a M, a tedy nabývá i hodnotu c, tj. /(xq) = c pro nějaký bod xq G [a, b]. □ 3.7. Integrál jako funkce horní meze. Je-li funkce f(x) integrovatelná na [a,b], potom je podle Věty 32(vii) také integrovatelná na intervalu [a,x] pro každé x G [a, b]. Tedy předpis F(x) := / f{t)dt definuje funkci F(x), která je řádně definovaná pro všechna x G [a, b]. Zřejmě je F{a) pa po / / = 0 a F{b) = / /. J a J a V tomto odstavci budeme studovat vlastnosti této funkce F(x). Zřejmě je hodnota F(x) obsah (orientované) plochy mezi grafem funkce f(t) na intervalu [a,x] (viz obr.). 92 Príklad 109. Pro (nespojitou) funkci f(x) : = je (viz obr.) F (x) : = 5, pro x G [0,1), 10, pro x G [1,2], 5x, pro x G [0,1], lOx — 5, pro x G [1,2], □ V následujích dvou tvrzeních uvidíme, že funkce F (x) „vylepšuje" vlastnosti funkce /. Viz např. předchozí Příklad 109, kdy z nespojité funkce f(x) dostaneme spojitou funkci F{x). Věta 35. Nechi f G TZ[a, b] (tedy funkce f{x) může být i nespojitá). Potom je funkce F(x) := ľ f J a spojitá na intervalu [a,b]. Důkaz. Důkaz provedeme pro ohraničenou funkci f(x), tj. < c na intervalu [a, b] pro nějaké c > 0. Obecný případ (bez předpokladu ohraničenosti funkce f(x)) lze najít v literatuře o integrálním počtu. Nechť xq G [a,b] je libovolný bod. Chceme ukázat, že lim^^ F{x) = F(xq), neboli že F{x) — F{Xq) —> 0 pro x —> Xq. Platí, že (viz obr.) \F(x)-F(x0)\ x0 f- f f x0 < l/l XQ < XQ c \x — Xq\ —> 0. >0 Tedy je funkce F{x) spojitá v bodě x$. A protože byl tento bod vybrán v intervalu [a, b] libovolně, je F{x) spojitá na [a, b]. □ Další otázkou je, jak rychle se mění funkce F{x)l Takto jednuduše položená otázka je ale jednou z nej důležitějších v tomto předmětu. Odpověď zní: Tak rychle, jaké jsou hodnoty funkce f{x). Věta 36. Je-li f{x) spojitá na nějakém okolí bodu xq, potom má funkce F{x) := f* f derivaci v bodě Xq a platí F'(Xq) = Í{Xq). Důkaz. Podle Poznámky 4(v) je = lira F(* + h)-FM = lim ST* l-STí = lim I r+"; h^0 h h^0 h h^o h JXo průměrná hodnota lim I funkce f(t) na ~^ intervalu [xq , xq + h] Yimav[x0jX0+h](f) = lim/(to) n—>0 n—>0 93 přičemž poslední rovnost plyne z věty o střední hodnotě integrálního počtu (f(x) je spojitá na intervalu [rco^o + h] pro h dostatečně malé, a tudíž nabývá v tomto intervalu svou střední hodnotu, viz Věta 33(ii)), kde bod to leží mezi body xq a xq + h. Všimněte si, že číslo h ve výše uvedené limitě nemusí být nutně kladné. Ale i pro h < 0 či pro h = 0 jsme příslušné integrály definovali v Poznámce 26(iii). Tedy platí, že %o < to < xq + h pro h > 0, Xq + ti < t0 < Xq pľO h < 0. Odsud ale plyne, že jakmile h —> 0, pak to —> xo- A protože je funkce f(x) spojitá v bodě xq, platí f(to)->f(xo), neboli F'(x0) = lim /(t0) = lim /(t0) = f(x0). □ Důsledek 8 (Fundamentální vztah integrálního počtu). [a, b], potom má funkce F{x) := f* f spojitou derivaci F'{x) = Je-li funkce f{x) spojitá na intervalu f{x) na [a,b], tj. platí vztah (43) Poznámka 28. (i) Vztah (43) v sobě soustřeďuje poznatky o • derivaci - protože tento vztah obsahuje derivaci, • neurčitém integrálu - protože je funkce /(t) dt primitivní k funkci f(x), • určitém integrálu - protože tento vztah obsahuje určitý integrál, • spojitosti - protože je tento vztah založen na spojitosti funkce f{x). (ii) Důsledek 8 je vlastně důkaz věty o existenci primitivní funkce (Věta 24), protože říká nejen to, že primitivní funkce F{x) ke spojité funkci na [a, b] existuje, ale dokonce udává návod, jakým způsobem tuto primitivní funkci zkonstruovat (pomocí určitého integrálu s proměnnou horní mezí). (iii) Místo fx f můžeme vzít také F{x) = Jx f pro libovolné c G [a, b], protože podle pravidla návaznosti (Věta 32(vii)) je /(t) dtj = (/(t) dt + £ /(t) dt^j = o + (£ /(t) dt^j = f{x). konstanta vzhledem k x 94 (iv) Vzorec (43) udává, že operace určitého integrování (= výpočet plochy) a derivování jsou v tomto pořadí inverzní, tj. když začneme se spojitou funkcí f(t) na [a,b], kterou nejprve integrujeme přes interval [a,x] (tím vznikne funkce F(x) udávající orientovanou plochu pod f(t) na intervalu [a,x] a poté funkci F(x) zderivujeme, tak se vždy opět vrátíme k původní funkci f(x). Opačné pořadí operací, tj. diferencovatelnou funkci f(x) napřed zderivujeme, a pak její derivaci f(t) integrujeme (Riemannovým integrálem) na [a,x], pak výsledná funkce nemusí být rovna původní funkci f(x), tj. obecně je f fit) dtrf(x)-f(a). J a Toto je jedna z „vad" Riemannova integrálu, která je odstraněna obecnějšími typy integrálů, např. integrálem Lebesgueovým. Takováto funkce f(t) musí mít ale dostatečně „škaredou" derivaci f(t). Pro „pěkné" funkce f(t), např. pro funkce se spojitou derivací f(t) na [a,b], výše uvedný vztah platí jako rovnost. □ Poznámka 29. Vztah (43) lze jednoduše použít pro rychlý zápis primitivní funkce, např. primitivní funkce k funkci (a) x2 je F{x) r i r i / t2dt, (b) - je F(x) = -Jo x Jit dt. Tyto primitivní funkce lze ovšem vypočítat (viz následující Odstavec 3.8), např. (a) / t2 dt t3 1x x3 0 x3 3"J0~y~3~T' tey ťdt\ = — X" X fx 1 (b) / - dt = [ ln t ] = ln x — ln 1 = ln x, Ji t a ověřit tak přímo platnost vztahu (43). tedy i t dt (lna:)' x Na druhou stranu lze vztah (43) využít i pro konstrukci primitivních funkcí k vyšším funkcím (viz Poznámka 23), např. primitivní funkce k funkci , , Slil X _ . . (a) - je F(x) x siní dt, (b) cos(a;2) je F(x) cos(í2) dt, kde dané integrály vypočítat nelze. (Výše uvedené integrály je možné ale vyjádřit pomocí nekonečné mocninné řady, viz dále Odstavec 4.5.) □ Příklad 110. Bez výpočtu, tedy pouze na základě znalosti vztahu (43), můžeme proto psát např. t2 sin t lne/ —— Jjil^ —- = i =o 2 x dx lnx ^2 1 ex2 1 dx e" 1 2~ ~ 2 x y £1 _ I 2" ~ 2 £1 _ I 2" ~ 2 □ Věta 39 (Substituce pro určitý integrál). Nechť je funkce f(t) spojitá na intervalu [c,d] a nechť má funkce f{x) integrovatelnou derivaci na intervalu [a,b] a íp([a,b]) C [c, d]. Potom platí f(f(x)) ■ (f'(x)dx f(t)dt. ip(a) Neboli v daném integrálu volíme substituci t = 0. Řešeni. Obsah kruhu vypočítáme jako 2-krát obsah půlkruhu nebo jako 4-krát obsah čtvrtkruhu. Podle první možnosti je pak x = r siní dx = (r cos t) dt x = —r =^ t = x = r P = 2 Vr2 - x2 dx t = - L 2 2 / \/r2 — r2 sin21 ■ r cos t dt 7ľ " 2 = r COS t dx , 2 9 o 9 I'2 1 + COs(2í) 9 2 / r2 cos2 tdt = 2r2 / -^ dt = 2r2 2 f\ + \ cos(2í) ) dŕ 2" 2 r' 2 r' í 1 sin(2í) 2 + 2 2 2 r' 7t SUL 7t 7t 7t 4 + 4 7rr □ 3.9. Aplikace určitého integrálu. Vime, že určitý integrál J f byl zkonstruován jako orientovaná plocha mezi grafem funkce f (x) a osou x na intervalu [a, b]. Tato orientovaná plocha je zřejmě rovna skutečné ploše, pokud je f(x) > 0 na [a, b]. • Plocha mezi dvěma grafy. Pokud nás zajímá velikost plochy mezi grafy funkcí f(x) a g(x), viz obr., určíme ji pomocí vepsaných a opsaných obdélníků (stejně jako při konstrukci Riemannova integrálu v Odstavci 3.4), avšak nyní bude obsah každého takového obdélníka tvaru [/(cfc) - g(ck)] (xk - xk-i), Riemannův součet je pak ^[/(cfc) - g(ck)] (xk - xk-i). k=l Tyto úvahy vedou k odvozeni následujícího vzorce. 99 Tvrzení 6 (Plocha mezi grafy). Nechi f,g G TZ[a,b] a f(x) > g{x) na [a,b]. Potom má plocha mezí grafy těchto funkcí na intervalu [a, b] velikost horní funkce — dolní funkce ]dx. V tomto případě je zřejmě vždy P > 0! Příklad 116. Určete plochu mezi grafy funkcí y = 1 — x2 a y = —3. Řešení. Oba grafy se protínají v bodech x = —2 a x = 2, přičemž funkce y = 1 — x2 je horní funkce na intervalu [—2,2] (viz obr.). A proto je hledaná plocha 2 P [(1 - x2) - (-3)] dx = / (A-x2)dx 2 J-2 Ax X 3 / 3 32 Y □ Příklad 117. Určete plochu mezi grafy funkcí y = sin x a y = 2 sin x na intervalu [7r,27r]. Řešení. Oba grafy se protínají v bodech X — 71 db X = 2n, přičemž funkce y = sin x je horní funkce na tomto intervalu (viz obr.). A proto je hledaná plocha c2ty ľ2-k rZTY rZTY P= (sinx — 2 sinx) dx = / (— s'mx)dx= [cosrr] J TY J TY = COS27T — COS7T = 1 — ( — 1) = 2ty □ • Délka křivky. Křivka C v rovině, C : [a, /3] —> IR2, je zadána parametricky jako zobrazení C : Příklad 118. Křivka C : t i—> [cosi, siní] pro t G [0,27r] je kružnice o poloměru r = 1 se středem v počátku (viz obr.). □ Zvolme libovolné dělení D = {a = t0, í1;..., £n_i, tn = (3} intervalu [a, /3]. Na křivce C vyznačíme body odpovídající hodnotám parametru t = tk (viz obr.). Zvolme nyní nějaké dva dělící body tk-i a tk a označme příslušné body na křivce C jako M = [x{tk-i),y{tk-i)] a N = [x(tk),y(tk)]. Podle Pythagorovy věty má potom úsečka MN velikost |MiV| = y/[x(tk) - xitk^)}2 + \y{tk) - yih^)]2. 100 Délka celé křivky je pak aproximována délkou lomené čáry při dělení D, tedy číslem k=l XVK^) _ x(tk-i)T + [y(tk) - y(tk-i)]' n fc=i x(tk) - x(tk-i) 1 2 tu — t k-1 (tk ~ tk-l)2 + - y(tk-i) tu — t k-1 (tk — tk-iY x{tk) - x(tk-l) tk — tk-l 1 2 (tk — tk-l) k=i Riemannův součet s výškou „obdélníka" danou výrazem y(h) - y(tk-i) t k — tk-l x(tk) - x(tk-i) tk — tk-l y(h) - y(tk-i) tk — tk-i Tedy pro n —> oo (zvyšující se počet dělících bodů a normu dělení n(D) —> 0) je x(tk) - x(tk-i) y(tk) - y(tk-i) . -->x(t), —----->y(t), tk-tk-i-tát, tk — tk-i a proto dostáváme následující vzorec. tu — t k-1 Tvrzení 7 (Délka křivky v rovině). Nechť C je křivka v rovině a [x(t),y(t)] pro t G [«,/?] její parametrizace. Mají-li souřadné funkce x(t) a y(t) spojitou derivaci na intervalu potom má křivka C konečnou délku a platí Příklad 119. Určete délku jednotkové půlkružnice (tj. r = 1, viz obr.). Řešení. Půlkružnice má parametrizaci [x(t),y(t)] = [cosi, siní] pro t G [0,7r]. Tyto funkce mají spojitou derivaci [x'(t),y'(t)] = [—siní,cosi] na [0,7r], a proto je délka půlkružnice rovna vV(í)]2 + [y'(t)}2 dt = / v^-sint)2 + (cosi)2 dt = / 1 dt = [t]£ = [¥]. d = (Obvod celé jednotkové kružnice je pak zřejmě 2tt.) □ Příklad 120. Určete obvod kružnice o poloměru r > 0. Řešení. Kružnice má parametrizaci [x(t),y(t)] = [r cosi, r sin t] pro t G [0, 27r]. Tyto funkce mají spojitou derivaci [x'(t), y'(t)] = [—r sin t, r cosi] na [0,27r], a proto je obvod kružnice roven d 2tt yj[x'(t)}2 + [y'(t)]2 dt 2tt \J(—r sin t)2 + (r cos t)2 dt /»2-7T i- /»2-7T / \lr2 (sin21 + cos21) dt = / r dt = [r í ] ^ = 2nr Jo Jo □ 101 Graf funkce f (x) můžeme chápat jako množinu bodů [x, f(x)], tedy je to speciální případ křivky v rovině, která má parametrizaci [£,/(£)] pro t G [a, b] (v tomto případě tuto parametrizaci ale píšeme s proměnnou x). A protože má tato parametrizace derivaci [(t)',f'(t)] = [1,/'(£)], dostáváme z Tvrzení 7 následující vzorec. Důsledek 9 (Délka grafu). Má-li funkce f{x) graf na intervalu [a, b] konečnou délku a platí spojitou derivaci na intervalu [a,b], potom má její Příklad 121. Určete délku grafu paraboly f(x) = ^ x na intervalu [0,1]. Řešeni. Délka grafu bude zřejmě číslo mezi ^Jl2 + (|)2 = ^~1.12al + | je f'{x) = x spojitá funkce na intervalu [0,1], je délka tohoto grafu rovna 1.5 (viz obr.). Protože d(Gr/) V7! + [f'(x)]2 dx = / y/1 + x2 dx. Ověřte si zpětným derivováním, že primitivní funkce k funkci \J\ + x2 je y _ y F(x) = - x Vl +x2 + - ln (x + Vl + x2). A proto je podle Newton-Leibnizova vzorce (45) d(Gr/) y _ y - x Vl + x2 + — ln {x + Vl + x2) (ilV2 + iln(l + y2))-Q0Vl + Íln, ^ + iln(l + ^) 1.15. □ • Objem rotačního tělesa. Rotační těleso vznikne rotací plochy mezi grafem funkce f{x) a osou x kolem osy x na intervalu [a, b] (viz obr.). Zřejmě má tato úloha smysl pouze pro nezápornou funkci f{x) (či obecněji, pro funkci, která nemění znaménko na intervalu [a,b], tj. je buď stále nezáporná nebo nekladná). Zvolíme-li nějaké dělení D = {a = xq, x±, ..., xn-i, xn = b} intervalu [a,b], potom má jeden „objemový dílek" šířku xk — xk-\ a poloměr f(ck) (viz obr.). Tedy objem takového dílu je [f(ck)]2 (xk — xk-i) (obsah „podstavy" krát šířka). Objem celého rotačního tělesa je pak aproximován číslem n [f{ck)\2 (xk — Xk-i) = Riemannův součet s výškou „obdélníka" danou výrazem n [f{ck)\2. k=l 102 Tedy pro n —> oo (zvyšující se počet dělících bodů a normu dělení n{D) —> 0) dostáváme následující vzorec. Tvrzení 8 (Objem rotačního tělesa). Nechť f(x) je spojitá nezáporná funkce na intervalu [a,b]. Objem rotačního tělesa, které vznikne rotací plochy mezi Gr / a osou x na intervalu [a, b] kolem osy x, je V = 7T / f\x)dx Příklad 122. Určete objem jednotkové koule. Řešení. Objem určíme jako dvojnásobek objemu polokoule, přičemž polokoule vznikne rotací funkce f{x) = \J\ — x2 kolem osy x na intervalu [0,1]. Je tedy i V =2tt í (Vl - x2)2 dx = 2tt í (1 - rr2)drr = 2tt Jo Jo X X 2tt 1 4 7t □ Příklad 123. Určete objem koule o poloměru r. Řešení. Objem určíme jako dvojnásobek objemu polokoule, přičemž polokoule vznikne rotací funkce f{x) = \Jr2 — x2 kolem osy x na intervalu [0,r]. Je tedy V = 2tt (VV2 — x2) dx = 2tt / (r2 — x2) dx = 2% r2x-- Jo Jo L 3 J 0 2n{ rs-- 4 3 3 □ Příklad 124. Určete objem rotačního tělesa, které vznikne rotací řetězovky