MB202 - Diferenciální a integrální počet B Topologie množin reálných čísel, limity posloupností a funkcí
MB202/02
1 / 30
Obsah přednášky
Q| Vlastnosti reálných čísel
Q) Topologie reálné přímky
Q| Limity posloupností a funkcí
Vlastnosti reálnych čísel
Reálna čísla a racionálni čísla jsou tzv. pole. Už jsme ale na nich používali i relaci uspořádání, kterou značíme „<".
Připomeňme si nyní vlastnosti (axiomy) reálných čísel včetně souvislostí uspořádání a ostatních relací. Dělící čáry v tabulce naznačují, jak axiomy postupně zaručují, že jsou reálná čísla komutativní grupou vůči sčítání, že M \ {0} je komutativní grupa vůči násobení, M je pole, množina M spolu s operacemi +, • a s relací uspořádání je tzv. uspořádané pole a konečně poslednímu axiomu můžeme rozumět tak, že M je „dostatečně husté", tj. nechybí nám tam body, jako např. druhá odmocnina ze dvou v číslech racionálních. Formálně poslední axiom vysvětlíme za chvilku. Zároveň si uvědomujme, které z axiomů platí pro Q a C.
MB202/02
4/30
Vlastnosti reálnych čísel
(Rl)   (a + b) + c = a + (b + c), pro všechny a, Ď, c G M (R2)   a + b = b + a, pro všechny a, Ď G M
(R3) existuje 0 G M takový, že pro všechny a G M platí a + 0 = a (R4)   pro všechny a G M existuje opačný prvek (—a) G M takový,
že platí a + (—a) = 0 (R5)   (a • b) ■ c = a ■ (b • c), pro všechny a, Ď, c G M (R6)   a ■ b = b ■ a pro všechny a, Ď G M
(R7) existuje 1 G M takový, že pro všechny a G M platí 1 • a = a (R8)   pro každý a £ M, 3 / 0 existuje inverzní prvek a-1 G M
takový, že platí a • a-1 = 1 (R9)   a • (b + c) = a • b + a • c, pro všechny a, Ď, c G M (RIO)   relace < je úplné uspořádání, tj. reflexivní, antisymetrická,
tranzitivní a úplná relace na M (Rll)   pro a, b, c G M platí, že z a < fa vyplývá a + c < b + c (R12)   pro všechny a, Ď G R, a > 0, Ď > 0, platí také a • b > 0 (R13)   každá neprázdná ohraničená množina /4 c M má supremum.
MB202/02
5/30
Horní a dolní závory, suprema a infima
Pojem suprema má smysl pro každou uspořádanou množinu. Uvažme podmnožinu A c B v uspořádané množině B. Horní závorou množiny A je každý prvek b G B, pro který platí, že b > a pro všechny 36Á Obdobně definujeme dolní závory množiny A jako prvky b G A takové, že b < a pro všechny a £ A
Nejmenší horní závora podmnožiny A, pokud existuje, se nazývá supremum této podmnožiny a značíme ji sup A Přesněji:
	sup A	= b, jestliže z c > a	pro všechny a G A vyplývá také c > b.
Obdobně,		největší dolní závora	se nazývá infimum, píšeme inf A, tzn.
	mí A	= b, jestliže z c < a	pro všechny a G A vyplývá také c < b.
Vlastnosti reálnych čísel
Pro výstavbu teorie potřebujeme vědět, zda uvedené vlastnosti reálných čísel lze realizovat, tj. zda existuje taková množina M s operacemi a relací uspořádání, které (R1)-(R13) splňují. Skutečně lze reálná čísla nejen zkonstruovat, ale jde to, až na izomorfismus, jediným způsobem. V textech je naznačena existence, k jednozačnosti se vrátíme později. Pole racionálních čísel splňuje (R1)-(R12), neexistují v nich ale obecně suprema ohraničených podmnožin.
Pole komplexních čísel splňuje axiomy (R1)-(R9), není na nich ale žádným rozumným způsobem definováno uspořádání, které by naplnilo axiomy (R10)-R(13). Protože jsou komplexní čísla z = rez + /imz dána jako dvojice reálných čísel, je dobrou představou rovina komplexních čísel. U komplexních čísel je navíc tzv. konjugace, tj. zrcadlení podle přímky reálných čísel. Značíme ji ž = rez — / im z. Platí z • ž = (x + /y)(x — iy) = x2 + y2, tj. kvadrát velikosti vektoru. Píšeme |z|2 = z • ž, hovoříme o absolutní hodnotě.
MB202/02
7/30
Hromadné body a konvergence
Uvažme posloupnost 3q, ai, 32,..., čísel v M nebo Q nebo C a pevně zvolenou hodnotu s v témže oboru.
