MB202 - Diferenciální a integrální počet B Vlastnosti spojitých funkcí, derivace
MB202/03
1 / 30
Obsah přednášky
Ql Spojité funkce O Přírůstky do ZOO Ql Derivace Q| Vlastnosti derivací
MB202/03 2 / 30
Spojité funkce
Nechť f je reálná nebo komplexní funkce definovaná na intervalu A c Říkáme, že f je spojitá v bodě xo g A, jestliže je
lim f(x) = f(xQ).
Funkce f je spojitá na A, jestliže je spojitá ve ve všech bodech xo g A.
Všiměme si, že pro hraniční body intervalu A říká naše definice, že f v nich má být spojitá zprava, resp. zleva.
Z vět o limitách okamžitě vyplývá většina následujících tvrzení:
Spojité funkce
Theorem
Nechi f a g jsou spojité funkce na intervalu A. Pak O součet f + g je spojitá funkce Q součin f • g je spojitá funkce
O pokud navíc g(xo) ^ 0, pak podíl f /g je dobře definován v nějakém okolí xq a je spojitý v xq.
O pokud spojitá funkce h je definována na okolí hodnoty f(xo), pak složená funkce h o f je definována na okolí bodu xq a je v xq spojitá.
MB202/03
5/30
Spojité funkce
Důkaz.
Tvrzení (1) a (2) jsou zřejmá,
(3) Jestliže je g(xo) ^ 0, pak také celé e-okolí čísla g(xo) neobsahuje nulu pro dostatečně malé e > 0. Ze spojitosti g pak vyplývá, že na dostatečně malém ô-oko\\ xq bude g neulové a podíl f/g tam bude tedy dobře definován. Pak bude ovšem i spojitý v xo podle předchozí věty.
(4) Zvolme nějaké okolí O hodnoty ^(^(xo)). Ze spojitosti h k němu existuje okolí O' bodu ^(xo), které je celé zobrazeno funkcí h do O. Do tohoto okolí O' spojité zobrazení f zobrazí dostatečně malé okolí bodu xo. To je ale právě definiční vlastnost spojitosti a důkaz je ukončen. □
Nyní si vcelku snadno můžeme odvodit zásadní souvislosti spojitých zobrazení a topologie reálných čísel:
MB202/03
6/30
Spojité funkce
Theorem
Necht f : R ->• R je spojitá funkce. Pak
O vzor f~1(U) každé otevřené množiny je otevřená množina,
Q vzor f~1(W) každé uzavřené množiny je uzavřená množina,
Q obraz f (K) každé kompaktní množiny je kompaktní množina,
O na libovolné kompaktní množině K dosahuje spojité zobrazení maxima a minima.
MB202/03
7/30
Spojité funkce
Důkaz.
(1) Uvažme xo g f~1(U). Nějaké okolí O hodnoty ^(xo) je celé v U, protože je U otevřená. Proto existuje okolí O' bodu xo, které se celé zobrazí do O, patří tedy do vzoru. Každý bod vzoru je tedy vnitřní a tím je důkaz ukončený.
(2) Uvažme hromadný bod xo vzoru f~1(W) a posloupnost x,-, f{x;) g 1/1/, která k němu konverguje. Ze spojitosti f zjevně vyplývá, že f{x;) konverguje k ^(xo), a protože je 1/1/ uzavřená, musí i ^(xo) g 1/1/. Zřejmě jsou tedy všechny hromadné body vzoru 1/1/ ve 1/1/ také obsaženy.
(3) Zvolme otevřené pokrytí f(K). Vzory jednotlivých intervalů jsou sjednoceními otevřených intervalů a tedy vytvoří pokrytí množiny K. Z něho lze vybrat konečné pokrytí a proto stačí konečně mnoho odpovídajících obrazů i k pokrytí množiny f(K).
(4) Protože je obrazem kompaktní množiny opět kompaktní množina, musí být obraz ohraničený a zároveň musí obsahovat svoje supremum i infimum. Odtud ale vyplývá, že tyto musí být zároveň maximem a minimem hodnot. □
Spojité funkce
Důsledek
Nechť f : R ->• R je spojitá. Potom O obraz každého intervalu je opět interval
© f na uzavřeném intervalu [a, b] nabývá všech hodnot mezi svou
maximální a minimální hodnotou. ^-'
Důkaz.