f{x) = coshrr kolem osy x na intervalu [—1,1]. Řešení. Funkce coshrr je zadána pomocí exponenciální funkce jako aritmetický průměr ex a e~x, tj. coshrr := Je tedy , 1 2 f1 fex + e~x\2 7t V = 7t / cosh x dx = 7t / - dx 7t 4 1 g2:r g 2x --h 2rr H-- 2 -2 J (^+2e ^ drr= ^ (e2- + 2e^e2+e-2^)drr i 7t 4 e — e 4) -i 8.83865. e e — + 2 + — 2-2 e-2 e2 --2 + — 2 -2 Uvedený integrál lze spočítat i pomocí hyperbolických funkcí. Objem je pak V = n [(cosh 1) (sinh 1) + 1] « 8.83865. □ 103 • Povrch (obsah pláště) rotačního tělesa. Zřejmě má tato úloha smysl pouze pro nezápornou funkci f(x) (či obecněji, pro funkci, která nemění znaménko na intervalu [a,b], tj. je buď stále nezáporná nebo nekladná). Zvolíme-li nějaké dělení D = {a = xq,xi, ... ,xn-i,xn = 6} intervalu [a,b], potom má jeden dílek „šířku" (délka grafu) ^/{xk - xk^)2 + \f{xk) - f{xk^)}2 = Ji + ( f{Xk) /(xfc-l)N) (xk-xk-i) y \ xk- xk-x ) ^ y/l + [f'(x)]2 dx a poloměr f(ck) (viz obr.). Tedy obsah pláště takového dílu je 27r/(cfc)Wl+ - (xk-Xk-x). V V xk ~ Xk-i ) Objem celého rotačního tělesa je pak aproximován číslem (xk - Xk-x) tťi V V Xk-Xk-i J Riemannův součet s výškou „obdélníka" danou výrazem 2 2tt y \ xk- xk-x Tedy pro n —> 00 (zvyšující se počet dělících bodů a normu dělení n(D) —> 0) dostáváme následující vzorec. Tvrzení 9 (Obsah pláště rotačního tělesa). Nechť f(x) je nezáporná funkce se spojitou derivací f'(x) na intervalu [a,b]. Obsah pláště rotačního tělesa, které vznikne rotací křivky Gr f na intervalu [a, b] kolem osy x, je I ŕ , S = 2n f(x) y7! + [f'(x)y dx . Příklad 125. Určete povrch jednotkové koule. Řešení. Povrch určíme jako dvojnásobek povrchu polokoule, přičemž polokoule vznikne rotací funkce f(x) = \/l — x2 kolem osy x na intervalu [0,1]. Protože platí je tedy -x vT ar S = 2-2tt / Vl-x2 \ 1 -x \J\~--1l2 dx = 4n v7! x" {l-x2)+x2 1 -x2 dx 47T í 1 dx = 47T [ x ] 1 = I 47T Jo □ 104 Příklad 126. Určete povrch koule o poloměru r. Řešeni. Povrch určíme jako dvojnásobek povrchu polokoule, přičemž polokoule vznikne rotací funkce f{x) = \Jr2 — x2 kolem osy x na intervalu [0,r]. Protože platí -x r2 — x2 je tedy S = 2-2n / Vr2 - x2 \ 1 -x r2 — x2 dx = An / \f' ' r2 — x2 (r2 — x2) + x2 r2 — x2 dx An r dx = An [ r x ] Jo Anr2 □ Příklad 127. Určete obsah pláště rotačního tělesa, které vznikne rotací řetězovky f(x) = coshrr kolem osy x na intervalu [—1,1]. Řešeni. Funkce coshrr je zadána v Příkladu 124. Hodnota v krajních bodech intervalu [—1,1] je cosh(±l) = (e + l/e)/2 « 1.54. Protože platí f'(x) = sinhx a cosh2 x — sinh2 x = 1, je tedy S = 2n cosh x a/1 + (sinhrr)2 dx = 2n / cosh2 x dx J-l *-v-' J-l n ' 2 -2 e — e 4) = COSh X « 17.6773, viz Příklad 124, kde jsme vypočítali integrál cosh2xdx. K tomuto příkladu ještě poznamenejme, že řetězovka vytváří těleso s nejmenším pláštěm mezi všemi rotačními tělesy, jejichž „generující graf" začíná a končí ve stejných bodech, jako uvedená řetězovka (viz obr.). To se využívá např. při konstrukci visutých mostů (souvisí to s minimalizací potenciální energie použitého materiálu). 105 OBRÁZEK 2. Obrázek vpravo převzat z http://goo.gl/M55vmh. Více např. na http://en.wikipedia.org/wiki/Catenary, http://en.wikipedia.org/wiki/Catenoid, http://xahlee.org/SpecialPlaneCurves_dir/Catenary_dir/catenary.html. □ • Další aplikace určitého integrálu. Kromě geometrických aplikací (obsah plochy, délka křivky, objem a obsah pláště rotačního tělesa) se určitý integrál využívá v mnoha fyzikálních aplikacích, např. - těžiště rovinného obrazce, - těžiště tělesa, - obsah plochy, délka křivky, objem a obsah pláště rotačního tělesa v polárních či parametrických souřadnicích. Podrobnosti jsou např. ve skriptech [8, Odstavec 6.2]. 3.10. Nevlastní integrály. Stejně tak jako Jb f je plocha mezi grafem (ohraničené) funkce f{x) a osou x na (konečném) intervalu [a,b], můžeme chtít najít tuto plochu na neohraničeném intervalu [a, oo), (—00,6], (—00,00), případně i pro neohraničenou funkci f(x). Dostáváme se tak k pojmu nevlastního integrálu pco pb poc f, f, f. J a J — oo J —oo 106 Přitom, jak uvidíme, všechna pravidla pro výpočet integrálu zůstávají zachována, jen je potřeba dávat pozor na neurčité výrazy (obsahující symbol oo) a ty pak spočítat pomocí limity. Příklad 128. Tyto příklady berte jako motivační. (a) Plocha pod ohraničenou funkcí f(x) = jjiia intervalu [1, oo) je (viz obr.) 1 -(-1) = 0 + l=[7]. 1" oo 1 / —dx = = Jl X2 X 1 OO ve smyslu limity (b) Plocha pod neohraničenou funkcí f(x) = \ na intervalu (0,1] je (viz obr.) dir ar 1 x (-1) 0+ ve smyslu limity -1 + oo oo (c) Plocha pod ohraničenou funkcí f(x) = ^ na intervalu [1, oo) je (viz obr.) COO 1 OO — do; = [ ln x ] °^ = lnoo, — ln 1 = oo — 0 ve smyslu limity Definice 22 (Nevlastní integrál 1. druhu). • Nechť je funkce f(x) definována na intervalu [a, oo). Existuje-li vlastní limita ŕ lim / f(x) dx = L, b^°° J a potom říkáme, že nevlastní integrál Ja°° f(x) dx konverguje a klademe □ (46) f(x) dx = L. Pokud existuje limita v (46) jako nevlastní (tj. L = ±oo), potom říkáme, že tento nevlastní integrál diverguje a klademe f(x) dx = ±oo. Nechť je funkce f(x) definována na intervalu (—00,6]. Existuje-li vlastní limita ŕ lim / f(x) dx = L, J a (47) 107 potom říkáme, že nevlastní integrál J_ f(x) dx konverguje a klademe ŕ / f (x) dx = L. J —oo Pokud existuje limita v (47) jako nevlastní (tj. L = ±00), potom říkáme, že tento nevlastní integrál diverguje a klademe f {x) dx = ±00. □ Tedy příklady nevlastních integrálů v Příkladu 128 jsou spočítány matematicky správně, jen jsme pro zápis výpočtu měli zvolit symbol limity. Tento symbol limity budeme uvádět, jen až je to nezbytně nutné. Příklad 129. Viz Příklad 12É (a) f°° 1 1 00 , / —dx = = Ji % X 1 v lim — x^oo X ) - (-1) = 0 + 1 =[T|- (c) l — dx = ľ lnx 1 = ( lim ln x) — ln 1 Jl X 1 x^oo OO □ Příklad 130. Vypočtěte nevlastní integrál pro jeden z typů parciálních zlomků (viz Odstavec 1.6) x q (x2 + a2)'- dx, a^O. Řešeni. Podle věty o substituci v určitém integrálu je x o (x2 + a2)'- dx x2 = t 2x dx = dt x = 0 t = 0 x = 00 =>• t = 00 1 _ 1 2 70 (í + a2)2 1 ~ 2 í + a2 1 2^2 □ 108 Poznámka 30. Někdy lze podobným způsobem vypočítat i nevlastní integrál přes (oboustranně) nekonečný interval (—00,00), /oo f(x) dx, -00 i když definice takového integrálu zahrnuje limitu funkce dvou proměnných /oo pb f{x) dx := lim / f{x) dx, -oo [a,&]->[-oo,oo] Ja kterou jsme v tomto semestru neprobírali (viz MB103). Tomuto problému se lze ale vyhnout za použití pravidla návaznosti (Věta 32(vii)), neboť platí /a poo f(x)dx+ / f(x)dx, -oo J a kde a G IR je pevně zvolené číslo (např. a = 0) a kde jsou zmíněné integrály nevlastní a 1. druhu. □ Příklad 131. V pravděpodobnosti a statistice (viz asi MB104) se často používá nevlastní integrál 00 ,2 e 2 dx = 1, V2tt J-_ přičemž uvedená funkce 1 se nazývá hustota pravděpodobnosti (standardního) normálního rozdělení (viz obr.). Protože je tato funkce f(x) sudá, zřejmě je pak e 2 dx = - 2 1.2533. Současně si uvědomte, že primitivní funkce k této funkci f(x) je vyšší funkce (tedy nelze ji vypočítat pomocí elementárních funkcí, viz Poznámka 23). □ Podobně jako v Definici 22 můžeme postupovat i pro funkci f(x), která je neohraničená v okolí bodu a nebo 6. 109 Definice 23 (Nevlastní integrál 2. druhu). • Nechť je neohraničená funkce f(x) definována na intervalu (a, 6]. Existuje-li vlastní (pravostranná) limita lim f f(x) áx = L, (48) potom říkáme, že nevlastní integrál f{x) áx konverguje a klademe ŕ / f (x) áx = L. J a Pokud existuje limita v (48) jako nevlastní (tj. L = ±oo), potom říkáme, že tento nevlastní integrál diverguje a klademe f (x) áx = ±oo. Nechť je neohraničená funkce f (x) definována na intervalu [a, b). Existuje-li vlastní (levostran-ná) limita lim / f (x) áx = L, (49) P^b- Ja potom říkáme, že nevlastní integrál f (x) áx konverguje a klademe ŕ / f (x) áx = L. J a Pokud existuje limita v (49) jako nevlastní (tj. L = ±oo), potom říkáme, že tento nevlastní integrál diverguje a klademe f (x) áx = ±oo. □ Opět budeme symbol limity budeme uvádět, jen až je to nezbytně nutné. Příklad 132. Viz Příklad 128(b). —oo □ 110 Příklad 133. Určete plochu pod mezi grafem funkce f(x) = na intervalu (—1,1). Řešení. Funkce f(x) = je na intervalu (—1,1) neohraničená a sudá (viz obr.). Plochu vypočí- táme jako dvojnásobek plochy na intervalu [0,1) (nevlastní integrál 2. druhu): P = 2 [ . dx = 2 \ arcsin x 1 * = 2 ( ( lim arcsin x) — arcsin 0 | Jo 1 Jo _/ J = 2 (arcsin 1 — arcsin 0) = 2 ^— — 0*j = \ n \. - arcsin 1 Všimněte si, že v tomto případě vlastně limita ve výpočtu ani není potřeba, protože je primitivní funkce F(x) = arcsin x k funkci f (x) = ^^_x2 spojitá v bodě x = 1 (viz Věta 37). Tedy tento konkrétní příklad lze spočítat i přímo jako P= [ dx = ľ arcsin rrl1., = arcsin 1 — arcsiní—1) =--(--| = I n I. (50) Všimněte si také, že vT r-2 1+[(VT3^)'] /1 2 X" a tedy výpočet uvedený v (50) je shodný s výpočtem délky jednotkové půlkružnice (srovnejte s Příkladem 119). □ Pro výpočet nevlastních integrálů tedy budeme používat stejné metody jako pro výpočet (klasických) určitých integrálů (např. metodu per-partes, viz Věta 38). Příklad 134. V teorii pravděpodobnosti a statistiky (viz asi MB 104) se používá funkce f(x) := \e~Xx, pro ic G (0, oo), která udává hustotu tzv. exponenciálního rozdělení, kde A > 0 je pevně zvolený parametr. Potom můžeme spočítat 111 Např. volbou parametru A = 1 dostáváme, že plocha pod funkcí x e x na intervalu (0, oo) je rovna (viz obr. ■e~x dx = \T]. oo X ( 0 □ 112 4. Nekonečné řady V této kapitole se budeme věnovat součtům nekonečně mnoha sčítanců - buď čísel nebo mocnin. Jako motivace nám může sloužit geometrická řada, kterou jistě znáte ze střední školy, případně Ta-ylorův polynom funkce f(x) pro libovolně velká n (viz Odstavec 2.20 a zejména Poznámka 18). To následně vede k vyjádření (tedy i obráceně, k možné definici) všech elementárních funkcí pomocí polynomů „nekonečného stupně", tedy pomocí nekonečných mocninných řad. 4.1. Nekonečné číselné řady. V tomto odstavci budeme pracovat s posloupností reálných čísel {a0,a1,a2, • • • ,an,... } = {an}^=Q, připadneš {bn}^=Q- oo an n=0 Definice 24 (Nekonečná řada). Součet tvaru a0 + di + a2 + • • • + an + • • • = ^ n=0 nazýváme nekonečnou (číselnou) řadou. Číslo an se nazývá n-tf člen. Číslo sn := a0 + dl + a2 + • • • + an, n = 0,1,2,... se nazývá n-tf částečný součet této nekonečné řady. □ Poznámka 31. Všimněte si, že v Definici 24 je n-tf člen an v podstatě (n + l)-ní v pořadí, protože posloupnost {an^_Q a řadu ^^10 an začínáme indexovat od n = 0. V literatuře je možné nalézt i indexování od n = 1, ale zde (a ve skriptech [ , str. 279]) budeme indexovat od n = 0. □ Nejprve si jako motivaci zopakujme úvahy o geometrické řadě. Geometrická řada je součet tvaru a + aq + aq2 + aq3 aq n=0 aq" kde a,q eR jsou pevně zvolená čísla. Tedy je to nekonečná řada, kde an := aqn pro n = 0,1,2,.... Číslo q se nazývá kvocient geometrické řady, přičemž q může být kladné či záporné (viz Příklad 135). Posloupnost částečných součtů pro geometrickou řadu odvodíme snadno: sn = a + aq + aq2 + • • • + aqn 1 + aqn, Odečtením druhé rovnice od první dostaneme qsn = a — aq n+l qsn = aq + aq2 + aq3 sn(l-q)=a(l-qn+l). aq + aq n+l Je-li q = 1, potom je zřejmě Je-li q ý 1? potom je (n + 1) a n+l 1 — q q^l. (51) 113 Příklad 135. Určete posloupnost částečných součtů dané geometrické řady: 111 1 2n + 2 + 4 + 8 H h 2™ n=0 (a) ^ ] r>n n=0 OO (b) E n=0 -1" 1 1 1 -IV i—!