Konvergentní posloupnost
Jestliže pro libovolné pevně zvolené kladné číslo e G M platí pro všechny / G N, až na konečně mnoho výjimek,
\a-, — a\ < e,
říkáme, že posloupnost a,-, / = 0,1,... konverguje k hodnotě a. Cauchyovská posloupnost
Posloupnost prvků ao, 3i,... takovou, že pro libolné pevně zvolené kladné reálné číslo e > 0 platí pro všechny prvky a^ až na konečně mnoho výjimek
\a; - aj\ < e,
Vlastnosti reálnych čísel
Jinak řečeno, u Cauchyovské posloupnosti pro každé pevné e > 0 existuje index N takový, že nerovnost \a, — aj\ < e platí pro všechna i, j > N. Intuitivně jistě cítíme, že bud' jsou v takové posloupnosti všechny prvky stejné až na konečně mnoho z nich (pak bude od určitého indexu N počínaje vždy \a, — aj\ = 0) nebo se taková posloupnost „hromadí" k nějaké hodnotě.
Jestliže posloupnost a, G K konverguje k a G K, pak pro zvolené e víme, že \a-, — a\ < e pro vhodné N G N a všechny / > N. Pak pro i, j > N dostaneme \a-, — aj\ < \a, — a\ + \a — aj\ < 2e. Odtud:
Každá konvergující posloupnost je Cauchyovská.
Použili jsme tzv. trojúhelníkovou nerovnost: Pro každá dvě čísla a, b platí (v R, <Q>, C)
\a + b\ < \a\ + \b\.
MB202/02
9/30
Hromadné body množin
Cauchyovská posloupnost by se (intuitivně viděno) měla k něčemu „hromadit", tedy mít svoji limitu. V poli racionálních čísel se může snadno stát, že pro takovéto posloupnosti příslušná hodnota a neexistuje. Např. číslo \/2 můžeme libovolně přesně přiblížit racionálními čísly a,-, ale samotná odmocnina racionální není. Uspořádaná pole skalárů, ve kterém všechny Caychyovské posloupnosti konvergují, se nazývají úplná. Následující tvrzení říká, že axiom (R13) takové chování zaručuje:
Lemma
Každá Cauchyovská posloupnost reálných čísel a-, konverguje k reálné hodnotě ael.
i
Uvažme nyní jakoukoliv množinu A c K a posloupnost {a,-} vybranou z prvků A. Pokud konverguje k hodnotě a a navíc je nekonečně mnoho bodů af- G A různých od a, hovoříme o hromadném bodu množiny A.
MB202/02
10 / 30
Konstrukce reálných čísel
Tento výsledek dává jednu z možností, jak vybudovat reálná čísla. Postupujeme podobně jako při zúplňování přirozených čísel na celá (abychom přidali opačné hodnoty) a celých na racionální (abychom přidali podíly nenulových čísel). Vhodným formálním způsobem zavedeme ekvivalenci na množině všech Cauchyovských posloupností racionálních čísel a tak „přidáme všechny chybějící hromadné body pro podmnožiny racionálních čísel". Pak se lze již snadno přesvědčit, že všechny požadované axiomy skutečně dojdou naplnění.
MB202/02
11 / 30
Otevřené a uzavřené množiny
Uzavřená podmnožina v M je taková, která obsahuje i všechny své hromadné body. Typickou uzavřenou množinou je tzv. uzavřený interval
[a,í)] = {xel, a < x < b}.
Zde a je reálné číslo nebo hraniční hodnota chybí a píšeme a = —oo (mínus nekonečno) a podobně b > a je reálné číslo nebo +00. Uzavřenou množinu bude tvořit i posloupnost reálných čísel bez hromadného bodu nebo posloupnost s konečným počtem hromadných bodů spolu s těmito body. Zjevně je konečné sjednocení uzavřených množin opět uzavřená množina. Otevřená množina v M je taková množina, jejíž doplněk je uzavřenou množinou. Typickou otevřenou množinou je otevřený interval
(3,Í)) = {xěK, a < x < b},
kde pro hraniční hodnoty máme stejné možnosti jako výše.
MB202/02
13 / 30
Okolí bodu
Okolím bodu a G M nazývame libovolný otevřený interval O, který a obsahuje.
Je-1i okolí definované jako interval
Os(a) = {a-S,a + S) pro kladné číslo ô, hovoříme o á-okolí bodu a.
Všimněme si, že pro libovolnou množinu A je a G M hromadným bodem A, právě když v libovolném okolí a leží také alespoň jeden bod b G A, b ^ a.
Lemma
Množina reálnych čísel A je otevřená, právě když každý její bod a G A do n í patří i s nějakým svým okolím.
MB202/02
14 / 30
Topologie reálné přímky
Důkaz.
