První zkoušková práce, 27. 5. 2016 skupina A
Příklad 1. (5b.) V šifře ElGaninial Honza zveřejnil klíč (53,3,12), kde 3 je primitivním kořenem modulo 53, 12 = 3^', kde x je Honzův tajný klíč. Přijal od Martina šifru (2,17). Umíte šifru prolomit a říct jakou zprávu mu Martin zaslal? (víte, že 321 = 41 = —12 (mod 53)). (malá nápověda: kolik že je 326 mod 53?
Řešení. 35.
Příklad 2. (5b.) Určete všechny třetí odmocniny z 57 modulo 143. Řešení. 7, 73, 128.
Příklad 3. (6b.) Metodou vytvořujících funkcí nalezněte posloupnost (xn) splňující pro n > 1:
Xn+2 = Xn + 1 + 2x„ + 2,     X\ = 3,  2'2 = 1.
Řešení. an = -1 + 2n - 2(-l)".
Příklad 4. (4b.) Kolika způsoby lze vybrat 100 kuliček tří barev (červená, modrá, zelená), přičemž počet červených je větší než počet modrých? Jako výsledek uveďte přirozené číslo.
Řešení. \{Cf) - i^)) = 2550.
1