— = 1- - +---+ ••• + ^—}- 3n 3 9 27 3n i? esem'. (a) Protože jea=lag = |je podle vzorce (51) (nebo odvozeno přímo pro tuto konkrétní řadu) i\n+1 2n+1 - 1 in+1 2n+l 1 2-- 2n (b) Protože je a = 1 a g = — ^ je podle vzorce (51) (nebo odvozeno přímo pro tuto konkrétní řadu) l-(-l) }n+l (-l)n+1 3 1 3n+1 + (-l) 3n+l 4 4 3 (-l)ř 4 4-3r □ Chování posloupnosti částečných součtů, přesněji limita této posloupnosti, zřejmě určuje chování celé nekonečné řady. Definice 25 (Konvergence, divergence, oscilace nekonečné řady). Existuje-li vlastní limita limn^00 sn = s, potom říkáme, že nekonečná řada ^^10 an konverguje k číslu s, nebo také že má součet s, a píšeme n=0 Existuje-li nevlastní limita limn^00 sn = ±oo, potom říkáme, že nekonečná řada ^^10 an diverguje k ±oo a píšeme an = ±oo. n=0 Pokud limita limn^00 sn neexistuje, potom říkáme, že nekonečná řada ^^10 an osciluje. □ Příklad 136. • Geometrická řada s a = 0 (a g G R libovolným) zřejmě konverguje (k 0), protože v tomto případě je sn = 0. • Geometrická řada sa^0ag = l zřejmě diverguje (k ±oo podle znaménka čísla a), protože v tomto případě je sn = (n + 1) a. • Geometrická řada sa^0ag=— 1 zřejmě osciluje, protože je v tomto případě sn = {a, 0, a, 0, a, 0,... } a limita této posloupnosti neexistuje. □ 114 Příklad 137. Rozhodněte o konvergenci a případně určete součet dané geometrické řady (a) ^ on ' (b) E (-i)' n=0 n=0 Řešeni, (a) Protože je sn = 2 — ^ (viz Příklad 135(a)), je OO n=0 lim 2-- n—>oo \ 2n tj. uvedená řada konverguje . Konvergenci této řady lze také ukázat názorně na obrázku. (b) Protože je sn = | + ^ ^ (viz Příklad 135(b)), je n=0 ("IX 3 (-l)ř lim , n->oo V 4 4 • 3n tj. uvedená řada konverguje . □ V Příkladu 136 jsme vyšetřili geometrickou řadu s \q\ = 1. Ve vzorci (51) pro n-tý částečný součet geometrické řady se vyskytuje posloupnost qn+1, která zřejmě konverguje k 0 pro \q\ < 1, konverguje k oo pro q > 1, a nemá limitu pro q < — 1. Odsud tedy plyne jednoduchá podmínka pro konvergenci geometrické řady. Tvrzení 10 (Konvergence a součet geometrické řady). Nechť a ^ 0. Potom geometrická řada E aqn konverguje <š=> \q\ < 1. V tomto případě (a také v případě a = 0) je pak její součet \q\ < 1. Příklad 138. V Příkladech 135 a 137 je , , 1 1 i-i (a) > — = -r = 2 , V ) / j 2n 1 — i - (b) E n=0 n=0 □ Příklad 139. Z výšky a = 2 metry nad rovným povrchem pustíme kouli. Pokaždé, když koule dopadne na povrch z výšky h, odrazí se do výšky qh = | (tedy q = |). Určete celkovou vzdálenost, kterou koule urazí při nekonečně mnoha takových doskocích. Řešení. Celková vzdálenost je (viz obr.) 2 2 2 s = 2 + 2-- + 2-- + 2- — 3 9 27 E n=0 115 Jedná se tedy o geometrickou řadu, kde a = | a q = \. Podle Tvrzení 10 je tedy s = 2 3' 4 4 *--2 + f 3 1 - i 3 4 metry Přepočítejte si tento příklad s obecnými parametry a > 0 a q G (0,1). [Řešení je pak s = a j-^.] □ Někdy se při výpočtu n-tého částečného součtu sn mnoho výrazů „pokrátí". Příklad 140. Rozhodněte o konvergenci a případně určete součet nekonečné řady 1 _ 1 J_ J_ _1_ A 1 ^n(n + l) ~ l-2 + 2- 3 + 3- 4 + 4- J 5 n=0 (n + l)(n + 2)' Řešeni. Protože platí (viz rozklad na parciální zlomky v Odstavci 1.6) 1 1 1 (n + l)(n + 2) n + 1 n + 2: je n-tý částečný součet roven 1 1 1 1-2 2-3 3-4 4-5 (n + 1) (n + 2) 1\ /l 1\ (\ 1\ /l ľ 1 1 2 2 1 1 3 3/ \4 4 1 1 h + 1 n + 2 1 1 \ 1 n+1 n+1/ n+2 n + 2 -4 1. A proto uvedená nekonečná řada konverguje a její součet je □ Jestliže má daná nekonečná řada konvergovat, musí se zřejmě její členy postupně zmenšovat (v absolutní hodnotě) k nule, jinak by posloupnost částečných součtů nemohla konvergovat ke konečnému číslu. Platí tedy následující. Věta 40 (Nutná podmínka konvergence řady). Jestliže nekonečná řada ^^10 an konverguje, potom nutně platí lim a„ = 0. (52) 116 To znamená, že pokud limn^00 an je různá od nuly nebo pokud tato limita neexistuje, potom nekonečná řada ^^10 an nekonverguje. Příklad 141. (a) Nekonečná řada oo n n=0 nekonverguje, protože limn^00n = oo 7^ 0. Zřejmě tato řada diverguje k 00. 1 + 2 + 3H----= 5^' (b) Nekonečná řada -1 + 2- 3 + 4- 5 + 6----= ^2(-l)nn n=0 nekonverguje, protože limn^00(—l)nn neexistuje (a jedná se o neohraničenou posloupnost). Zřejmě tato řada osciluje. (c) Nekonečná řada 1-1 + 1-1 + 1----= ^(-l)n n=0 nekonverguje, protože limn^oo(—l)n neexistuje (a jedná se o ohraničenou posloupnost). Zřejmě tato řada osciluje. Tato řada je geometrická s g = — 1 a a = 1, viz Příklad 136. (d) Nekonečná řada 1 2 3 4 _ ^ -n ~3 ~ 5 ~ 7 ~ 9 ~ ^ 2n + 1 n=0 nekonverguje, protože limn^oo = ~\ ý 0- Zřejmě tato řada diverguje k —00. □ Podmínka (52) je obecně pouze podmínkou nutnou pro konvergenci nekonečné řady. Existují tedy nekonečné řady, které nekonvergují, ale podmínku (52) splňují. Příklad 142. (a) Nekonečná řada 111111 11 1 ô + ô + 7 + 7 + 7 + 7 + '" + ^ + ^ + '" + ^ + '" 2 2 4 4 4 4 2n 2n 2n 1 člen s-v-' s-v-' s-v-' 2 členy 4 členy 2n členů nekonverguje, přestože limn^oo an = 0. Zřejmě tato řada diverguje k oo. (b) Jak ukážeme později (viz Příklad 146), tzv. harmonická řada 1111 ^ 1 2 3 4 5 ^ n n=l nekonverguje, přestože limn^00 an = 0. V Příkladu 146 ukážeme, že tato řada diverguje k oo. □ 117 Pro konvergentní (a částečně i divergentní) nekonečné řady platí následující algebraická pravidla. Věta 41 (Pravidla pro nekonečné řady). Nechť nekonečné řady ^^10 an a ^^10 bn konverguji a nechť platí oo oo ^2an = A, y^bn = B. n=0 n=0 (i) Pravidlo konstantního násobku: pro libovolné c G IR nekonečná řada ^2^=0 c ■ an konverguje a platí oo oo c - an = c an = c - A. n=0 n=0 (ii) Pravidlo součtu a rozdílu: nekonečná řada ^2^=0 (an ± bn) konverguje a platí oo oo oo y^j(an±bn) = y^jan±y^bn = A±B. n=0 n=0 n=0 Příklad 143. Určete součet nekonečné řady 3n - 1 £ QT, n=0 Řešení. Podle Věty 41 (ii) je oo ryfl oo ryfl oo ^ oo ^ OO E6 — 1 ^—\ o ^—\ 1 ^—\ 1 ^—\ 1 Rn / j Rn / j Rn / j On / j Rn Qn / j Qn / j Qn / j 2n ' J Q'r n=0 n=0 n=0 n=0 n=0 neboť obě uvedené nekonečné řady konvergují. Jsou to totiž geometrické řady s a = 1 as g = |, resp. s q = |, viz Tvrzení 10. Je tedy 3n - 1 _ 1 1 _ 6 n=0 2 6 □ Poznámka 32. Pokud některá z řad diverguje k ±oo, chová se součtová/rozdílová řada podle pravidel pro „počítání s nekonečny", jako např. oo + oo = oo, —oo — oo = —oo, ±oo ± B = ±oo, A ± oo = ±oo, Např. tedy jestliže řady ^^=0 an a ^^10 bn divergují obě k oo nebo obě k — oo, potom nekonečná řada ^2^=0 (an + bn) také diverguje k ±oo. Samozřejmě, výrazy typu oo — oo či —oo + oo jsou neurčité a tímto způsobem je vyčíslit nelze. □ 118 Ve Větě 41 se nic neříká o součinu (a podílu) nekonečných řad. Tato problematika je mnohem složitější, než se na první pohled zdá, a kolem součinu řad existuje celá teorie (protože existují různé součiny nekonečných řad). Uvědomte si totiž, že při násobení mnohočlenů platí (a0 + ax H-----V an). (b0 + bx H-----h bn) = a0b0 + a0&! + • • • + a0bn + + + • • • + axbn + • • • + anbn, tedy dostáváme nejen „diagonální součiny" afii, ale také všechny „smíšené součiny" a^bý A pro součin takovýchto nekonečných mnohočlenů (tedy pro součin nekonečných řad) bude situace ještě mnohem složitější, protože bude záležet na tom, jakým způsobem výsledný součet jednotlivých součinů uspořádáme (srovnejte s Příklady 159 a 160 uvedenými dále). 4.2. Nekonečné řady s nezápornými členy. Pro nekonečné řady s nezápornými členy existuje několik kritérií pro určení jejich konvergence/divergence. Všechna kritéria jsou založena na faktu, že pro řadu s nezápornými členy je její posloupnost částečných součtů neklesající, tj. sn = a0 + ' ' ' + ani sn+l = a0 + ' ' ' + an + an+l = sn + an+lj =^ >0 (jednoduše proto, že do sn+1 přidáváme nezápornou hodnotu). A pokud je tedy neklesající posloupnost {sn}^0 shora ohraničená, musí mít limitu (rovnu svému supremu). Tedy každá nekonečná řada s nezápornými členy buď konverguje nebo diverguje k 00 (tj. nemůže divergovat k —00 ani oscilovat). Věta 42 (Srovnávací kritérium). Nechi {an}^L0 & {&n}^L0 jsou posloupností nezáporných čísel, pro které platí 0 < an < bn pro všechna n = N,N+l,N + 2,... (53) pro nějaké N G N U {0}. (i) Jestliže J^l0 bn konverguje, potom také konverguje řada Y^=Qan- (ii) Jestliže Y^=oan diverguje k 00, potom také řada Y^=o^n diverguje k 00. Nerovnost (53) nemusí nutně platit pro všechna n G N U {0}. Uvedený předpoklad říká, že musí být splněna od „jistého indexu počínaje". Pro použití srovnávacího kritéria je zřejmě potřeba mít „v zásobě" nějaký soubor nekonečných řad, o kterých víme, že jsou konvergentní/divergentní. Příklad 144. Nekonečná řada 1111 ^1 1+l! + 2! + 3! + 4!+"' = £tó n=0 konverguje podle Věty 42(i) (ve které můžeme vzít N = 0), protože všechny její členy lze shora omezit příslušnými členy konvergentní řady 111 ^1 1 + 1 + 2 + 2^ + -" = 1 + ^- n=0 Pro součet uvedené řady pak zřejmě platí odhad 119 □ Příklad 145. Nekonečná řada ln 1 ln 2 ln 3 ln n 12 3 ^ n n=l diverguje k oo podle Věty 42(ii) (ve které můžeme vzít N = 3), protože její členy lze zdola omezit příslušnými členy (divergentní) harmonické řady, tj. platí \nn 1 - > — pro všechna n > 3. n n D Dále uvedeme tři nejznámější kritéria (Věty 43, 44 a 45) pro konvergenci/divergenci nekonečných řad s nezápornými či kladnými členy. Věta 43 (Integrální kritérium). Nechť Y^=Qan Je nekonečná řada s nezápornými členy. Nechť f(x) je funkce definovaná na intervalu [iV, oo) pro nejaké N G [0, oo), která je na tomto intervalu nezáporná, nerostoucí a platí f(n) = an pro všechna n > N. Potom OO /»00 V^an konverguje o- / f(x)dx konverguje, n=o Jn oo /*oo an diverguje k oo / f{x) dx = oo. n=0 N V integrálním kritériu se používá nevlastní integrál 1. druhu, viz Definice 22. Příklad 146. Harmonická řada (viz Příklad 142(b)) oo 1 n n=l diverguje k oo podle Věty 43, protože pro funkce f{x) := ^ je na intervalu [l,oo) kladná, klesající a platí f{n) = ^ pro n > 1, přičemž je nevlastní integrál / — dx = oo, Ji x viz Příklad 129(c), resp. Příklad 128(c). □ Příklad 147. Určete, pro které mocniny p G IR nekonečná řada oo ^ E1 konverguje či diverguje. Řešení. nP n=l 120 • Pro p < 0 je jedná o řadu J^I-l nq, kde q := —p > 0. Tato řada nesplňuje nutnou podmínku konvergence (52), a proto nekonverguje. Protože se jedná o řadu s nezápornými členy, tak tato řada diverguje k oo. • Pro p = 0 se jedná o řadu ^2™=1 1, která zřejmě diverguje k oo. • Pro p > 0 je funkce f(x) = na intervalu [l,oo) kladná, klesající a platí f{n) = pro n > 1. Vyšetříme konvergenci nevlastního integrálu — Pro p = 1 je jedná o harmonickou řadu J^I-l \-, která diverguje k oo (viz Příklad 146). — Pro p ý 1 máme —p + 1 1 \ x^roo 1 — p J 1 — p zda je exponent 1 — p kladný nebo záporný, protože f oo, pro 1 — p > 0, \ 0, pro 1 — p < 0. A proto je L xp 1 —[, pro p > 1, tj. tento nevlastní integrál konverguje. Podle integrálního kritéria (Věta 43 s N = 1) tedy platí, že pro p > 1 řada konverguje a pro p G (0,1) tato řada diverguje k oo. 1 í oo, pro p < 1, tj. tento nevlastní integrál diverguje k oo, .oo 1 ■n=l nP Celkově jsme tedy ukázali, že řada diverguje k oo pro p < 1 a konverguje pro p > 1 . n=l □ Příklad 148. Zejména tedy konverguje řada n=l protože v Příkladu 147 vezmeme p = 2. Součet této řady určíme v Příkladu 179. Dále, protože je — konvergence řady < ^2 pro všechna n G N, plyne ze srovnávacího kritéria (Věta 42(i)) také viz Příklad 140. □ n=l n (n+1) ' 121 Věta 44 (Podílové kritérium). Nechť ^™=0on je nekonečná řada s kladnými členy a předpokládejme, že existuje (vlastni nebo nevlastni) limita ,. an+l lim -= q. Potom (i) tato řada konverguje, pokud je q < 1, (ii) tato řada diverguje k oo, pokud je q > 1 nebo q = oo, (iii) tento test nelze rozhodnout, pokud je q = 1. V podílovém kritériu se tedy vyskytuje podíl dvou po sobě jdoucích členů nekonečné řady. A je zřejmě jedno, jestli je řada indexována od n = 0 nebo od n = 1 (nebo případně od jiného indexu). Příklad 149. (a) Pro nekonečnou řadu n=l n\ _ 1 2! 3! 4! 7^~I + 22 + 33 + 44 platí (n+l) an+i _ (n+i)«+i _ (n + 1)! • nr' (n + 1) • n\ ■ nn n n n + 1 (n + l)n+1-n\ (n + l)n • (n + 1) • n\ {n + l)1 1 1 1 - < 1 e přičemž ve výpočtu jsme použili limitu definující Eulerovo číslo e (viz Příklad 17). Uvedená řada tedy konverguje podle podílového kritéria (Věta 44(i)). (b) Pro geometrickou řadu ^™=0 aqn, kde a > 0 a q > 0, platí -,n+l = q^q, Cťn+l o,q an aq'1 a proto podle podílového kritéria (Věta 44) geometrická řada s kladnými členy konverguje pro q < 1 a diverguje k oo pro q > 1. Viz také Tvrzení 10. □ Příklad 150. Pro nekonečnou řadu platí (viz výpočet v Příkladu 149(a)) an+l En n\ n=l n -+ e > 1 a proto uvedená řada diverguje k oo podle podílového kritéria (Věta 44(ii)). □ 122 Příklad 151. Pro nekonečnou řadu ™_1131517 ~2T + 22 + 23 + 2I + 2Š + 26 + 2T n=0 tj. ar, n 2n i J_ 2n i pro n liché, pro n sudé, platí / i an+l 2n+l £ 2n+1-n 2n $k _ (n + 1) • 2n _ n + 1 2n+l pro n liché, pro n sudé. Odtud je vidět, že limn_ Všimněte si, že lze psát a-n+i neexistuje, a proto podílové kritérium vůbec nelze použít. [(n + 1) mod 2] + (n mod 2) • n kde funkce ic mod 2 dává zbytek po dělení čísla x číslem 2 (tedy jedničku, pokud je x liché, a nulu, pokud je i sudé). □ Věta 45 (Odmocninové kritérium). Nechť Y^=Qan Je nekonečná řada s nezápornými členy pro všechna n > N pro nějaké N G N U {0} a předpokládejme, že existuje (vlastni nebo nevlastni) limita lim \j~a~^ = q. n—>oo Potom (i) tato řada konverguje, pokud je q < 1, (ii) tato řada diverguje k oo, pokud je q > 1 nebo q = oo, (iii) tento test nelze rozhodnout, pokud je q = 1. Příklad 152. Pro nekonečnou řadu v Příkladu 151 platí pro n sudé. pro všechna nGN. j_ _ i 2n 2' Tedy platí nerovnosti 1 ,_ dn - < ľ/al < —— 2 - V n _ Limita na pravé straně se spočte přes exponenciální funkci a 1'Hospitalovo pravidlo (Věta 15): lnn Věta5(ii) is lim \fn= lim n» = lim e» Z věty o třech limitách (Věta 4) potom plyne, že typ oo oo 1'Hosp. elim^ t = e° = 1. (54) lim yfa~n < 1 Proto podle odmocninového kritéria (Věta 45(i)) uvedená řada konverguje. □ 123 Poznámka 33. V Příkladech 151 a 152 jsme viděli, že někdy podílové kritérium k výsledku nevede zatímco odmocninové kritérium ano (pro nekonečnou řadu s kladnými členy). To platí i obecně, neboť pro libovolnou posloupnost {an}n_0 kladných čísel platí nerovnosti lim inf n+1 < lim inf yfa~^ < lim sup yfa~^ < lim sup n+1. To znamená, že pokud existuje limita limn^oo = a, potom také existuje limita limn^oo {/a^ a tyto dvě limity jsou si rovny. Tedy pokud je podílové kritérium nerozhodnutelné (tj. platí limn^00 = 1), potom je také odmocninové kritérium nerozhodnutelné (tj. platí limn^00 ^/ä~^ =1). Říkáme, že odmocninové kritérium je silnější, než podílové kritérium (každý příklad, který lze spočítat podílovým kritériem, lze spočítat i odmocninovým kritériem, ale ne naopak). □ Příklad 153. Pro nekonečnou řadu n=l platí 32 42 52 2 ~^ 12 (ýří) 2 > 1 a proto podle odmocninového kritéria (Věta 45(ii)) uvedená řada diverguje k 00. Všimněte si také, že uvedená řada nesplňuje nutnou podmínku konvergence (52), neboť je 2n 00 1'Hosd. 