Nechť je A otevřená a a £ A Kdyby neexistovalo žádné okolí bodu a uvnitř A, musela by existovat posloupnost a„ £ A, |a — a„| < 1/n. Pak je ovšem a G A hromadným bodem množiny M \ A, což není možné, protože doplněk A je uzavřený.
Naopak předpokládejme, že každé a G A leží v A i s nějakým svým okolím. To přirozeně zabraňuje, aby nějaký hromadný bod b pro množinu M.\A ležel v A. Je proto R\A uzavřená a tedy je A otevřená. □
Zjevně je libovolné sjednocení otevřených množin opět otevřenou množinou a každý konečný průnik otevřených množin je opět otevřená množina. Množina A reálných čísel se nazývá ohraničená, jestliže celá leží v nějakém konečném intervalu [a,b], a, b G M. V opačném případě je neohraničená. Ohraničená a uzavřená množina se nazývá kompaktní.
MB202/02
15 / 30
Topologie reálné přímky
Další užitečné pojmy:
Vnitřním bodem množiny A reálných čísel nazveme takový bod, který do A patří i s nějakým svým okolím.
Hraniční bod a G A je takový, jehož každé okolí má neprázdný průnik jak s A tak s doplňkem R\A.
Otevřené pokrytí množiny A je takový systém otevřených intervalů U;, i G /, že jejich sjednocení obsahuje celé A.
Izolovaným bodem množiny A rozumíme bod a G A, který má okolí, jehož průnik s A je právě jednobodová množina {a}.
MB202/02
16 / 30
Topologie reálné přímky
Theorem
Pro podmnožiny A reálných čísel platí:
O A je otevřená, právě když je sjednocením nejvýše spočetného systému otevřených intervalů,
O každý bod a G A je bud vnitřní nebo hraniční,
Q každý hraniční bod je bud izolovaným nebo hromadným bodem A,
O A je kompaktní, právě když každá v ní obsažená nekonečná posloupnost má podposloupnost konvergující k bodu v A,
O A je kompaktní, právě když každé její otevřené pokrytí obsahuje konečné pokrytí.
MB202/02
17 / 30
Limity posloupností a funkcí
Pro diskusi limit je vhodné rozšířit množinu reálných čísel M o dvě nekonečné hodnoty ±00. Pro tyto účely si zavádíme i pravidla pro počítání s těmito formálně přidanými hodnotami pro libovolná „konečná" čísla 3éK:
a + 00 = 00 a — 00 = —00 a ■ 00 = 00, je-li a > 0 a ■ 00 = —00, je-li a < 0
Okolím nekonečna rozumíme interval (a, 00), resp. (—00, a) je okolí —00. Pojem hromadného bodu množin rozšiřujeme tak, že 00 je hromadným bodem množiny A c M jestliže každé okolí 00 s ní má neprázdný průnik, tj. jestliže je A zprava neohraničená. Obdobně pro —00.
MB202/02
19 / 30
Toplogie komplexní roviny
Vystačíme si zatím s okolími bodů (byť většina pojmů a výsledků se z reálné přímky do komplexní roviny přenáší):
Pro kladné reálné číslo ô rozumíme á-okolím komplexního čísla z G C množinu 0<$(z) = {w G C, \w — z\ < 5}.
Připomeňme, že konvergence posloupnosti z\ komplexních čísel k jejich limitě z byla definována tak, že každé okolí Oe(z) obsahuje všechny z,-, až na konečně mnoho výjimek (závisejících na e).
Definice limity
Definition
Nechť A c M je libovolná podmnožina a f je reálná, resp. komplexní, funkce reálné proměnné definovaná na A a nechť xo je hromadný bod množiny A. Říkáme, že f má v xo limitu ael, resp. a G C a píšeme
lim f(x) = a,
jestliže pro každé okolí bodu 0{a) bodu a lze najít okolí 0{xq) bodu xo takové, že pro všechny x G A n (0(xq) \ {xq}) je f(x) G O(a). Limita reálné funkce se nazývá nevlastní, jestliže je a = ±00, V opačném případě se nazývá vlastní.
Limity posloupností a funkcí
Je důležité si všimnout, že hodnota f v bodě xo v definici nevystupuje a f v tomto hromadném bodě vůbec nemusí být definována! Je zřejmé, že nevlastní limity komplexních funkcí nemohou být definovány. Limity v případných nevlastních hromadných bodech ±00 definičního oboru reálných i komplexních funkcí však výše uvedenou definicí korektně definovány jsou.
MB202/02
22 / 30
Príklad 1
Jestliže je A = N, tj. funkce f je definována pouze pro přirozená čísla, hovoříme o limitách posloupností reálných nebo komplexních čísel.
Jediným hromadným bodem A je pak oo a píšeme pro f(n) = an
lim an = a.