(1) Uvažme interval A a předpokládejme, že existuje y g M takový, že f (A) obsahuje body menší i větší než y, ale y ^ f {A). Pak vzory otevřených množin A\ = /r_1((—oo,y)) a /42 = f_1((y, oo)) pokrývají A. Tyto otevřené množiny jsou disjunktní a obě mají neprázdný průnik s A. Nutně tedy existuje x é A který neleží v /4i, je ale jejím hromadným bodem. Musí pak ležet v A2 a to u disjunktních otevřených množin není možné. Proto pokud nějaký bod y nepatří do obrazu intervalu, musí být zároveň všechny hodnoty bud' větší nebo menší. Obrazem bude proto opět interval. Všimněme si, že jeho krajní body mohou a nemusí do obrazu patřit. Tvrzení (2) je přímým důsledkem (1). □
MB202/03
9/30
Přírůstky do ZOO
Racionální funkce
Nechť f a g jsou dva polynomy, které mohou mít i komplexní hodnoty (tj. připouštíme výrazy anxn + • • • + ao s komplexními a-, g C, ale dosazujeme jen reálné hodnoty za x). Pak funkce /):I\{xéR,g(x) = 0} —> C, h(x) =       je dobře definována ve všech reálných bodech kromě kořenů polynomu g. Takové funkce nazýváme racionální funkce. Racionální funkce jsou spojité ve všech bodech svého definičního oboru. V bodech, kde definovány nejsou mohou mít
• konečnou limitu, když jde o společný kořen polynomů f i g (a v tomto případě rozšířením jejich definice o limitní hodnotu v tomto bodě dostaneme funkci i v tomto bodě spojitou)
• nekonečnou limitu, když limity zprava a zleva v tomto bodě jsou stejné
• různé nekonečné limity zprava a zleva.
i
MB202/03
11 / 30
Přírůstky do ZOO
a = 1.6667
h{x)
(x - 0.05a)(x - 2 - 0.2a)(x - 5)
x(x-2)(x-4) s hodnotami a = 0 a a = 5/3.
Obrázek vlevo tedy zobrazuje racionální funkci (x — 5)/(x — 4).
MB202/03
Přírůstky do ZOO
Mocninné funkce
Polynomy jsou seskládány z jednoduchých mocninných funkcí xh>x"s přirozeným číslem n = 0,1, 2,.... Samozřejmý smysl má také funkce x i-> x-1 pro všechny Tuto definici rozšíříme na obecnou
mocninnou funkci snel. Pro n = —a s a g N definujeme
x- = (xT1 = (x"1)'.
Dále jistě chceme, aby ze vztahu b" = x pro n g N vyplývalo fa = x". Je třeba ale ověřit, že taková fa skutečně existují pro dané x. Předpokládejme x > 0 a označme B množinu B = {y g M, y > 0, y" < x}. To je zřejmě zhora ohraničená množina a lze ověřit, že pro b = sup B skutečně platí požadovaná rovnost.
Zdůvodnili jsme tedy existenci xa pro všechny x > 0 a a g q.
MB202/03
13 / 30
Přírůstky do ZOO
Mocninná funkce - pokračování Konečně, pro a g M, x > 1 klademe
xa = sup{xy,y g q, y < a}.
Pro 0 < x < 1 bud' definujeme analogicky (je třeba si jen pohrát s nerovnítky) nebo klademe přímo xa = (j)~a- Pro x = 1 je pak la = 1 pro libovolné a.
Obecnou mocninnou funkci x^x3 máme tedy dobře definovanou pro všechny x g [0, oo) a a g M.
Exponenciální funkce
Naši konstrukci funkce xa ale můžeme také číst následujícím způsobem: Pro každé pevné reálné c > 0 existuje dobře definovaná funkce na celém M, y i-> ď. Této funkci říkáme exponenciální funkce o základu c.
MB202/03
14 / 30
Přírůstky do ZOO
MB202/03
15 / 30
Přírůstky do ZOO
Mocninné i exponenciální funkce jsou spojité na celých svých definičních oborech. Zároveň se ze spojitosti definice pomocí suprem množin hodnot zjevně přenáší základní vlastnosti platné pro racionální čísla, a, x, y:
MB202/03
16 / 30
Definition
Nechť f je reálná nebo komplexní funkce s definičním oborem A c M a xo g A. Jestliže existuje limita
lim ——--—- = a
x^x0      x — Xo
pak řídáme, že f má v bodě xo derivaci a. Píšeme často a = f'(xo) nebo 3 = s(xo) Popadne a = £f{x0).