'l" • 00 lim a„ = lim n—>oo n typ 00 i-Hosp. ,. 2n - In 2 = lim - n^oo 2n typ 00 PHosp. 2"-(ln2)2 = lim - = 00 7^ 0. n—>oo 2 Tedy uvedená řada podle Věty 40 nekonverguje. Protože se ale jedná o řadu s kladnými členy, musí tato řada potom divergovat k 00. □ Příklad 154. Všimněte si, že podílové ani odmocninové kritérium nelze použít pro vyšetření konvergence/divergence nekonečné řady ^2™=1 (viz Příklad 147), protože pro podílové kritérium je q = lim an+l 1 lim (n+l)P n—>oo a r J_ nP a pro odmocninové kritérium je q = lim lýa~n lim lim lim TI \ Věta 5(ii) / n x lim 1p Věta 5(ii) n—>oo ynP n—s-oo \ {yn Zde jsme opět použili limitu limn^oo sfň = 1, viz (54). lim,- 1p 1. □ 124 4.3. Alternující řady. Pro srovnání a úplnost uveďme ještě kritérium konvergence pro nekonečné řady, jejichž členy mění znaménka. Nechť {an}^L0 je posloupnost nezáporných čísel. Potom se nekonečná řada oo oo a0 — di + a2 — a3 + ''' = (—l)n an, případně — a0 + a\ — a2 + a3 — ■ ■ ■ = (—l)n+1 an, n=0 n=0 nazývá alternující řada. Příklad 155. (a) Nekonečná řada i- - + - -- + --••• = y (-iri- = y c-ir— n=l n=0 je alternující a nazývá se alternující harmonická řada nebo též Leibnizova řada. (b) Každá geometrická řada, ve které je a ^ 0 a q < 0, je zřejmě alternující. □ Z Věty 40 víme, že každá konvergentní řada, a tedy i každá alternující konvergentní řada, musí splňovat podmínku (52). Pro alternující řady můžeme ale říct mnohem více. Z podmínky (52) se nyní stává nutná a postačující podmínka pro konvergenci alternující řady. Věta 46 (Leibnizovo kritérium konvergence alternující řady). Jestliže je {an^_Q nerostoucí posloupnost kladných čísel, potom nekonečná alternující řada oo E(—l)n an konverguje o- platí (52), tj. lim (—l)n an = 0. n—>oo n=0 Důkaz. Vzhledem k Větě 40 stačí ukázat směr Protože je posloupnost {an}^l0 nerostoucí, plyne odsud konvergence řady J^l0 (—l)n an, viz obr. □ Příklad 156. Alternující harmonická řada (viz Příklad 155(a)) n n=l konverguje podle Věty 46, protože je její „generující" posloupnost {0«}^^ = 1"}^^ kladná a klesající (tudíž nerostoucí) a splňuje lim(-l)n- =0. n—>oo n V Příkladu 170 pak ukážeme, jaký je součet této nekonečné řady. □ 125 Pokud tedy posloupnost {an}^__0 splňuje předpoklady Věty 46 a řada ^^10 (—l)nan konverguje, tj. J^l0 (—l)n an = A, potom číslo A nutně leží vždy mezi dvěma po sobě následujícími částečnými součty sn a sn+i. A tedy se číslo A nemůže lišit od sn o více, než kolik je člen an+i. Tj. musí platit odhad \A - sn\ < an+1. (55) Ukázali jsme tedy následující užitečné tvrzení o odhadu chyby částečných součtů sn pro alternující řadu. Tvrzení 11 (Odhad chyby alternující řady). Předpokládejme, že alternující řada ^^10 (—l)nan splňuje podmínky ve Větě 46 (a konverguje k číslu A). Potom pro n-tý částečný součet sn := a0 - ai + a2-----h (-l)n an platí odhad (55), tj. sn aproximuje součet A této řady s chybou menší, než je absolutní hodnota prvního (do sn) nezahrnutého člene (—l)n+1 an+i. Navíc, zbytek A — sn má stejné znaménko jako tento první (do sn) nezahrnutý člen (—l)n+1 an+i. Příklad 157. Pokusme se ilustrovat Tvrzení 11 na alternující řadě V(-i)»-L= i -I + I-I + 1--L + 1--L 'on 9 A 8 16 32 64 .128 a7 n=0 a0 256, jejíž součet známe. Protože se jedná o geometrickou řadu s a = 1 a q číslu (viz Tvrzení 10) 1 1 2 4, je součet této řady roven A 2 3 2 ó 0.6666667. Potom Tvrzení 11 říká, že pokud tuto řadu „ukončíme" po osmém členu (tj. n = 7), potom konečný součet 111111 1 85 s7:=l - - +---+---+---=- = 0.6640625 2 4 8 16 32 64 128 128 aproximuje číslo A s chybou menší než je a8 = ^ = 0.00390625. Skutečně, \A - s7\ 2 85 1 3 ~ 128 384 0.00260417 < 0.00390625 = a8. Přitom má rozdíl A — sj = ^ stejné znaménko jako člen (—l)8 a§ = ^č, tedy je kladný. □ 4.4. Absolutně a relativně konvergentní řady. Nejprve si všimněme, že pokud konverguje řada absolutních hodnot, potom konverguje původní řada. Věta 47. Jestliže konverguje řada ^2^=0 \an\, potom konverguje také řada ^^0ara- Důkaz. Zřejmě pro každé n platí nerovnosti — | an | < an < | an \, =>• 0 < an + | an \ < 2 | an \. 126 Tedy pokud J^l0 \an\ konverguje, konverguje také řada ^^L02|an| (P°dle pravidla konstantního násobku, viz Věta 41 (i)). A dále, podle srovnávacího kritéria (Věta 42(i)), konverguje také řada S^lo (a™ + lanl)- A- protože platí rovnost (an + \an\) - \an\, ^ an = ^ [an + \an\) - ^ oo [a. n=0 n=0 n=0 n | j konverguje konverguje dostáváme řadu ^^10 an jako rozdíl dvou konvergentních řad. Tedy tato řada také konverguje podle pravidla rozdílu, viz Věta 41 (ii). □ Poznámka 34. Opačná implikace ve Větě 47 zřejmě neplatí, protože např. alternující harmonická řada n (—l)n 1 — konverguje (viz Příklad 156), n=l ale příslušná řada absolutních hodnot je harmonická řada oo ^ —, která diverguje k oo (viz Příklad 146). n=l □ Má tedy smysl zavést následující definici. Definice 26 (Absolutní a relativní konvergence). Řada ^^10 an konverguje absolutně (je abso-lutně konvergentní), pokud konverguje příslušná řada absolutních hodnot, tj. pokud konverguje řada oč) i i n=0la™r Jestliže nekonečná řada ^^10 an konverguje, ale nekonverguje absolutně, potom říkáme, že tato řada konverguje relativně (je relativně konvergentní). (Pro termín relativní konvergence lze v literatuře lze najít i jiné názvy, např. konverguje neabsolutně či podmíněně). □ Příklad 158. (a) Alternující harmonická řada oo ^ (—l)n_1 — konverguje relativně (viz Poznámka 34). n=l (b) Nekonečná řada 1 1111 V (-l)n_1 ^ = 1- t + 7:-7H + ^---- konverguje absolutně, ^—' nz 4 9 16 25 n=l protože příslušná řada absolutních hodnot 00 1 1111 E— = H---1---1---1---h • • • konverguje (viz Příklad 147, kde p = 2). ZL Q 1 fí n2 4 9 16 25 n=l □ 127 Rozdíl mezi absolutně a relativně konvergentní řadou je zejména v tom, že členy absolutně konvergentní řady můžeme libovolně přeskládávat a nejenže dostaneme opět konvergentní řadu, ale tato nová přeskládaná řada bude mít stejný součet jako řada původní. V následující větě ukazujeme, že relativně konvergentní řada má dostatek kladných členů (tj. pokud se kladné členy sečtou, dostaneme +00) i záporných členů (tj. pokud se záporné členy sečtou, dostaneme —00), aby převážily libovolný konečný počet členů původní řady. Věta 48. Nechť je řada ^™=() a„ relativně konvergentní, tj. ^™=0 on konverguje, ale ^™=0 \an\ diverguje. Označme := max{an, 0}, a~ := min{an, 0}. Potom jsou obě nekonečné řady ^™=0 a+ i ^™=0 a~ divergentní, neboli 00 00 n=0 n=0 Důkaz. Z definice vyplývá, že a+ je rovno číslu an, pokud je an kladné, jiank je a+ = 0. A naopak, a~ je rovno číslu an, pokud je an záporné, jinak je a~ = 0. Uvedené řady En"=o an a Eľ=o an Jsou tedy řady kladných a záporných členů původní řady ^™=0 an. Nastává pro ně tedy právě jedna z následujících možností: ^™=0 a+ konverguje nebo diverguje k +00, ^™=0 a~ konverguje nebo diverguje k —00. Celkově je tedy možné zkombinovat tyto možnosti: 1. obě řady Eľ=o an a Eľ=o an konvergují, 2. řada En"=o an konverguje a řada ^™=0 a~ diverguje (k —00), 3. řada En"=o an diverguje (k +00) a a~ konverguje, 4. obě řady Y^=0 a+ a Y^=0 a~ divergují. V prvním případě, kdy obě řady En"=o an a Eľ=o an konvergují, by konvergovaly i řady 00 00 00 00 ^ ] I an I = ^ ] an 1 ^ ] I an I = — ^ ] I an I) n=0 n=0 n=0 n=0 a proto by konvergovala i řada En"=o \an\- Tj. původní řada by konvergovala absolutně, což je spor s předpokladem, že řada absolutních hodnot diverguje. Ve druhém případě by byl součet původní řady roven —00 (jakožto součet nezáporného čísla a —00), což je spor s tím, že původní řada konverguje. Ve třetím případě by byl součet původní řady roven +00 (jakožto součet nekladného čísla a +00), což je spor s tím, že původní řada konverguje. Zbývá tedy poslední čtvrtá možnost, což je tvrzení věty. □ Naproti tomu členy relativně konvergentní řady nelze přeskládávat vůbec. Lze totiž jednoduše ukázat, že různým přeskládáním téže relativně konvergentní řady lze vytvořit řadu divergující k ±00, konvergující k libovolně předem zvolenému reálnému číslu, či řadu oscilující. To vyplývá z toho, že v relativně konvergentní řadě musí být součet všech kladných členů 00 a součet všech záporných členů —00, a při tom musí členy samotné konvergovat k nule (protože pro konvergentní řadu musí být splněna nutná podmínka konvergence, viz Věta 40). 128 Příklad 159. Ilustrujme tuto skutečnost například na relativně konvergentní alternující harmonické řadě (viz Příklad 158(a)) = i__ +---+---+---+ ... 56 y ! n 2345678 y ! n=l Nejprve si všimněte, že součet všech kladných členů je nekonečná řada 1 1 1 H---1---1---1----= oo, _.. _ 3 5 7 n=l ^ 2n - 1 n=l která skutečně diverguje k oo (např. podle integrálního kritéria, viz Věta 43). A dále součet všech záporných členů je nekonečná řada ^\2n 2468 n=l v 7 která skutečně diverguje k —oo (např. podle integrálního kritéria, viz Věta 43). Potom vhodným přeskládáním členů alternující harmonické řady (56) lze získat nekonečnou řadu, která (a) diverguje k oo: Vezměme nejprve jeden kladný člen, tj. „součet" je roven 1 > 1 Přidejme nyní jeden záporný člen a tolik kladných členů, aby byl součet > 2 , tj. součet je pak 1111 1 1-- + - + - + - + -- - + — « 2.004063454 > 2. 2 3 5 7 41 (K tomu je zapotřebí k té 1 přidat 20 kladných členů.) Potom přidejme další (druhý) záporný člen a tolik kladných členů, až je součet Potom přidejme další (třetí) záporný člen a tolik kladných členů, až je součet > 3 > 4 Potom přidejme další (čtvrtý) záporný člen a tolik kladných členů, až je součet > 5 . Uvědomte si, že kladných členů je vždy dostatek, abychom překročili stanovenou hranici, protože součet těchto kladných členů je roven oo. Tímto způsobem po nekonečně mnoha krocích vyčerpáme všechny kladné i všechny záporné členy, tedy původní řadu vlastně „přerovnáme", přičemž výsledný součet evidentně roste nade všechny meze. Tedy tato přerovnaná řada diverguje k oo. (b) diverguje k — oo: • Podobně jako v části (a) vytváříme součty, které jsou postupně < — 1, < —2, < —3, atd. 129 (c) konverguje k předem zvolenému reálnému číslu: Zvolme si nejprve nějaké číslo s G IR, ke kterému má přerovnaná řada konvergovat (např. s = 7553). Nejprve vezměme tolik kladný členů, až je jejich součet > s . Přidejme nyní tolik záporných členů, až je výsledný součet < s . Přidejme nyní tolik dalších kladných členů, až je výsledný součet > s Přidejme nyní tolik dalších záporných členů, až je výsledný součet < s Uvědomte si, že kladných či záporných členů je vždy dostatek, abychom překročili stanovenou hranici s, protože součet kladných členů je oo a součet záporných členů je — oo. A protože přidáváme stále se (v absolutní hodnotě) zmenšující se členy, výsledný součet po takových krocích „přeskakuje" zvolenou hodnotu s a současně se k číslu s nekonečně blíží. Současně tímto způsobem vyčerpáme všechny členy původní řady. Tedy takto přerovnaná řada konverguje právě k číslu s. (d) osciluje: Můžeme si dokonce zvolit, mezi jakými mezemi bude přerovnaná řada oscilovat. Zvolme si proto libovolná dvě čísla a, b G IR, a < b (např. a = —2 a b = 3). Nejprve vezměme tolik kladný členů, až je jejich součet > b . Přidejme nyní tolik záporných členů, až je výsledný součet < a . Přidejme nyní tolik dalších kladných členů, až je výsledný součet > b . Přidejme nyní tolik dalších záporných členů, až je výsledný součet < a Uvědomte si, že kladných či záporných členů je vždy dostatek, abychom překročili stanovené hranice b a a, protože součet kladných členů je oo a součet záporných členů je — oo. A protože přidáváme stále se (v absolutní hodnotě) zmenšující se členy, výsledný součet po takových krocích „přeskakuje" zvolené hodnoty b (shora) a a (zdola). Současně tímto způsobem vyčerpáme všechny členy původní řady. Tedy takto přerovnaná řada osciluje (mezi čísly a a b). Takže u relativně konvergentních řad nelze v žádném případě měnit pořadí jednotlivých členů, zatímco u absolutně konvergentních řad lze pořadí jednotlivých členů měnit libovolně. □ 130 Příklad 160. (a) V tomto příkladu si ukážeme, že i když obě řady ^^=1 a« a ^2n=i konvergují, potom řada ^2^=1 {o-n ' bn) konvergovat nemusí. Uvažujme nekonečné řady, kde an = bn := (—l)n_1Potom jsou příslušné nekonečné řady n=l n=l n=l n=l konvergentní, což plyne Leibnizova kritéria (viz Věta 46), zatímco řada součinů oo oo / -|\2oo.. n=l n=l x v / n=l diverguje k 00, viz Příklad 146. (b) Na druhou stranu může nastat i situace, že takováto řada součinů J^I-l (an ■ cn) konverguje, přestože jedna z řad ^^=1 a« nekonverguje. Vezměme si např. řadu n=l n=l v která diverguje k 00 (viz Příklad 147, kde p = |), zatímco řada součinů j:k.c„).e (_irlj=.