Podle definice to pak znamená, že pro každé okolí 0{a) limitní hodnoty a existuje index N G N takový, že an G 0{a) pro všechny n > N. Ve skutečnosti jsme tedy v tomto speciálním případě přeformulovali definici konvergence posloupnosti. Říkáme také, že posloupnost an konverguje k a.
Přímo z naší definice pro komplexní hodnoty je také vidět, že komplexní posloupnost má limitu a, právě když reálné části rea,- konvergují k re a a zároveň imaginární části konvergují k im a.
MB202/02
23 / 30
Príklad 2
Jestliže je f definována na intervalu A = [a, b] a xo je vnitřním bodem intervalu, hovoříme o limitě funkce ve vnitřním bodě jejího definičního oboru.
Podívejme se, proč je důležité v definici požadovat f(x) £ 0{a) pouze pro body x 7^ xq i v tomto případě. Vezměme jako příklad funkci f : M. —> M.
Pak zjevně limita v nule je dobře definována a limx^o = 0, přestože f(0) = 1 do malých okolí limitní hodnoty 0 nepatří.
Príklad 3
Je-li A = [a, b] ohraničený interval a xo = a nebo xo = b, hovoříme o limitě v hraničním bodě definičního oboru funkce f. Jestliže je ale bod xo vnitřním bodem, můžeme pro účely výpočtu limity definiční obor zúžit na [xo,b] nebo [a,xo]. Výsledným limitám pak říkáme limita zprava, resp. limita zleva pro funkci f v bodě xq. Označujeme ji výrazem limx^x+ f(x), resp. Iimx^x- f(x). Jako příklad nám může sloužit limita zprava a zleva v xo = 0 pro Heavisideovu funkci h (h(x) = 0 pro x < 0, h(x) = 1 pro x > 0). Evidentně je
Limita limx^of(x) přitom neexistuje. Limita ve vnitřním bodu definičního oboru libovolné reálné funkce f existuje, právě když existují limity zprava i zleva a jsou si rovny.
lim h(x) = 1
lim h(x) = 0.
MB202/02
25 / 30
Príklady 4 a 5
Limita komplexní funkce f : A —> C existuje tehdy a jen tehdy, jestliže existují limity její reálné a imaginární části. V takovém případě je pak
lim f(x) = lim (re f(x)) + / lim (im f(x)).
x—>xo x—>xo x—>xo
Nechť f je reálný nebo komplexní polynom. Pak pro každý bod x G M je
lim f (x) = f(xQ).
x^x0
Skutečně, je-li f(x) = anxn + • • • + ao, pak roznásobením
(xo + 8)k = Xq + kóx^1 + • • • + 8k a dosazením pro k = 0,..., n vidíme,
že volbou dostatečně malého 5 se hodnotou libovolně blízko přiblížíme
Príklad 6 a 7
Uvažme nyní obzvlášť ošklivou funkci definovanou na celém f(x)
1 je-li x G Q 0  jestliže x ^
Jistě snadno ověříte, že tato funkce nemá limitu v žádném bodě (dokonce ani zleva nebo zprava).
Ale naše definice umí být ještě záludnější: Definujme následující funkci
f : R ->• R:
f {x)
^ jestliže x=£eQ, p s q nesoudělná 0   jestliže x ^ Q
Tato funkce má všude limitu nulovou, tj. je „spojitá" ve všech iracionálních bodech a „nespojitá" ve všech racionálních reálných bodech.
Limity posloupností a funkcí
Theorem (0 třech limitách)
Bučíte f, g, h reálné funkce se shodným definičním oborem A a takové, že existuje ryzí okolí hromadného bodu xq g M. definičního oboru, kde platí
f{x) < g(x) < h(x).
Potom, pokud existují limity
lim f(x) = Íq,     lim h(x) = ho
x^x0 x^x0
a navíc Íq = h$, pak také existuje limita
lim g(x) = g0
X^XQ
a platígo = f0 = h0.
MB202/02
28 / 30
Limity posloupností a funkcí
Theorem
Necht A c M je definiční obor reálnych nebo komplexních funkcí f a g, xq necht je hromadný bod A a existují limity limx^xo f [x) = a G K, limx^Xog(x) = beK.
O limita a je určena jednoznačně,
Q limita součtu f + g existuje a platí
lim {f{x)+g{x)) = a + b,
x^x0
Q limita součinu f ■ g existuje a platí
lim (f(x) ■ g(x)) = a ■ b,
O pokud navíc b ^ 0, pak limita podílu f j g existuje a platí
,     f(x) *
x^xo g (x) b
Limity posloupností a funkcí
Theorem
Uvažme reálnou nebo komplexní funkci f definovanou na množině 4cB a hromadný bod xq množiny A. Funkce f má v bodě xq limitu y právě, když pro každou posloupnost bodů xn G A konvergující k xq a různých od xq má i posloupnost hodnot f(xn) limitu y.
MB202/02
30 / 30