Uvažujme polynóm f(x) = x3
− 3x + 5. Naším cieľom je nájsť riešenia kon-
gruencie
f(x) ≡ 0 mod 105.
Platí 105 = 3 · 5 · 7. Pretože čísla 3, 5 a 7 sú nesúdeľné, uvažovaná kongruencia
je ekvivalentná sústave
f(x) ≡ 0 mod 3,
f(x) ≡ 0 mod 5,
f(x) ≡ 0 mod 7.
Spočítame hodnotny f(x) pre vhodných reprezenatntov zbytkových tried:
x −3 −2 −1 0 1 2 3
f(x) −13 3 7 5 3 7 23
Z tohto vidíme, že x rieši vyššie uvedenú sústavu práve vtedy, keď rieši
niektorú zo sústav
x ≡ 1 mod 3, x ≡ 1 mod 3,
x ≡ 0 mod 5, x ≡ 0 mod 5,
x ≡ −1 mod 7; x ≡ 2 mod 7,
Označme n2 := 3 · 7 = 21. Číslo b2 volíme ako reprezentanta triedy
[21]−1
5 = [1]−1
5 = [1]5.
Podobne obdržíme n3 := 3 · 5 = 15 a b3 := 1 (pretože [1]7 = [15]−1
7 ).
Riešenia prvej sústavy teda môžeme vyjadriť ako
x ≡ 1 + 1 · 21 · (0 − 1) + 1 · 15 · (−1 − 1) ≡ −50 ≡ 55 mod 105.
Podobne, riešenia druhej sústavy splňujú
x ≡ 1 + 1 · 21 · (0 − 1) + 1 · 15 · (2 − 1) ≡ −5 ≡ 100 mod 105.
Vo výsledku teda dostávame, že riešenia kongruencie
x3
− 3x + 5 ≡ 0 mod 105
sú tvaru x = 55 + 105t alebo x = 100 + 105t pre t ∈ Z.
1