Derivace funkce je vlastní, resp. nevlastní, když je takovou příslušná limita.
Jednostranné derivace (tj. derivaci zprava a zleva) definujeme zcela stejně pomocí limity zprava a zleva.
i
Z formulace definice lze očekávat, že f'(xo) bude opět umožňovat dobře aproximovat danou funkci pomocí přímky
y = f{xo) + f'{xo){x ~ xo)-
Takto lze vnímat následující lemma, které říká, že nahrazením konstantního koeficientu f'(xo) vhodnou spojitou funkcí dostaneme přímo hodnoty f.
Lemma
Reálná nebo komplexní funkce má v bodě xq vlastní derivaci, právě když existuje na nějakém okolí0{xq) funkce tp spojitá v xq a taková, že pro všechny x g 0{xq) platí
f{x) = /r(x0)+V(x)(x-x0).
Navíc pak vždy V'(xo) = f'{xo)-
MB202/03
19 / 30
Důkaz.
Nejprve předpokládejme, že f'(xo) je vlastní derivace. Pokud má ip existovat, má jistě tvar ip(x) = (f(x) — f(xo))/(x — xo) pro všechny x g O \ {xo}. V bodě xo naopak definujme hodnotu derivací. Pak jistě
lim tp{x) = f'(xo) = tp{xo)
x^x0
jak je požadováno.
Naopak, jestliže taková funkce tp existuje, tentýž postup vypočte její limitu v xo. Proto existuje i f'(xo) a je ip(xo) rovna. □
MB202/03
20 / 30
Geometrický význam derivace
Předchozí lemma lze názorně vysvětlit geometricky a tím popsat smysl derivace. Říká totiž, že na grafu funkce y = f (x), tj. na příslušné křivce v rovině se souřadnicemi x a y, poznáme, zda existuje derivace podle toho, jestli se spojitě mění hodnota směrnice sečny procházející body [xo, ^(xo)] a [x, f(x)]. Pokud ano, pak limitní hodnota této směrnice je hodnotou derivace.
Corollary
Má-li reálná funkce f v bodě xq g M. derivaci f'(xo) > 0, pak pro nějaké okolí 0{xq) platí f (b) > f (a) pro všechny body a, b (z 0{xq), b > a. Je-li derivace f'(xo) < 0, pak naopak pro nějaké okolí 0{xq) platí f(b) < f (a) pro všechny body a, b (z 0{xq), b > a.
Důkaz.
Uvažme prvý případ. Pak podle předchozího lematu platí f(x) = í(xq) + tp(x)(x — xq) a V(xo) > 0- Protože je ale tp v xo spojitá, musí existovat okolí O(xq), na kterém bude ip(x) > 0. Pak ale s rostoucím x nutně poroste i hodnota f(x).
Stejná argumentace ověří i tvrzení se zápornou derivací. □
Funkce, které mají vlastnost f(b) > f (a) kdykoliv b > a pro nějaké okolí bodu xo se nazývají rostoucí v bodě xo. Funkce rostoucí ve všech bodech nějakého intervalu se nazývá rostoucí na intervalu. Podobně je funkce klesající v bodu, resp. klesající na intervalu, jestliže f(b) < f (a) kdykoliv je a < b.
Funkce která má v bodě nenulovou konečnou derivaci je v tomto bodě bud' rostoucí nebo klesající podle znaménka této derivace.
MB202/03
22 / 30
Vlastnosti derivací
Pravidla pro počítaní
Theorem
Necht f a g jsou reálné nebo komplexní funkce definované na okolí bodu xq g M a mající v tomto bodě vlastní derivaci. Potom
O funkce f je v bodě xq spojitá,
O pro každé reálné nebo komplexní číslo c má funkce x \-> c ■ f (x) derivaci v xq a platí
(cO'(xo) = c(f'(x0)), Q funkce f + g má v xq derivaci a platí
(ŕ + áď(xo) = ŕ'(x0)+ár'(xo)-
MB202/03
24 / 30
Vlastnosti derivací
Pravidla pro počítaní
Theorem
Necht f a g jsou reálné nebo komplexní funkce definované na okolí bodu xo g M a mající v tomto bodě vlastní derivaci. Potom
Q funkce f ■ g má v xq derivaci a platí
{f ■ áď(xo) = ŕ'(xo)áT(xo) + ŕ(xo)ár'(xo),
O Je-li dále h funkce definovaná na okolí obrazu yo = ^(xo), která má derivaci v bodě yo, má také složená funkce h o f derivaci v bodě xq a platí
(hofy(Xo) = h'(f(x0))-f'(x0).