^ ^(-d-i n=l n=l n=l konverguje podle Věty 46. □ 4.5. Mocninné řady. V Odstavci 2.20 jsme ukázali, jak k dané funkci f(x) přiřadit Taylorův polynom stupně n (se středem v daném bodě x0), který aproximuje funkci f(x) v okolí bodu x0. V Poznámce 18 jsme pak naznačili, že lze takto získat i polynom „nekonečného stupně", neboli nekonečnou mocninnou řadu. Definice 27 (Mocninná řada). Nekonečná řada tvaru En 2 s an x = do + ai x + a2 x + 03 x + ■ ■ ■ n=0 se nazývá mocninná řada se středem v bodě x0 = 0. Podobně, nekonečná řada tvaru an (x — Xo)n = clq + ai (x — xq) + a2(x — xq)2 + 03 (x — xq)3 + • • • n=0 se nazývá mocninná řada se středem v bodě xq. Bod xq se nazývá střed mocninné řady a čísla clq, ai, a2, 0-3, ■ ■ ■ její koeficienty. □ Jedná se vlastně o zobecnění pojmu polynom do té roviny, že nyní povolujeme i „polynomy stupně 00". 131 Příklad 161. (a) Pokud vezmeme všechny koeficienty &n — 1 cl Xq = 0, dostaneme mocninnou řadu oo ^2 xn = 1 + x + x2 + x3 H---- n=0 Tato řada je geometrická s počátečním členem a = 1 a kvocientem q = x a tedy podle Tvrzení 10 tato řada konverguje pro \x\ < 1, přičemž její součet je Tuto skutečnost budeme vyjadřovat zápisem pro x G (-1,1). (57) J2' X Všimněte si, že tato řada diverguje k oo pro x = 1 a osciluje pro x = — 1 a tedy otevřený interval uvedený v (57) je maximální možný interval konvergence pro tuto mocninnou řadu. (b) Podobně, mocninná řada oo J2(-l)nxn = 1-x + x2 -x3 + ••• n=0 je geometrická s počátečním členem a = 1 a kvocientem q = —x a tedy podle Tvrzení 10 tato řada konverguje pro \x\ < 1, přičemž její součet je , = t-j-. Tedy platí pro x E (—1,1). oo x;(-i)nzn = Všimněte si, že tato řada osciluje pro x = 1 a diverguje k oo pro x = — 1 a tedy uvedený otevřený interval je maximální možný interval konvergence pro tuto mocninnou řadu. (c) Mocninná řada s an = n=0 (-l)r a středem x0 = 2 je řada = l-\(x-2) + -A(x-2)2-l-(x-2)3 + která je také geometrická s počátečním členem a = 1 a kvocientem g = — Tedy podle Tvrzení 10 tato řada konverguje pro l^^l < 1, tj. pro x E (0,4), přičemž její součet je E n=0 ("IX (x - 2)' 2+X-2 2 pro i G (0,4). □ Z výše uvedených příkladů je vidět, že součet mocninné řady je funkce s(x) proměnné x, přičemž je potřeba určit jak součet řady s(x) tak i pro která x G IR tato řada konverguje. Při studiu konvergence mocninných řad budeme používat kritéria z Odstavce 4.2, která aplikujeme na příslušnou řadu absolutních hodnot (protože se jedná o kritéria pro nekonečné řady s nezápornými členy). Zřejmě takto získáme informaci o absolutní konvergenci dané mocninné řady. 132 Příklad 162. Určete, pro které hodnoty x konverguje mocninná řada n=l X n 2^4-5 /■>> y y y tXj tXj tXj tXj X 4 5 Řešení. Podle podílového kritéria (Věta 44) je un+l 1 j.n+1 n+1 n Un -xn n n + 1 fI ~~^ fI pro n ~~^ °°- A tedy pro |rr| < 1 tato řada konverguje (absolutně) a pro |rr| > 1 nekonverguje (zřejmě pro x < — 1 diverguje k — oo a pro x > 1 osciluje). Pro x = — 1 se jedná o zápornou harmonickou řadu ^ ( n n=l v která diverguje k —oo. A pro x = 1 se jedná o alternující harmonickou řadu, která konverguje (relativně). Celkově tedy uvedená mocninná řada konverguje pro x G (—1,1] , přičemž pro x G (—1,1) konverguje absolutně. V Příkladu 170 pak určíme součet této mocninné řady. Příklad 163. Určete, pro které hodnoty x konverguje mocninná řada t]c t]c t]c t]c Y ~ T + T □ 2n-l ^y ' 2ri-l 3 n=l Řešení. Podle podílového kritéria (Věta 44) je u n+l U n 1 2(n+l)-l 2(n+l)-l 1 T2n-1 2n-l 2n - 1 277+1 x2\ —řx2 pro 77 —> oo. A tedy pro x2 < 1 tato řada konverguje (absolutně) a pro x2 > 1 nekonverguje (zřejmě osciluje). Pro x = 1 se jedná o alternující řadu y (-1T-1 = 1-- + ---H----, (58) ^y 1 277 - 1 357' y 1 n=l která konverguje (relativně) podle Věty 46. A pro x = —1 se jedná o řadu s opačnými znaménky, než je řada (58), tedy se opět jedná o alternující řadu, která konverguje (relativně). V Příkladu 171 určíme součet této řady. Celkově tedy uvedená mocninná řada konverguje pro x G [—1,1] , přičemž pro x G (—1,1) konverguje absolutně. □ 133 Příklad 164. Určete, pro které hodnoty x konverguje mocninná řada 00 n 2 3 4 5 Et]c t]c t]c t]c t]c — = 1 + x H---1---1---1---h • • r>l 9 fi 94 19Í1 n=0 Řešeni. Podle podílového kritéria (Věta 44) je un+l 1 ™n+l (n+1)! x n! Un — ÍCn n! (n + 1)! n + 1 |rr| —)• 0 pro n —> 00. A tedy tato řada konverguje (absolutně) a pro každé x G Zřejmě jste již odhadli, že součet této mocninné řady je funkce ex. Příklad 165. Určete, pro které hodnoty x konverguje mocninná řada ^n\xn = 1 + x + 2x2 + 6x3 + 2Ax4 + 120x5 □ n=0 Řešeni. Podle podílového kritéria (Věta 44) je un+l U n (n + l)\xn+1 nl x' (n + 1) |rr| —> 00 pro n —> 00. A tedy tato řada konverguje pouze pro x = 0 a nekonverguje pro každé i^O. Zřejmě diverguje k 00 pro x > 0 a osciluje pro x < 0. □ 4.6. Poloměr konvergence mocninné řady. Každá mocninná řada konverguje ve svém středu, protože pro x = xq se jedná o nulovou řadu. Dále ze srovnávacího kritéria (Věta 42) plyne následující. Tvrzení 12. Uvažujme mocninnou řadu an (x — Xo)n = CLq + CLi (x — Xq) + 0,2 (x — Xq)2 + 03 (x — Xq)3 + (59) n=0 (i) Jestliže tato mocninná řada konverguje pro nějaké x = c, potom konverguje absolutně pro všechna x G IR, pro která je \x — xq\ < \c — xq\. (ii) Jestliže tato řada nekonverguje (tj. diverguje k ±00 nebo osciluje) pro nějaké x = d, potom nekonverguje pro všechna iGl, pro která je \x — x$\ > \d — xq\. Graficky lze obsah Tvrzení 12 znázornit následovně (viz obr.). Tedy pro každou mocninnou řadu (59) nastává právě jedna z následujících možností: • Existuje číslo R > 0 takové, že tato mocninná řada konverguje absolutně pro \x — x0\ < R, tj. pro x G (x0 — R, Xq + R) a nekonverguje pro \x — x0\ > i?, tj. pro x < x0 — R a pro x > x0 + R. Rada může a nemusí konvergovat v každém z krajních bodů x = xq — R a x = xq + R. 134 • Tato mocninná řada konverguje absolutně pro všechna x G IR (v tomto případě klademe R := oo). • Tato mocninná řada konverguje pouze pro x = xq a nekonverguje pro všechna i/O (v tomto případě klademe R := 0). Číslo R mající výše popsané vlastnosti nazýváme poloměr konvergence mocninné řady (59). Pokud je R > 0 (tj. pokud nastane první nebo druhá z výše uvedených možností), potom hovoříme o intervalu konvergence či o konvergenčním intervalu. Příklad 166. (a) Pro mocninné řady (viz Příklady 161(a), (b)) n=0 n=0 je poloměr konvergence R = 1 (b) Pro mocninnou řadu (viz Příklad 161 (c)) " ("I) ^ ^ On ^X ^) n=0 je poloměr konvergence R = 2 (c) Pro mocninné řady (viz Příklady 162 a 163) oo n oo n=l 2n-l n=l je poloměr konvergence J? = 1 (d) Pro mocninnou řadu (viz Příklad 164) E n=0 je poloměr konvergence R = oo (e) Pro mocninnou řadu (viz Příklad 165) n=0 je poloměr konvergence R = 0 Pro poloměr konvergence i? mocninné řady platí následující. □ 135 Věta 49 (O poloměru konvergence mocninné řady). Pokud existuje limita (vlastni nebo nevlastni) lim \/|an| = a, připadne lim %+l (60) potom poloměr konvergence mocninné řady (59) je 1 R pro a > 0, pro a = 0, pro a = oo. Důkaz. Vztah pro poloměr konvergence R plyne z podílového kritéria (Věta 44), resp. z odmocni-nového kritéria (Věta 45). Pokud totiž existuje limita v (60), potom je an+i (x - x0)n+1 un+l Ur, an (x - x0)t an+l \x — Xq\ —> a ■ \x — xq\ pro n —> oo, resp. \/\an [x — Xo)n\ = \/\an\ ■ y/\x — xq\h = \/\an\ ■ \x — xq\ —> a ■ \x — xq\ pro n —> oo. Tedy mocninná řada konverguje (absolutně), pokud ]e a ■ \x — x0\ < 1, a nekonverguje, pokud je a ■ \x — x0\ > 1. Pro a ■ \x — x0\ = 1 konvergovat může i nemusí. To znamená, že pokud je a > 0, řada konverguje pro \x — x0\ < ^ a nekonverguje pro \x — x0\ > ^, neboli R = -. a Pokud je a = 0, je a ■ \x — x0\ = 0 < 1 pro všechna x G IR, a tedy řada konverguje pro všechna x G IR, neboli R = oo. A pokud je a = oo, je a ■ \x — x0\ = oo > 1 pro všechna x ^ x0, neboli řada nekonverguje pro všechna x ^ x0, neboli R = 0. □ Poznámka 35. (i) Předpoklad existence limity v (60) je příliš silný. Lze ukázat, že stačí místo limity použít limitu superior (která existuje vždy), tj. lim sup Á/|an| = a, případně lim sup (ii) Z Poznámky 33 plyne, že pokud existuje limita limn^00 | ^— | = a, potom také existuje limita limn^00 ^/|an| = a (a tyto dvě limity jsou si rovny). (iii) Může ale nastat situace, že limn^oo Á/|an| = a existuje, zatímco limn^oo | i^lL | neexistuje (viz např. Příklady 151 a 152). Je tedy vidět, že stačí vždy počítat poloměr konvergence pomocí vzorečku s limn^oo >/|an| = a (pokud tedy tato limita existuje jako vlastní nebo jako nevlastní). □ an+l 136 Příklad 167. (a) Pro mocninné řady z Příkladu 166(a) platí an+l lim lim — = 1, n—>oo 1 a proto je podle Věty 49 (kde a = 1) jejich poloměr konvergence roven R = 1 . Všimněte si, že podle Poznámky 35(ii) je také lim \/|an| = lim \/l = lim 1 = 1. (b) Pro mocninnou řadu z Příkladu 166(b) platí lim an+l lim 2^+1 lim - = -, n—>oo n—>oo 2 2 ' 2" a proto je podle Věty 49 (kde a = |) její poloměr konvergence roven R = 2 . Všimněte si, že podle Poznámky 35(ii) je také lim v/KJ= lim \ 7^ n—>oo n—>oo y Z (c) Pro mocninné řady z Příkladu 166(c) platí lim 1 _ 1 2 ~ 2' resp. lim lim an+l an+l lim i n+l lim n^oo n+l 1 2n+l 2n - 1 lim -= 1, lim , — n->oo--- n->oo 2n + 1 2n—1 a proto je podle Věty 49 (kde a = 1) jejich poloměr konvergence roven R = 1 . Všimněte si, že podle Poznámky 35(ii) je také lim vl^ňí = lim {/- n—>oo n—>oo y 72 1 Věta 5(ii) (54) lim ^/n resp. lim \/|an| = lim 2n - 1 přičemž poslední limita se spočítá 1'Hospitalovým pravidlem podobně jako (54). (d) Pro mocninnou řadu z Příkladu 166(d) platí i lim an+l lim (n+1-1' = lim lim n^oo (n + l)! n^oo n + l o, a proto je podle Věty 49 (kde a = 0) její poloměr konvergence roven | R = oo (e) Pro mocninnou řadu z Příkladu 166(e) platí lim an+l (n + l)! , , lim -j-= lim (n + 1) = oo, a proto je podle Věty 49 (kde a = oo) její poloměr konvergence roven R = 0 □ 137 Mocninné řady (jakožto „polynomy" nekonečného stupně) sdílejí s polynomy všechny důležité vlastnosti. Zejména, jak uvidíme níže, — součet mocninné řady je spojitá funkce, — mocninnou řadu můžeme derivovat člen po členu, přičemž se nemění poloměr konvergence, — mocninnou řadu můžeme integrovat (neurčitým i určitým integrálem) člen po členu, přičemž se nemění poloměr konvergence. Pro jednoduchost uvádíme tyto vlastnosti pro mocninné řady se středem v bodě ir0 = 0, ale evidentně tyto vlastnosti platí pro mocninné řady s libovolným středem ir0, přičemž konvergenční interval se změní z (—R,R) na interval (ir0 — R, x0 + R). Věta 50 (Spojitost mocninné řady). (i) Nechť má mocninná řada ^^10 an xn poloměr konvergence R > 0 (R E M. nebo R = oo), tj. ^^anirn = s(ir) pro x e (—R, R). n=0 Potom je součet s(x) této řady spojitá funkce na intervalu (—R, R). (ii) Je-li R < oo a je-li tato řada konvergentní v pravém krajním bodě x = R, potom je součet s(x) funkce spojitá zleva v bodě x = R, tj. platí oo '^^anRn = lim s(ir). n=0 (iii) Je-li R < oo a je-li tato řada konvergentní v levém krajním bodě x = —R, potom je součet s(x) funkce spojitá zprava v bodě x = —R, tj. platí oo ^an(-i?)n= lim s (x). n=0 X^ R Příklad 168. V Příkladu 161 vidíme, že součet mocninné řady je spojitá funkce na příslušném konvergenčním intervalu. Vlastnost z bodu (ii) ve Větě 50 budeme ilustrovat v Příkladu 170 (tento příklad vyžaduje „znalost" integrování mocninné řady, kterou probereme níže ve Větě 52). □ Věta 51 (Derivace mocninné řady). Nechť má mocninná řada "Y^=oanxn poloměr konvergence R>0 (ReR nebo R = oo), tj. oo s(x) = an xn = ao + ai x + a2 x2 + 03 x3 + a4 x4 + • • • pro x e (-R, R). n=0 138 Potom má funkce s(x) na intervalu (-R, R) derivace všech řádů, přičemž platí oo s\x) = n an x^1 = ai + 2 a2 x + 3 03 x2 + 4 a4 x3 + • • • pro x G (—-R, -R), n=l = + l)an+ii". n=0 Tedi/ mocninnou řadu můžeme derivovat člen po členu (tedy lze zaměnit pořadí sumace a derivace), přičemž se nemění poloměr konvergence. Důkaz. Ukažme si alespoň, že se při derivování mocninné řady nemění poloměr konvergence. Nechť a je číslo z Věty 49, které určuje poloměr konvergence R (původní řady). Potom pro derivovanou řadu platí (n + 2)an+2 n + 2 an+2 (8) ----=-•- —f 1 • a = a pro n —> 00. (n + l)an+1 ^_+J> an+i Tedy podle Věty 49 je poloměr konvergence derivované řady roven R, tj. je stejný, jako je poloměr konvergence původní řady. □ Poznámka 36. Pro derivace vyšších řádů pak platí podobně s"(x) = X^ n(n — 1) an xn~2 = 2 a2 + 6 03 x + 12 04 x2 + 20 05 x3 n=2 = X (n + 2) (n + 1) an+2 a podobně pro s'"(x), s^(rr), atd. -x n=0 Zejména tedy můžeme vyšetřovat vlastnosti mocninné řady z kapitoly 2 na intervalu (—R, R) týkající se monotonie, lokálních extrémů, konvexnosti/konkávnosti, inflexních bodů, atd. □ Příklad 169. Určete poloměr konvergence a součet mocninné řady ^nin=a: + 2i2 + 3i3 + 4i4H---- n=l Pomocí získaného výsledku určete součet řady A n _ 1 2 3 4 5 n=l Řešení. Poloměr konvergence určíme z Věty 49: an+i n + 1 n 1 1 —— =--> 1 = a, R=- = l. an n a Tedy řada konverguje pro x G (—1,1) a zřejmě nekonverguje v krajních bodech tohoto intervalu. 