Manuál k předmětu Algebra II
jaro 2016 (verze 1.1)
Motto: Ten, komu teorie grup a okruhů připadají málo abstraktní, bude ve svém živlu.
Jakékoli připomínky a bug reporty jsou vítány.
Nezbytné minimum znalostí
Kdo dobře neovládá následující pojmy, nebude tušit, o čem se mluví:
• zobrazení, injekce, surjekce, bijekce
• kartézský součin
• uspořádaná množina, Hasseův diagram, nejmenší a největší prvek
• relace ekvivalence, rozklad množiny podle relace ekvivalence
• množina podmnožin, libovolně velká sjednocení a průniky
Předchozí znalosti důležité k porozumění
Komu většina z následujících pojmů nic neříká, zapsal si tento předmět omylem:
• vektorový prostor, lineární zobrazení, vektorový podprostor
• pologrupa, monoid, grupa, okruh
• podpologrupa, podmonoid, podgrupa, podokruh
• homomorfismy pologrup, monoidů, grup a okruhů
• normální podgrupa, ideál
• faktorová grupa, faktorový okruh
• generování podpologrupy, podmonoidu, podgrupy, podokruhu a ideálu
• predikátová logika prvního řádu
Doporučená literatura
Většinu probírané látky pokrývají následující pasáže z knihy
Stanley N. Burris, H. P. Sankappanavar: A Course in Universal Algebra
Chapter I, Chapter II (§1–3, §5 do 5.7, §6, §7 mimo 7.3–7.7 a 7.10, §8–9, §10 do 10.12,
§11 do 11.9, §14 do 14.19), Chapter IV (§1).
Kniha je volně ke stažení na adrese
https://www.math.uwaterloo.ca/~snburris/htdocs/ualg.html
Písemná část zkoušky
• Maximální doba na řešení je 2,5 hodiny.
• Všechny odpovědi je třeba precizně zdůvodnit.
• Pro přístup k ústní části je třeba získat alespoň 30 bodů ze 60 možných.
1. (10 bodů) Popište svaz podalgeber dané algebry.
2. (3 × 5 bodů) Rozhodněte, zda se jedná o
(a) svaz,
(b) úplný svaz,
(c) algebraický svaz.
3. (10 bodů) Rozhodněte, zda daný předpis definuje homomorfismus/kongruenci.
4. (2 × 5 bodů) Rozhodněte, která z daných identit je splněna v dané algebře.
5. (3 × 5 bodů) Rozhodněte, na které z operátorů H, S a P je uzavřená daná třída
algeber.
Ústní část zkoušky
Na ústní části zkoušky si vylosujete jednu z následujících otázek a dostanete dostatek
času na přípravu:
1. Svazy – základní pojmy a konstrukce.
2. Distributivní a modulární svazy, Booleovy algebry.
3. Úplné svazy, uzávěrové operátory, Galoisovy korespondence, algebraické svazy.
4. Algebry – základní pojmy a konstrukce.
5. Přímé a podpřímé součiny algeber.
6. Variety algeber a rovnostní logika.
Orientační požadavky k ústní zkoušce:
E: umět definovat základní pojmy a formulovat hlavní tvrzení; těmto pojmům a tvrzením
rozumět.
C: navíc znát vedlejší tvrzení a umět formulovat jednoduché argumenty, které byly předvedeny
během semestru.
A: navíc umět dokázat hlavní tvrzení.