MB202/03
25 / 30
Vlastnosti derivací
Intuitivně:
Ax'
Samozřejmě pak při y = h(x) = f(x) + g(x) je přírůstek y dán součtem přírůstků f a g a přírůstek závislé proměnné zůstává stejný. Je tedy derivace součtu součtem derivací.
U součinu musíme být malinko pozornější. Pro y = h(x) = f(x)g(x) je přírůstek
Ay = f(x + Ax)g(x + Ax) - f{x)g{x)
= f{x + Ax)(g(x + Ax) - g{x)) + {f(x + Ax) - f{x))g{x)
Nyní ale když budeme zmenšovat přírůstek Ax, jde vlastně o výpočet limity součtu součinů a o tom už víme, že jej lze počítat jako součet součinů limit. Proto z naší formulky lze očkávat pro derivaci součinu fg výraz fg' + fg.
Vlastnosti derivací
Pro derivaci složené funkce g = h o f, kde definiční obor funkce z = h(y) obsahuje obor hodnot funkce y = f(x), je to podobné.
, _ Az _ Az Ay g ~ Äx" ~ Ä/Äx"
Můžeme tedy očekávat, že pravidlo pro výpočet bude
(hofy(x) = h\f(x))f\x).
Důsledek
Nechť f a g jsou reálné funkce, která mají v bodě xo vlastní derivace a g(x0) 7^ 0. Pak pro funkci h(x) = f(x)(g(x)y1 platí
gj (ŠM)''
Vlastnosti derivací
Důkaz.
Nejprve pro h(x) = x-1 přímo z definice i i
h'(x) =  lim *±£Z-^ =  lim -V^-^— = lim
x — x — Ax
Ax^O      Ax Ax^O Ax(x2 + xAx)     Ax^O x2 + xAx'
Z pravidel pro počítání limit okamžitě dostáváme
h'{xQ)
-x
-2
Nyní pravidlo pro derivaci složené funkce říká, že (g 1)/ = — g2 ■ g' a konečně pravidlo pro derivaci součinu nám dává právě kýžený vzorec:
(f/g)' = (f • g'1)' = fg-1 - fg-2g' = f-^r^-
□
Vlastnosti derivací
Derivace inverzních funkcí
Pokud k dané funkci f : M. —> M. inverzní funkce f^1 existuje (nezaměňujme značení s funkcí x i-> (^(x))-1), pak je dána jednoznačně kterýmkoliv ze vztahů
a druhý již pak platí také. Pokud je f definováno na podmnožině A c M a f (A) = B, je existence f^1 podmíněna stejnými vztahy s identickými zobrazeními id^ resp. ide na pravých stranách. Pokud bychom věděli, že pro diferencovatelnou funkci f je i f^1 diferencovatelná, pravidlo pro derivaci složené funkce nám říká
a tedy přímo víme formuli (zjevně f'(x) v takovém případě nemůže být
f    o f = idE
fof
i
1 = (id)'(x) = (f
f)'{x) = (f-1)^)) ■ f\x)
nulové)
i
f(xy
Vlastnosti derivací
To dobře odpovídá intuitivní představě, že pro y = f{x) je f = ^ zatímco pro x = ŕ-1 (y) je {f~1)'{y) = 27. Takto skutečně můžeme derivace inverzních funkcí počítat:
Theorem
Je-li f diferencovatelná funkce na okolí bodu xq a f'(xo) 7^ 0, pak existuje na nějakém okolí bodu yo = ^(xo) funkce f^1 inverzní k f a platí vztah
-iv 1
f(xy
Pokud je f'(xo) = 0 izolovaným nulovým bodem derivace f'(x) a inverzní funkce k f na okolí f (xq) existuje, pak limity zprava i zleva funkce f jsou v bodě xq nevlastní.