139 Protože je nxn 1 = (xn)', součet této řady určíme z věty o derivaci mocninné řady (Věta 51): oo oc nxn = x ■ n=l n=l nx11 1 = x 00 / 00 y / „ \ y>»)< = *. y>» = *. n=l ^ n=l ' ^ ' = X a; (1 -xf Volbou x = \ pak dostáváme, že En n=l é)2 □ Věta 52 (Neurčitý integrál mocninné řady). Nechí má mocninná řada Y^=oanxn pc/oměr konvergence R > 0 (7? G R nefro R = oo), tj. oc s(x) = an a;n = a0 + ai x + a2 x2 + a3 x3 + a4 x4 + • • • pro x G (—R, R). n=0 Potom na intervalu (—R, R) platí 9 s 4 *Xj tX-j tXj j s(x) dx = an —— = a0 x + ai — + a2 — + a3 n=(í n + 1 + C pro x e (-R, R), ^ n n=l Tedy mocninnou řadu můžeme integrovat člen po členu (tedy lze zaměnit pořadí sumace a integrování), přičemž se nemění poloměr konvergence. Příklad 170. Určete součet mocninné řady (viz Příklad 162) Em: n=l n~ — xn = X n 2 s 4 "i mAj mAJ *Aj *Aj 4 5 a tedy pro x = 1 také součet alternující harmonické řady (viz Příklady 156 a 155) n=l .x 1 _ 1111 ň=1_2+3~4+5 Řešení. V Příkladu 162 jsme ukázali, že tato mocninná řada konverguje pro x G (—1,1]. Protože je „n+l II I - = f xndx, součet této řady určíme z věty o integraci mocninné řady (Věta 52): OO OO OO / r. \ ľ f \ E(-l)B_1^B = E(-1)n^Ti = E((-1)n hnáx) = / U>*)n)dx n=l n=0 " ^ 1 n=0 V 7 / J \ n=0 / "Z 1 +X dx = ln(l + a:) + C pro x G ( — 1,1). 140 Protože je pro x = 0 tato mocninná řada konvergentní se součtem 0 (každá mocninná řada má ve svém středu součet 0), po dosazení za x = 0 dostaneme rovnici 0 = ln 1 + C, tedy C = 0. Je tedy pro x G (—1,1) A dále, protože tato řada konverguje v pravém krajním bodě x = 1 (je to alternující harmonická řada), je podle věty o spojitosti mocninné řady (Věta 50(ii)) oo 1 n=l ln2 tj- In2 = 1 2 3 4 5 □ Příklad 171. Určete součet mocninné řady (viz Příklad 163) (_1)n-l E n=l 2n - 1 t]c t]c t]c t]c 5 7 9 Řešení. Z Příkladu 163 víme, že tato řada konverguje pro x G [— 1,1] a konverguje absolutně pro x G (—1,1). Protože je x2™+1 = J x2n dx, součet této řady určíme z věty o integraci mocninné řady (Věta 52): r.2n+l 00 E & = E ( - d" in = E ((-d" / -2" dx)=j (E(--2)' n=l n=0 n=0 v ^ / ^ \ n=Q dx 1 + X' dx = arctgx + C pro x G (—1,1). Protože je pro x = 0 tato mocninná řada konvergentní se součtem 0 (každá mocninná řada má ve svém středu součet 0), po dosazení za x = 0 dostaneme rovnici 0 = arctgO + C, tedy C = 0. Je tedy ^(-lf-1 > -x ^ 2n - 1 2n-l arctgrr pro x G (—1,1). n=l A dále, protože tato řada konverguje v pravém krajním bodě x = 1, je podle věty o spojitosti mocninné řady (Věta 50(ii)) (_1)n-l E n=l 2n — 1 ni- lim arctg x = arctg 1 7t 1111 ti. - = 1---1-----h - J 4 3 5 7 9 Podobný vztah platí pro x = — 1, protože tato mocninná řada konverguje i v levém krajním bodě x = —1. Celkově tedy platí vztah pro x G [—1,1]. □ 141 Věta 53 (Určitý integrál mocninné řady). Nechť má mocninná řada ^2^=0 an xH poloměr konvergence R > 0 (R E M. nebo R = oo), tj. oo s (x) = an xn = a0 + aľ x + a2 x2 + a3 x3 + a4 x4 + ■ ■ ■ pro x E (—R, R). n=0 Potom pro libovolný interval [a, b] C (—R, R) platí ľ - , / ľ \ / s (x) dx = ian xn dx J = X n+1 n + 1 fen+l \ ~ / aa+l n=0 x 7 n=0 v n=0 x a 7 n=0 Tedi/ mocninnou řadu můžeme integrovat člen po členu (tedy lze zaměnit pořadí sumace a integrování). Příklad 172. Určete součet řady n=l Řešení. Protože platí 1 1 i 1 1 1 n2n ~ l-2 + 2-22 3 • 23 4 • 24 1 1 2 - ľ (n + 1) 2n- f-i _n + l _ 0 'Jo 25 je podle věty o určitém integrálu mocninné řady (Věta 53) n=l n=0 x ' n=0 oo / „I 2 xn dx xn j di n=0 2 1 1 — X dx [-ln(l - a:)] *--ln(l-- (-lnl) = -ln ln T ln2 Tedy platí, že ln2 1-2 2 • 22 3 • 23 4 • 24 5 • 25 □ 4.7. Taylorovy a Maclaurinovy řady. Pokud se v Taylorově polynomu (viz Odstavec 2.20) budou brát členy se stále vyššími derivacemi (až do nekonečna), dostaneme Taylorovu řadu příslušnou k dané funkci f(x). Definice 28 (Taylorova a Maclaurinova řada). Nechť f(x) je funkce, která má na nějakém intervalu (obsahujícím bod x0 jakožto vnitřní bod) derivace všech řádů. Taylorova řada se středem v bodě x0 příslušná k funkci f(x) je mocninná řada n=0 (61) f(xo) + f M {x - x0) + f"(xo) (x - x0) H---— (x - x0) + 3! 4! (x - Xq)4 + Tzn. Taylorova řada je mocninná řada se středem v bodě x$ a koeficienty an /(k)(xq) 142 Pokud je x0 = 0, potom se Taylorova řada nazývá Maclaurinovou řadou příslušnou k funkci f(x), n! v 7 v 7 2 3! 4! n=0 Tzn. Maclaurinova řada je mocninná řada se středem v bodě 0 a koeficienty an = -—p^. □ ni V předchozí definici si připomeňme zavedenou konvenci, že f^°\x) := f{x) („nultá derivace" je samotná funkce) a že je definováno 0! := 1. Příklad 173. (a) Protože má funkce f(x) = sinx derivace všech řádů a hodnoty funkce sinrr a jejích derivací v bodě xq = 0 jsou postupně 0, 1, 0, —1, 0, 1, 0, —1, atd. (viz Příklad 83), Maclaurinova řada pro funkci sinx je tvaru Eí"1)" T2n+1 _™_j_™3,j_5_j_7j____ 2n + l! 3! 5! 7! n=0 v 7 Její poloměr konvergence je R = oo (podle Věty 49), tj. tato řada konverguje pro všechna x eR. (b) Protože má funkce f(x) = cosx derivace všech řádů a hodnoty funkce cosrr a jejích derivací v bodě xq = 0 jsou postupně 1, 0, —1, 0, 1, 0, —1, 0 atd. (viz Příklad 84), Maclaurinova řada pro funkci cosx je tvaru f B|!x2n = 1_l 2 1 4_1 6 + ... ^ (2n)\ 2! 4! 6! n=0 v ' Její poloměr konvergence je R = oo (podle Věty 49), tj. tato řada konverguje pro všechna x eR. (c) Protože má funkce f(x) = ex derivace všech řádů a hodnoty funkce ex a jejích derivací v bodě Xq = 0 jsou všechny rovny 1 (viz Příklad 85), Maclaurinova řada pro funkci ex je tvaru °° 1 1111 \^ — xn = l + x + -x2 + — x3 + — x4 + — x5 + ■■■ ^ n\ 2! 3! 4! 5! n=0 Její poloměr konvergence je R = oo (viz Příklady 164 a 166(d)), tj. tato řada konverguje pro všechna i G K. (d) Protože má funkce f(x) = ln(l + x) derivace všech řádů a hodnoty funkce ln(l + x) a jejích derivací v bodě x0 = 0 jsou postupně rovny 0, 1, —1, 2, —6, 24, —120 (viz Příklad 86), Maclaurinova řada pro funkci ln(l + x) je tvaru (n-1)! lj2lx3 1^1,5. ^ n\ 2345 ^ n n=l n=l Srovnejte tento výsledek s mocninnou řadou v Příkladu 170. Tato řada konverguje pro všechna x e (-1,1] (viz Příklad 162). □ 143 Příklad 174. Určete Taylorovu řadu funkce f(x) = ^ se středem v bodě x0 = 2. Dále určete obor konvergence této mocninné řady a případně její součet. Řešeni. Derivace funkce f(x) a její hodnoty v bodě 2 jsou následující: f(x) = x 1, f'(x) = -x'2, f"(x) =2x-3, f'"(x) = -Qx-\ f^(x) = 24 x'5, /(2) = \ = ff: f (2) = ~\ = /"(2) = 1 = 1, r(2) /(4)(2) "22' _JL = _ li 16 24' 24 _ 4!_ 32 25 ' /(") (x) = (- l)n n! oHn+1), (2) Koeficient an v Taylorově řadě tedy je /W(2) (-l)n n! 2"+! ' a proto má příslušná Taylorova řada se středem v bodě 2 tvar 2^+1 ■ n=0 Uvedená mocninná řada je geometrická řada s počátečním členem a = | a kvocientem g = — (srovnejte s podobnou řadou v Příkladu 161). Tedy podle Tvrzení 10 je tato řada konvergentní pro I I < 1, tj. pro \x — 2| < 2, tj. pro x E (0,4), a její součet je 1 - q 1 x-2 2 + (x - 2) x Alternativně lze poloměr konvergence uvedené řady spočítat z Věty 49, čili íii i an+l 2"+2 2re+1 --> — = a, 2 2 i? = - = 2. a V tomto příkladu tedy vidíme, že Taylorova řada funkce f(x) konverguje na svém konvergenčním intervalu k funkci f(x). □ Z definice Taylorovy řady (61) plyne, že tato řada konverguje k číslu f(x$) pro x = xq (protože každá mocninná řada konverguje ve svém středu). Situace v předchozím Příkladu 174 ohledně konvergence Taylorovy (či Maclaurinovy) řady k samotné funkci f(x) je „obvyklá" pro většinu funkcí. Existují ale také funkce, které mají derivace všech řádů (tudíž k nim existuje Taylorova řada), tato Taylorova řada konverguje, ale již ne k funkci f(x) (kromě bodu x$). 144 Příklad 175. Funkce í e-^, pro x^O, f(x) S [ 0, pro x = 0, je spojitá a má derivace všech řádů na celém IR. V bodě rr0 = 0 toto lze ukázat pomocí výpočtu jednostranných derivací f'_(0) a /+(0), /"(O) a f"(0), atd., viz Poznámka 4(ii). Zejména jsou všechny tyto derivace v bodě xq = 0 rovny 0. Tedy příslušná Maclaurinova řada je tvaru ±Ä, = 0 + 0.. + °. ° > + ...=m ^ n! 2 3! 1—1 n=0 Tedy jedná se o nulovou řadu, která samozřejmě konverguje pro všechna x E IR k nulové funkci s(x) = 0, která není rovna původní funkci f(x) s výjimkou x = 0. □ Otázku, kdy Taylorova (Maclaurinova) řada funkce f(x) konverguje k funkci f(x), zodpovídá následující tvrzení, které je bezprostředním důsledkem Věty 23. Věta 54 (O konvergenci Taylorovy řady). (i) Taylorova řada (61) funkce f(x) konverguje na svém konvergenčním intervalu I k funkci f(x), tj. platí rovnost f(x) = -j-(x ~ xo)n Pro všechna x E I, (62) n=o n' <í=> pro posloupnost Taylorových zbytků {Rn(x)^_Q (viz (36)) platí lim Rn(x) = 0 pro všechna x E I. n—>oo (ii) Zejména, pokud jsou všechny derivace f(n\x) stejné ohraničené na intervalu I, tj. pokud pro nějaké M > 0 je | f^n\x) | < M pro všechna n G N U {0} a pro všechna x E I, potom platí (62). Z Věty 54 vyplývá, že pokud chceme vyjádřit funkci f (x) jako nekonečnou řadu oo f(X) = ^2an (x ~ x0)n n=0 = a0 + ai (x - xq) + a2 (x - xq)2 + a3 (x - x0)3 H-----h an (x - x0)n H----, (63) potom volbou x = xq nutně dostáváme = f(xo). Dále derivováním rovnice (63) dostaneme f (x) = di + 2 a2 (x — Xq) + 3 03 (x — Xq)2 + • • • + íl CLn (x — Xq)^1 + • • • , f"(x) = 2 a2 + 6 a3 (x - x0) H-----h n(n - 1) an (x - x0)n~2 H----, f"(x) = 6a3 +■■■+ n(n - l)(n-2)an (x - rr0)n~3 + • • • , fW(x)=n\an + --- 145 Dosazením za x = x0 pak vychází, že f'(x0) = a1, f"(x0) = 2a2, /'"(i0) = 6a3, f(n)(x0) = n\an. Odsud již vyplývá, že rozvoj funkce f(x) do mocninné řady se středem v bodě xq má nutně uvedený tvar (62). Příklad 176. Uveďme si přehled Maclaurinových řad pro některé elementární funkce, se kterými se často setkáváme. (a) Pro funkci f(x) = sinx platí (viz Příklad 173(a)) siní V T2n+1 - T- — T3 + — T5- — ^(2n + l)\ 3! 5! 7! n=0 v ' x pro x E (b) Pro funkci f(x) = cos x platí (viz Příklad 173(b)) cosx = j2[-j±x2n = i-±x2 + ±x*-±xg n=0 {2n)\ 1 2 1 4 1 — x H—- x--r 2! 4! 6! pro x G (c) Pro funkci f (x) = ex platí (viz Příklad 173(c)) oo 1 n=0 2! 3! 4! 5! pro x E (d) Pro funkci f(x) = ln(l + x) platí (viz Příklady 173(d) a 170) ln(l + x) = ^ - xn = x - ^ x2 + ^ x3 - - x4 + ^ x5 n=l 1 2 1 3 1 4 1 - x + - xd--x + - 2 3 4 5 pro x G (—1,1] (e) Pro funkci f(x) = platí (viz Příklad 161 (a)) oo — = V/ = i 1-x ^ n=0 X + x2 + x3 + x4 + x5 pro x G (—1,1) (f) Pro funkci f(x) = platí (viz Příklad 161(b)) oo 1+x ^y ' n=0 n -rn — 1 _ ^. _|_ J2 — t3 -4- f 4 — t5 pro x E (—1, 1) (g) Každý polynom P(x) = a0 + cixx + a2x2 + ■ ■ ■ + anxn je svým vlastním Maclaurinovým rozvojem (na celém IR), neboť platí, že P(0)=a0, P'(0) = ai, P"(0)=2a2, P'"(0) = 2 • 3 • a3 = 3! a3, • • •, P(n)(0) = n\ an. □ 146 Výše uvedené rozvoje elementárních funkcí do nekonečných řad bychom také mohli chápat jako definice těchto funkcí (jak je skutečně provedeno ve skriptech [8]). A pak lze pomocí vlastností (např. spojitosti, derivace, integrálu, atd.) mocninných řad uvedených v této kapitole také odvodit základní vlastnosti a vztahy těchto elementárních funkcí, jako např. (siní)' = cos i, (cos x)' = — siní, (ex)' = ex, Pro rozvoje funkcí do nekonečných řad můžeme používat normální algebraická pravidla (sčítání, odčítání, násobení, substituce). Příklad 177. (a) Maclaurinova řada funkce i siní je (pro rozvoj funkce siní viz Příklad 176(a)) 1 3 1 5 1 7 />< CÍTÍ O' - O ' • I O' _ _ rjr> I _ />< _ _ />> tXj OJLJLX tXj tXj I tXj tXj tXj tXj 3! 2 1 4 , 1 fi />> _ _ />< _l_ _ / > < 5! 7! 1 3! 5! 7! i pro i G IR. siní 1/ Iq 1 c- 1 7 (b) Maclaurinova řada funkce je (pro rozvoj funkce siní viz Příklad 176(a)) 1 3! i.i„ ^ pro i G IR, i 7^ 0. 111 1---12 H—-14---16 3! 5! 7! Všimněte si, že v tohoto vzorce je snadné odvodit limitu lim^- 1 (viz Příklad 24). (c) Maclaurinova řada funkce e x2 je (pro rozvoj funkce ex viz Příklad 176(c)) 1 + t + í2 + —, í3 + t4 + í5 + • • 2! 3! 4! 5! t=—xi 1 _ T2 _l J_ T4 _ j_ 6 , j_ 8 _ j_ 10 2! 3! 4! 5! pro i G IR. □ 4.8. Aplikace nekonečných řad. Nekonečné (číselné i mocninné) řady mají mnoho aplikací. Nebudu zacházet do přílišných podrobností, ale chci zmínit alespoň následující. • Přibližné výpočty funkčních hodnot - srovnejte např. s Příklady 81 a 177. • Aproximace funkcí - srovnejte např. s Příklady 176 a 88. • Výpočet integrálů vyšších funkcí - viz Poznámka 23. Příklad 178. 147 (a) Primitivní funkce k funkci je funkce (viz Příklad 177(b)) sinrr dx x x l--x2 + -x'--xG 3! 5! 7! 1 X3 1 X5 1 X7 3! Y + 5! Y ~ 7! T + dx C neboť lze mocninnou řadu integrovat člen po členu a poloměr konvergence se integrováním nemění. (b) Primitivní funkce k funkci e 1 je funkce (viz Příklad 177(c)) 1 4 1 fi 1 8 1 2! 3! 4! 5! x" 1 x5 1 x7 1 x9 1 x11 X e 1 dx 1 _ o>z J___ — -r® J___ _ r~L0 3 3~ ' 2! 5 3! 7 ' 4! 9 5! 11 dx C x G neboť lze mocninnou řadu integrovat člen po členu a poloměr konvergence se integrováním nemění. □ Výpočet limit - viz např. Příklad 177(b). Řešení některých diferenciálních rovnic - viz např. Příklad 198. Jen tak pro zajímavost Příklad 179. Určete součet číselné řady (viz Příklad 14£ OO n=l 4 9 16 25 Řešení. Funkce má rozvoj (viz Příklad 177(b)) sinrr x l--x2 + -x'--xG 3! 5! 7! (64) Kořeny této funkce jsou zřejmě v bodech ±7r, ±27r, ±37r, ±47r, atd. a tedy tuto funkci lze „rozložit" na (nekonečný) součin kořenových činitelů x 1 - - 7t X 1 + - 7t X 1-- 2tt + 2W \ ~37r/'\ + 3W \ _ 4Ťr / "V +47 148 Porovnáním koeficientů u mocniny x2 v rozvoji (64) a (po roznásobení) v (65) dostaneme 1 _ 1 1 1 1 3! 7t2 47t2 9n2 lQn2 ' čili po vynásobení číslem —7r2 dostaneme 7t i i i i + - + - + — 4 9 16 co 1 n=l Jen pro zajímavost, tuto úvahu provedl Leonard Euler již v 18. století. □ Poznámka 37. Protože je sin | = 1, plyne ze vzorců (64) a (65) volbou x = | vyjádření f\ / f\ / f W f W f W f W f \ / f *v'\ +Ťřy V "Štt/V +2V V +3V V ~ 4tt / ' \ + 4^ 2yv 2/v 4yv 4yv 6/v 6 _13355779 ~ 2'2'4'4'6'6'8'Š''''' neboli dostáváme známý Wallisův vzorec tt_22446688 2 ~ T'3'3'5'5'7'7'9'"' pro vyjádření čísla | (a tedy i čísla 7r) pomocí nekonečného součinu. Nekonečné součiny (a otázky spojené s jejich konvergencí) ale v tomto kurzu neprobíráme, tak to berte jen jako zajímavost. □ 4.9. Řady funkcí. Stejně jako když jsme studovali mocninné řady, tj. řady „generované" mocninami xn s koeficienty an, můžeme studovat řady „generované" jinými funkcemi. Např. Fourierovy řady an cos(nx), bn sin(nrr), (an cos(nx) + bn sin(nrr)), n=0 n=0 n=0 případně můžeme uvažovat obecné řady funkcí (či funkcionální řady) n=0 přičemž fn(x) jsou funkce definované na nějakém (společném) intervalu I. V této souvislosti je pak přirozené klást otázky týkající se konvergence takové funkcionální řady, tj. pro která x G I je definována funkce 00 S(X) = Yfn(X) n=0 a jaké vlastnosti funkce s(x) bude mít (zejména týkající se spojitosti, derivace a primitivní funkce -viz příslušné Věty 50, 51, 52 a 53 o mocninných řadách). 149 Stejně jako u mocninných či číselných řad je při studiu obecných funkcionálních řad potřeba vyřešit otázku konvergence posloupnosti částečných součtů sn(x) := f0(x) + fi(x) -\-----h fn(x), tj. za jakých podmínek a na jakém intervalu konverguje (funkcionální) posloupnost sn(x) k funkci s(x), tj. sn(x) —> s(x) pro x £ I. Pro každé pevně zvolené x G / se ale jedná o číselnou posloupnost (či řadu), a proto můžeme použít všechny nástroje počínaje Odstavcem 4.1. Hovoříme pak 0 bodové konvergenci dané funkcionální řady. Ovšem je nutné zdůraznit, že již nejjednodušší vlastnosti (jako např. spojitost) funkcí fn(x) (a tedy 1 funkcí sn(x)) se při takové bodové konvergenci nepřenášejí na součtovou funkci s(x). Příklad 180. Uvažujme funkce sn(x) := xn pro x G [0,1] a n G N U {0} (viz obr.). Jedná se tedy o posloupnost částečných součtů s0(x) = 1, Si(i) = x, s2(x) = x2, s3(x) = x3, s4(i) = x4, funkcí fo(x) = 1, f1(x)=x-l, f2(x)=x2-x, f3(x)=x3-x2, fn(x) = xn - a;"-1, ... Všechny tyto funkce fn(x) jsou spojité na intervalu [0,1] pro každé n = 0,1, 2,.... Dále jsou všechny funkce sn(x) spojité na intervalu [0,1]. Přitom pro x G [0,1) je sn(x) = xn —> 0, a pro x = 1 je sn(x) = ln —> 1, n —> oo. Tedy posloupnost sn(x) bodově konverguje na intervalu [0,1] k funkci 0, pro x G [0,1) . pro x = 1, n=0 ^ ' ť ' přičemž tato funkce s(x) je nespojitá (viz obr.). □ °° í o, Efn(x) = lim sn(x) = s(x) := < ' n—>oo 1, Z Příkladu 180 je tedy vidět, že pro obecné funkcionální řady je potřeba silnější pojem konvergence, než je bodová konvergence, který bude zaručovat přenos vlastností funkcí fn(x) na součtovou funkci s(x). Tímto se dostáváme k termínu stejnoměrné konvergence na intervalu I k dalším pokročilejším partiím matematické analýzy. V tomto základním kurzu ale na tyto věci již není prostor. 150 5. Elementární diferenciální rovnice Tato kapitola je zaměřena na použití diferenciálního a integrálního počtu pro řešení některých jednoduchých diferenciálních rovnic. 5.1. Úvod a motivace. Diferenciální rovnice je rovnice, ve které se vyskytuje neznámá funkce spolu se svou derivací (či derivacemi vyšších řádů). Diferenciální rovnice slouží k modelování fyzikálních procesů (viz také konec Odstavce 2.7), vyskytují se v ekonomii, biologii, chemii, atd. Příklad 181. Příklady fyzikálních procesů, které jsou modelovány diferenciálními rovnicemi. (a) Neznámá funkce je u = u(x) (poloha bodu na přímce), m • u" = F(x) (Newtonův zákon). (b) Neznámá funkce je u = u(x, t) (teplota v bodě x na přímce v čase t), d2 ■ uxx = ut (vedení tepla na přímce). (c) Neznámá funkce je u = u(x, t) (vychýlení v bodě x na přímce v čase t), d2 ■ uxx = Utt (vlnová rovnice). (d) Neznámá funkce je 9 = 9(t) (úhel v čase t), 9" + a sin9 = 0 (matematické kyvadlo). (e) Neznámá funkce je Q = Q (t) (množství radioaktivního materiálu v čase t), Q' = —kQ (radioaktivní rozpad). □ Otázky k zamyšlení: 1. Jak poznáme, že daná diferenciální rovnice vůbec má řešení? (otázka existence řešení) 2. Je toto řešení jediné? (otázka jednoznačnosti řešení) 3. Kolik řešení existuje? 4. Jak najít toto/tato řešení? (metody řešení diferenciálních rovnic) 5. Jak určit chování případných řešení, aniž by bylo nutné danou diferenciální rovnici vyřešit? (kvalitativní vlastnosti řešení diferenciálních rovnic) Příklad 182. Diferenciální rovnice xy' + y = 0 má řešení y = ^ pro libovolné C G IR, protože y' = {Cx-1)' = —^ ^ xy' + y = x(- ^) +- = 0. xz \ xz J X Tedy tato rovnice má nekonečně mnoho řešení. □ 151 Řešení diferenciální rovnice je funkce y = y{x) (případně funkce y = y(t), y = y(x, t), apod.), která splňuje danou diferenciální rovnici. Řešení diferenciálních rovnic se obvykle najdou pomocí integrování, a proto budou obsahovat integrační konstanty (zřejmě tolik integračních konstant, kolikrát budeme integrovat). Tedy tzv. obecné řešení (tj. všechna řešení) dostaneme jako množinu danou těmito konstantami. Řešení dané počáteční podmínkou, např. y(xo) = yo (předem zadaná hodnota v daném bodě), se nazývá partikulární. Příklad 183. Obecné řešení diferenciální rovnice z Příkladu 182 je C y = —, kde C G R. x Řešení této diferenciální rovnice splňující počáteční podmínku y{\) = 1 je y = ^ (tohle je tedy partikulární řešení). □ Příklad 184. Matematicky lze každý příklad na výpočet primitivní funkce (neurčitý integrál, viz Odstavec 3.1) chápat jako diferenciální rovnici y' = f(x), přičemž hledaná neznámá funkce y se vypočítá jako y = j f {x) dx, tedy přímým integrováním. □ Řád diferenciální rovnice je řád nejvyšší derivace, která se v rovnici vyskytuje. Příklad 185. Tedy diferenciální rovnice z Příkladu 181(a-d) jsou druhého řádu, zatímco rovnice v Příkladu 181(e) je prvního řádu. □ 5.2. Diferenciální rovnice 1. řádu. V tomto odstavci se budeme podrobněji zabývat diferenciálními rovnicemi 1. řádu. Tj. jsou to rovnice tvaru y' = F(x,y). (66) Příklad 186. (a) Rovnice y' = y2 má nekonečně mnoho řešení (tedy obecné řešení) definovaných na (—oo, C) a na (C, oo) a řešení y = 0 definované na celém R. (b) Rovnice y' = 3 ^fy2 s počáteční podmínkou y(0) = 0 má řešení y = 0 a y = x3 (a také libovolnou jejich navazující kombinaci, viz obr.). Tedy existuje nekonečně mnoho řešení. □ 152 Poznámka 38. V obecné teorii diferenciálních rovnic lze ukázat, že pokud je pravá strana rovnice (66) spojitá a navíc tzv. lipschitzovská v proměnné y, tj. \F(x,yi) — F(x,y2)\ < L \yľ — y2\ pro každé x, yi, i/žGta pro nějaké univerzální L > 0, potom řešení počáteční úlohy s touto rovnicí a podmínkou y(x$) = yo skutečně existuje a je jediné - ale pouze v dostatečně malém okolí bodu xq. Navíc je zřejmé, že toto řešení bude spojité podle Věty 9 a bude mít spojitou derivaci, protože y' = F(x,y) je spojitá funkce, jak předpokládáme. □ Speciálními případy této diferenciální rovnice jsou rovnice se separovanými proměnnými a rovnice lineární, kterým se budeme blíže věnovat. 5.3. Diferenciální rovnice se separovanými proměnnými. Jedná se o rovnici tvaru v' = f(x) -g(y), tj. pravá strana z obecné rovnice (66) je F(x,y) = f(x) ■ g(y), tj. je to součin funkce proměnné x a funkce proměnné y (odtud je název této rovnice). Příklad 187. (a) Pro diferenciální rovnici x ^ x ^ y' = —7T£—šT Je f(x) = —s> 9(y) = ~, y ■ (1 + xá) 1 + xá y a proto se jedná o rovnici se separovanými proměnnými. (b) Rovnice v Příkladech 184 a 186 jsou všechny se separovanými proměnnými. (c) Rovnice y' = x + y není rovnice se separovanými proměnnými □ Pokud napíšeme derivaci y' jako podíl diferenciálů tj. y' = potom lze rovnici se separovanými proměnnými přepsat na tvar = f(x) ■ g(y), dy = f(x) dx, dx g{y) odtud název - separované proměnné. A tuto poslední rovnici vyřešíme integrací na obou stranách -na levé straně podle proměnné y a na pravé straně podle proměnné x, tj. dy = I f{x) dx + C 9 (y) (67) Integrační konstantu lze zřejmě brát pouze jednou, např. tedy na pravé straně. Dostáváme tedy následující tvrzení. Tvrzení 13 (O řešitelnosti diferenciální rovnice se separovanými proměnnými). Jsou-li funkce f : (a, b) —> IR a g : (c, d) —> IR spojité a g (y) ^ 0 na intervalu (c, d), potom má počáteční úloha y' = f(x) ■ g(y), y(x0)=y0 právě jedno řešení, které je dáno implicitně vztahem (67). Konstanta C se určí z počáteční podmínky y(x0) = y0. 153 Příklad 188. Pro diferenciální rovnici z Příkladu 187 máme x dy =_ dx y ■ (1 + x3) ydy 2 x dx x° ydy x 1 + x3 dx + x = u 3x2 dx = du 1 ľ 1 1 1 - / - du = - ln Id + C = - ln 11 + x3\ 3 J u 3 11 3 1 1 C ln II + x3\ +C Pokud je navíc zadána počáteční podmínka y(0) = 2, potom dosazením do vypočteného vztahu za x = 0 a y = 2 dostaneme rovnici 4 = C, a tedy partikulární řešení je - ln 11 + x31 + 4 3 1 1 (ve výše uvedeném vztahu bereme kladnou odmocninu, protože hodnota y(0) = 2 > 0). □ Některé další typy rovnic lze jednoduchou substitucí převést na rovnici se separovanými proměnnými. Např. diferenciální rovnice tvaru V y' = f x se pomocí substituce u = ^ (Pozor, u = u(x) je funkce proměnné x\) převede na rovnici se separovanými proměnnými. Skutečně, protože je (podle pravidla pro derivaci součinu, viz Věta 10(iii)) u ■ x = y =^ u1 ■ x + u = y' =>• du =^ —x = j(u)—u =^ dx a poslední uvedená rovnice má separované proměnné (x au). u' ■ x + u = f (u) du = — dx f (u) — u x Příklad 189. Vyřešte diferenciální rovnici y = i + -• x Řešeni. Volbou u = ^, neboli y = u ■ x, dostaneme y' = u' ■ x + u a po dosazení do rovnice du u' ■ x + u = 1 + u u ■ x = 1 du = — dx x dx x = 1 du — dx x u = ln licl + C. Zpětným dosazením za proměnnou u pak dostaneme hledané řešení y - = \n\x\+C x y = x \n\x\ + C x C e (Ověřte si derivováním, že tato funkce je skutečně řešením dané rovnice.) □ 154 5.4. Lineární diferenciální rovnice 1. řádu. Jedná se o rovnici tvaru y' = a(x) y + b (x) tj. pravá strana z obecné rovnice (66) je F(x,y) = a(x)y + b(x), tj. je to lineární funkce vzhledem k proměnné y. Příklad 190. (a) Rovnice v Příkladu 181(e) je lineární (a(x) = —k je konstanta a b(x) = 0). (b) Rovnice v Příkladech 186 a 187(a,b) nejsou lineární. (c) Rovnice v Příkladu 187(c) je lineární. Lineární diferenciální rovnici lze jednoduchým způsobem vyřešit. □ Rovnice je tzv. homogenní, tj. b(x) = 0. Potom se jedná o rovnici y' = a(x) y, což je rovnice se separovanými proměnnými dy , . Tx=a(x)y — dy = a(x) dx y — dy = / a(x) dx y ln \y\ = J a(x) dx + C ±y = efa^dx -ec \y\ = e y = efa^dx-(±ec) lib. konst. J a(x) dx+C _ J a(x) dx _ C y = cefa{x)dx C e (68) Rovnice je tzv. nehomogenní, tj. b(x) ^ 0. V tomto případě se nejprve celá rovnice vynásobí vhodnou funkcí fi(x) (tzv. integračním faktorem), aby po úpravách vznikl výraz pro derivaci součinu. Integrační faktor je funkce fj,(x) := e-{a{x)dx. Tedy platí y' — a(x) y = b(x) [y' — a(x) y\ ■ /i(x) = b(x) ■ /i(x) y' ■ e-$a{-x)dx -ya(x) ■ e-fa(x)dx = b(x) ■ e-fa(x)dx (y . e- fa(x)dx y (y .e-fa(x)dxy = b(xye-fa(x)dx y ■ e-$a{x) dx = í b(x) ■ e-$a{x) áx dx + C y = e J a(x) dx b(x)-e-$a{x)dx dx + C C e R. (69) Tedy jsme dokázali následující tvrzení. 155 Tvrzení 14 (O řešitelnosti lineární diferenciální rovnice 1. řádu). Jsou-li koeficienty a(x) a b(x) spojité funkce na intervalu (a,b), potom má počáteční úloha V' = a(x)y + b(x), y(x0) = y0 právě jedno řešení, které je na celém intervalu (a,b) definováno vztahem (69). Konstanta C se určí z počáteční podmínky y(x$) = yo. Tedy vidíme, že na rozdíl od nelineárních rovnic, které mají zaručenu existenci a jednoznačnost řešení pouze na okolí bodu x0 (viz Poznámka 38), jsou lineární diferenciální rovnice jednoznačně řešitelné na celém intervalu spojitosti pravé strany rovnice. Příklad 191. Vyřešte diferenciální rovnici y' = -3y + x. Řešení. Protože je y' + 3y = x, je integrační faktor fj,(x) = e^3dx = e3x. Potom platí y' eáx + 3y e3x = x e3x x e 3x y ■ e 3x x e3x dx + C u' = e3x v = x u v' = 1 x e 1 9 3x e3x c y=-x-- + Ce 3x y 3 9 C eR. (Ověřte si derivováním, že tato funkce je skutečně řešením dané rovnice.) □ Některé další typy rovnic lze jednoduchou substitucí převést na rovnici lineární. Například tzv. Bernoulliova rovnice y' = a(x) y + b(x) yr se pomocí substituce u = yľ~r (Pozor, u = u(x) je funkce proměnné x\) převede na rovnici lineární. Je-li r > 0, pak má rovnice také řešení y = 0, které není zahrnuté v obecném řešení. Příklad 192. Vyřešte diferenciální rovnici y' = 3y- xy2. Řešení. Jedná se zřejmě o Bernoulliovu rovnici s r = 2. Substitucí u = y 1 = ~ dostaneme u' = —y~2y' = — ^2 a tedy daná rovnice se převede na tvar / 2 v' 1 / y =3y — xy =^ --- = —3—h x =^ u = —3u + x. y2 y Poslední rovnice je lineární diferenciální rovnice pro neznámou funkci u(x). Z Příkladu 191 víme, že její řešení je funkce u = — x — — + Ce~3x. 3 9 156 Zpětným dosazením za funkci u pak dostaneme řešení původní rovnice 1 _ 1 - + Ce-** y 3 X Ce —3x C e (Ověřte si derivováním, že tato funkce je skutečně řešením dané rovnice.) Nezapomeňte také na řešení y = 0. □ Dalším trikem, který někdy může pomoci převést danou rovnici na lineární diferenciální rovnici, je záměna nezávislé a závislé proměnné x a y. Tedy místo hledání řešení jako funkce y = y (x) jej budeme hledat jako funkci x = x (y). Výsledkem potom zřejmě bude řešení zadané pomocí inverzní funkce. Příklad 193. Vyřešte diferenciální rovnici y2 — 2x Řešeni. Tato rovnice není lineární diferenciální rovnice. Platí ale dy 1 dx ^ 2 dx y2 — 2x dy ^ ' přičemž poslední rovnice už je lineární diferenciální rovnice pro neznámou funkci x = x (y). Tuto rovnici vyřešíme metodou integračního faktoru, tj. fi(y) = e2y. Řešení je potom tvaru (po dvojnásobné integraci per-partes v integrálu J y2 e2y dy) x 1 2 1 y 4 + Ce~2y C e (Ověřte si derivováním, že tato funkce je skutečně řešením dané rovnice. Derivaci y' získáte z pravidla pro derivování implicitní funkce, viz Odstavec 2.12.) □ 5.5. Aplikace lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu. V tomto odstavci probereme (na ukázku) tři aplikace lineárních diferenciálních rovnic. • Radioaktivní rozpad - Radioaktivní materiál se rozpadá rychlostí, která je přímo úměrná množství přítomného materiálu. Tedy označíme-li jako Q(t) množství [většinou gramů] radioaktivního materiálu v čase t [roků], potom musí platit rovnice Q\t) = -rQ{t) kde r > 0 je konstanta úměrnosti. Všimněte si, že materiálu zřejmě ubývá, tj. Q' < 0. Příklad 194 (Radioaktivní rozpad). Rádium-226 má poločas rozpadu 1620 let. Najděte čas potřebný k tomu, aby se dané množství Ra-226 zmenšilo na | původního množství. Řešeni. Označíme-li jako Q(0) := Qo původní množství Ra-226, potom pro hledanou funkci Q(t), která splňuje (homogenní) lineární diferenciální rovnici Q' = —rQ, platí (viz (68)) Q{t) = Ce-rt ^ Q(0) = Ce° = C C = Q0 Q(t) = Q0e-rt. 157 Nyní určíme konstantu r z informace o poločasu rozpadu: 1 n — n P-'"162o - vo — Vo e lni 2 -r •1620 lni ln 2 A nyní určíme hodnotu t, pro kterou je Q (t) = | Qq\ -Q0 = Q0e-" iní 4 ln 1620 1620 1620 ln 0.000428 [let -ii ln2 672.4 [let] □ • Výměna tepla mezi tělesem a okolím - Povrchová teplota tělesa se mění rychlostí, která je přímo úměrná rozdílu teploty tělesa a okolního prostředí (tzv. Newtonův teplotní zákon). Označme teplotu tělesa v čase t jako O(t) [°C] a teplotu okolního prostředí jako T [°C]. Potom musí platit rovnice Q'(t) = —k[Q(t) — T], kde k > 0 je konstanta úměrnosti. Všimněte si, že pokud bude teplota okolního prostředí vyšší, než je teplota tělesa (tj. pokud je O(t) < T), potom je 0' > 0 a těleso se bude zahřívat. Zatímco pokud bude teplota okolního prostředí nižší, než je teplota tělesa (tj. pokud O(t) > T), potom je 0' < 0 a těleso se bude ochlazovat. Příklad 195 (Detektivní kancelář). Je nalezena mrtvola, jejíž teplota je změřena na 26.6 °C. O 3 hodiny později je její teplota 21.1 °C, přičemž teplota okolí je 18.3 °C. Určete čas úmrtí. Řešeni. Při použití výše uvedeného značení (pro čas t v jednotkách [hodin]) máme T = 18.3, 0(0) = 26.6 (teplota v čase nalezení mrtvoly), 0(3) = 21.1, přičemž funkce 0(í) splňuje rovnici 0' = -£;(0-T) =>. Q' = -kO + kT. Poslední rovnice je lineární diferenciální rovnice pro neznámou funkci 0(í). Tuto rovnici vyřešíme metodou integračního faktoru fi(t) = ekt, tj. podle (69) je O = T + Ce-kt = 18.3 + Ce-kt, C eR. Konstanty C a, k určíme z informací o počáteční teplotě a o teplotě v čase t = 3 [hodiny], tj. 26.6 = 0(0) = 18.3 + C e° = 18.3 + C =>• C = 8.3 =>• 0 = 18.3 + 8.3 e~kt, a dále ni i _ 18 t" 21.1 = 0(3) = 18.3 + 8.3 e-3k e~3fc = ' ' 0.337 ^ -3fc = ln0.337 8.3 ln 0.337 --0.362. Tedy hledané řešení je funkce 0(í) = 18.3+ 8.3 e -0.362í Jak se určí čas úmrtí? Určíme čas t, pro který je 0(í) = 37 °C (teplota lidského těla). Tedy 18.3 +8.3 e~a362í = 37 =>• e"0-362* =-- « 2.253 =>• -0.362í = ln 2.253 8.3 158 t ln 2.253 0.362 -2.24 2 hodiny 15 minut Mrtvola byla nalezena přibližně 2 hodiny a 15 minut po smrti. □ Míchání dvou látek - např. voda a do ní roztok soli, nebo voda (jezero) a do ní nečistoty z továrny, atd. Příklad 196 (Míchání roztoku). Vodní nádrž o celkovém objemu L = 1000 [litrů] obsahuje Qq = 0 [gramů] soli v počátečním čase to = 0 [minut]. Do nádrže přitéká roztok o koncentraci soli c = 50 [gramů/litr] rychlostí v = 20 [litrů/min] a po řádném promíchání s vodou v nádrži z ní vytéká stejnou rychlostí (viz obr.). Určete množství soli Q(t) v nádrži v libovolném čase t a limitní množství pro t —> oo. Řešeni. Označili jsme jako Q(t) [g] množství soli v nádrži v libovolném čase t [min]. Potom Q'(t) udává, jak rychle se toto množství mění a přitom musí platit, že rychlost, s jakou sůl \ / rychlost, s jakou sůl do nádrže přitéká J \ z nádrže vytéká Q'it) Sůl do nádrže přitéká rychlostí c • v 50 [g/l] • 20 [l/min] = 1000 [g/min]. g/l], Qit) A protože v nádrži je vždy koncentrace soli rovna = [g/l], sůl z nádrže vytéká rychlostí v =____ [g/1] • 20 [l/mm L 1000 50 g/min]. Tedy hledaná funkce Q(t) splňuje rovnici Qit) Q'it) c ■ v L Q1 = 1000 Q 50: což je lineární diferenciální rovnice 1. řádu, a dále splňuje počáteční podmínku Q(t0) = Qo ^ Q(0) = 0. Uvedenou rovnici vyřešíme metodou integračního faktoru fl(t) = enät = eit ^ fi(t) = e^odt = e°-02t a potom je (výpočty uvádím jak pro obecnou situaci tak i pro náš konkrétní příklad) =>• Q' + 0.02 Q = 1000, (70) Q' + -Q = cv Q ei* + — eLtQ = cveL* cveĽ g/ea02i + 0.02 ea02iQ = 1000e°-02i, (Qe°-02i)' = 1000e°-02i, Qe L l — t cve^t dt = c v ——h C Q e 0.02 í .,0.02 í 1000 e0'021 dt = 1000 0.02 C, Q = 50000+ Ce -0.02 í C e 159 A protože je počáteční množství známo v (70), pro integrační konstantu C platí Q0 = Q(t0) = cL + Ce-%t0 =>• 0 = Q(0) = 50000 + Ce°, C = (Qo - c L) *o ^ ^ = -50000, a tedy výsledné partikulární řešení (udávající kolik gramů soli bude v nádrži v okamžiku t minut) je tvaru Q = cL + (Qo - cL)e^t0 e^* Q = 50000 - 50000 e -0.02 í Q = cL + (Q0-cL)e-i^-to) Q = 50000 (1 - e-a02i) Tedy v závislosti na tom, jestli je Qq > c L nebo Qq < cL, množství soli v nádrži (záporně exponenciálně) klesá nebo roste, a při Qq = c L zůstává stále stejné. Pro situaci v tomto příkladu je výsledné množství soli zobrazeno na následujícím obrázku. Obrázek 3. Graf funkce Q(t) = 50000 (l - e-°-02í) na intervalu [0,400]. Pro t —> oo je potom lim Q(t) = lim {cL + (Qq -cľ) e_H*_^} t—>oo t—>oo limQ(í) = Hm 50000 (l - e_^) ^o t—>oo t—>oo lim Q(t) = cL [g] lim Q (i) = 50000 [g] Po dostatečně dlouhé době bude tedy koncentrace soli v nádrži rovna c L 50000 Qoo = -j- = c [g/l], neboli = = 50 [g/l], což je přesně koncentrace přitékajícího roztoku (samozřejmě, po „nekonečně dlouhé době" přitékající roztok „nahradí" původní roztok v nádrži, přičemž vůbec nezáleží na původním množství Qq, tj. na tom, kolik soli bylo v nádrži na počátku). □ 160 Příklad 197 (Míchání roztoku — pokračování). Jak se změní model v předchozím Příkladu 196, pokud bude roztok po řádném promíchání s vodou v nádrži vytékat rychlostí pouze w = 19 [litrů/min] (viz obr.)? Předpokládáme-li, že nádrž má celkový objem 1600 litrů, jaká bude koncentrace roztoku v nádrži v okamžiku jejího naplnění? Řešeni. Všimněte si, že se nyní objem roztoku v nádrži mění (roste) a to rychlostí v — w = 1 [litr/min] To znamená, že nyní sůl z nádrže vytéká rychlostí Q(t) L + (v-w)(t- t0) Qit) r 711 1Q n/ . ! 19Q(r) r , . , w = -r-rz-- [g/lj • 19 [1/minJ =- [g/minj. 1000 +t 1000 +1 Výsledná diferenciální rovnice má tedy tvar Qit) Q'(t) = c-v L + (v-w)(t- t0) w Q' = 1000 19Q(r) 1000 +ť což je opět lineární diferenciální rovnice 1. řádu, přičemž řešení Q(t) splňuje počáteční podmínku (70). Příslušný integrační faktor je (nyní již pouze pro naše konkrétní hodnoty) fj,(t) = ^ = ei9i-(iooo+t) = em(iooo+í)« = (100Q + r)i9> Tedy platí ,+ 19QW =10M ^ 1000 +1 Q' (1000 + t)19 + 19 Q(t) (1000 + t)18 = 1000 (1000 + t)19 [Q (1000 + t)19]' = 1000 (1000 + t)19 (1000 +t)20 Q (1000 + t)19 = y 1000 (1000 + t)19 dt = 1000 50 (1000 + t)20 + C 20 C Q (1000 +t)19 50 (1000 +t) C (1000 +t) 19 Z počáteční podmínky (70) pak určíme hodnotu C, tj. C 0 = Q(0) = 50 • 1000 -, ioo()19 Tedy výsledné partikulární řešení je tvaru C = -50000 • 1000 19 -5 • 104 • (103) 3\19 -5 • 10 61 Q = 50 (1000 +t) 5-10 61 (1000 +t)19 a jeho graf je zobrazen na následujícím obrázku. 161 O 100 200 300 400 500 600 i Obrázek 4. Graf funkce Q{t) = 50 (1000 + t) 5-10° (1000+í)19 na intervalu [0,600]. Protože v nádrži bylo původně 1000 litrů vody a nádrž se nyní naplňuje rychlostí 1 litr/min, bude nádrž naplněna za 600 minut (tj. za 10 hodin). Tedy v okamžiku t = 600 bude v nádrži 5 • 1061 Q(600) = 50 (1600) - .^nn,1Q « 79993.4 [g] soli, tj. koncentrace soli bude (1600)19 Q(600) 79993.4 49.996 [g/l], 1600 1600 tedy tato koncentrace bude téměř stejná jako u přitékajícího roztoku. □ 5.6. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu. Lineární diferenciální rovnice 2. řáduje rovnice tvaru a(x) y" + b(x) y' + c(x) y = f (x), kde funkce a, b, c, f : I —> IR jsou koeficienty v této rovnici. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu mají podobné vlastnosti jako lineární rovnice 1. řádu, zejména jejich řešení existují a jsou určena jednoznačně - na celém intervalu spojitosti koeficientů rovnice -pomocí dvou počátečních podmínek y(xo) = yo, y'(x0) = yi, tj. je zadána hodnota funkce a její derivace (neboli bod v rovině, kterým musí řešení projít, a pak sklon, pod kterým musí řešení tímto bodem projít). 162 O těchto rovnicích existuje velké množství literatury, obvykle se studují zejména rovnice s konstantními koeficienty ay" + by' + cy = f(x), které mají mnoho aplikací např. při modelování mechanického a elektromagnetického kmitání. Pro ilustraci uveďme lineární diferenciální rovnici 2. řádu s konstantními koeficienty, kterou vyřešíme (bez jakýchkoliv dalších znalostí teorie diferenciálních rovnic) pomocí nekonečných řad. Příklad 198. Vyřešte diferenciální rovnici y" + y = 0 pomocí nekonečných řad. Řešeni. Hledejme řešení této rovnice ve tvaru mocninné řady oo y = y^Qn xn. n=0 Potom podle pravidla pro derivaci mocninné řady (Věta 51) platí oo oo y' = ^2ann xa~x = ^ an+1 (n + 1) xn, n=l n=0 oo oo y" = Y, an n (n - 1) xn~2 = ^ an+2 (n + 2) (n + 1) xn. n=2 n=0 Dosazením do rovnice y" + y = 0 dostáváme oo oo oo 0 = 5^ an+2 (n + 2) [n + 1) xn + ^ an xn = Y K+2 (n + 2) (n + 1) + an ] xn n=0 n=0 n=0 y" y Tedy poslední uvedená řada je mocninná řada pro konstantní funkci s(x) = 0, a proto musí všechny její koeficienty být nulové, tj. an+2 (ji + 2) (n + 1) + an = 0 pro všechna n G N U {0}. Odtud vychází rekurentní vztah pro jednotlivé koeficienty an+2 = —-,-T7-ľ Pro všechna n G N U {0}. (n + 2) (n + 1) Tedy jsou-li koeficienty a a\ dány (všimněte si, že = y(0) a a\ = y'(0), tj. tyto koeficienty jsou dány počátečními podmínkami ve středu hledané mocninné řady), potom je a2 = a0 2 ' a3 = 3 -2' a4 = a2 a0 ab = a3 a,i 4-3 ~ 4!' 5-4 5!' a6 = a0 a7 = a5 a,i 6-5 6!' 7-6 ~7!' a2k = :(-l)fc a0 a2k+l = (-l)fc a,i (2k)V (2k + 163 Celkově je tedy hledané řešení tvaru En , °0 2 °1 3 , °0 4 , °1 5 °0 6 al 7 anic = ao + °i ^ — ~ ^ — ~ x H—— x + — rr — — rr — — x n=0 a0 i 1 2! 3! 4! 5! 6! 7! 2! 4! 6! v ; (2fc)! Ill 1 + ai