MB202 - Diferenciální a integrální počet B Mocninné řady ■ MB202/04 1/44 Obsah přednášky Q| L'Hospitalovo pravidlo 9 Kolik je ex? Q| Číselné řady Q| Mocninné řady Ql Příspěvky do zvěřince MB202/04 2 / 44 Theorem (Rolleova věta) Necht funkce f : M —> M je spojitá na intervalu [a, b] a diferencovatelná uvnitř tohoto intervalu. Jestliže platí f (a) = f(b), pak existuje c G (a, b) takové, že f'(c) = 0. MB202/04 3/44 Důkaz. Funkce f je spojitá na uzavřeném intervalu (tj. kompaktní množině), proto má na něm maximum a minimum. Pokud by maximum i minimum mělo stejnou hodnotu f [a) = f(b), pak by funkce f byla konstantní a tedy i její derivace by byla nulová ve všech bodech intervalu (a,b). Předpokládejme tedy, že bud' maximum nebo mimimum je jiné a nechť nastává jedno z nich ve vnitřním bodě c. Pak ovšem není možné, aby v c bylo f'(c) ý 0. protože to by v tomto bodě byla byla funkce f bud' rostoucí nebo klesající a jistě by tedy v okolí bodu c nabývala větších i menších hodnot, než je f(c). □ Z Rolleovy věty snadno vyplývá tzv. věta o střední hodnotě. Theorem Necht funkce f : M —> M je spojitá na intervalu [a, b] a diferencovatelná uvnitř tohoto intervalu. Pak existuje c G (a, b) takové, že Důkaz. Důkaz je prostým zápisem geometrického významu tvrzení: k sečně mezi body [a, f (a)] a [b, f(b)] existuje tečna, která je s ní rovnoběžná (nejlíp vidět na obrázku). Rovnice naší sečny je Y = g{x) = f {a) + ——(x ~ a)-b — a Rozdíl h(x) = f(x) — g(x) udává vzdálenost grafu od sečny (v hodnotách y). Jistě platí h(a) = h(b) a Podle předchozí věty existuje bod c, ve kterém je h'(c) = 0. □ Větu o střední hodnotě můžeme také přepsat ve tvaru: f{b) = f{a) + f'{c){b-a) a v případě parametricky zadané křivky v rovině, tj. dvojice funkcí y = f (t), x = g(t), je stejný výsledek o existenci rovnoběžné tečny k sečně krajními body popsán takto: Corollary Necht funkce y = f (t) a x = g(t) jsou spojité na intervalu [a, b] a diferencovatelné uvnitř tohoto intervalu a g'(t) ^ 0 pro všechny t G (a, b). Pak existuje bod c G (a, b) takový, že platí f(b)-f(a) f'{c) g(b)-g(a) g'(cY MB202/04 7/44 Důkaz. Opět spoléháme na použití Rolleovy věty. Položíme proto h(t) = (f(b) - f(a))g(t) - (g(b) - g(a))f(t). Nyní h{a) = f{b)g{a) - f{a)g{b), h{b) = f{b)g{a) - f{a)g{b), takže existuje c G (a, b) takový, že h'(c) = 0. Protože je g'(c) ^ 0, dostáváme právě požadovaný vztah. □ ĽHospitalovo pravidlo Podobná úvaha jako v posledním tvrzení vede k mimořádně užitečnému nástroji pro počítání limit funkcí. Je znám jako ĽHospitalovo pravidlo: Theorem Předpokládejme, že f a g jsou funkce diferencovatelné v okolí bodu xq g M, ne však nutně v bodě xq samotném, a necht existují limity lim f {x) = 0, lim g(x) = 0. x^xq x^xq Jestliže existuje limita x^xq g'(x) pak existuje i limita a jsou si rovny. MB202/04 10 / 44 ĽHospitalovo pravidlo Důkaz Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že v xo mají funkce f a g nulovou hodnotu. Výsledek je opět jednoduše představitelný pomocí obrázku. Uvažujme body [g(x), f(x)] £ M2 parametrizované proměnnou x. Podíl hodnot pak odpovídá směrnici sečny mezi body [0,0] a [f(x),g(x)]. Zároveň víme, že podíl derivací odpovídá směrnici tečny v příslušném bodě. Z existence limity směrnic tečen tedy chceme dovodit existenci limity směrnic sečen. MB202/04 11 / 44 ĽHospitalovo pravidlo Pokračovaní. Technicky lze využít věty o střední hodnotě v parametrickém tvaru. Předně si uvědomme, že v tvrzení věty implicitně předpokládáme existenci výrazu f'(x)/g'(x) na nějakém okolí xo, zejména tedy pro dostatečně blízké body c k xo bude g'(c) ^ 0. f(x) f(x) - f(x0) f'(cx) lim —r-r = lim —--— = h m -77—r, x^x0 g(x) x^x0 g(x) - g(x0) x^x0 g'(cx) kde cx je číslo mezi xo a x. Nyní si všimněme, že z existence limity f'(x) limx^Xo -jp^ vyplývá, že stejnou hodnotu bude mít i limita libovolné posloupnosti vzniklé dosazením hodnot x = xn jdoucích k xo do f'(x)/g'(x). Zejména tedy můžeme dosadit jakoukoliv posloupnost cXn pro f'(c) Xn —> xq a proto bude existovat i limita limx^xo ^pjfj a poslední dvě limity zjevně budou mít stejnou hodnotu. Dokázali jsme tedy, že naše hledaná limita existuje a má také stejnou hodnotu. □ MB202/04 12 / 44 ĽHospitalovo pravidlo Jednoduše lze rozšířit ĽHospitalovo pravidlo i pro limity v nevlastních bodech ±00 a v případě nevlastních hodnot limit. Je-li, např. lim f(x) = 0, lim g(x) = 0, x—>oo x—>oo potom je limx^o+ f(Vx) = 0 a limx^o+ áí(l/x) = 0- Zároveň z existence limity podílu derivací v nekonečnu dostaneme lim WMY = lim rW*K-V*) = lim fjm = lim m x-.0t (g(l/x))' g'(l/x)(-l/x2) x^g'(l/x) x-.«og'(x) Použitím předchozí věty tedy dostáváme, že v tomto případě bude existovat i limita podílu f{x) f(l/x) f'(x) lim = hm ) , = hm -^r. ĽHospitalovo pravidlo Ještě jednodušší je postup při výpočtu limity v případě, kdy Stačí totiž psát lim f(x) = ±00, lim g(x) = ±00. x^xq x^xq lim , , = lim x^xo g{x) x^xo l/f{x)' což je již případ pro použití ĽHospitalova pravidla z předchozí věty. Theorem Necht f a g jsou funkce diferencovatelné v okolí bodu xq g M., ne však nutně v bodě xq samotném, a necht existují limity limx^Xo f(x) = ±00 a limx^0 g(x) = ±00. Jestliže existuje limita limx^Xo pak existuje i limita limx^Xo a jsou si rovny. ĽHospitalovo pravidlo Důkaz. Opět lze vyjít z věty o střední hodnotě. Vyjádříme podíl, abychom " viděli" derivaci: f(*) _ f(*) f{x) - f(y) g(*)-g(y) g(x) f(x)-f(y) g(x)-g(y) g(x) kde y volíme nějaký pevný ze zvoleného okolí xo a x necháme blížit k xq. Protože jsou limity f i g v xo nekonečné, můžeme jistě předpokládat, že rozdíly hodnot v x a y jsou u obou funkcí při pevném y nenulové. Nyní nahradíme prostřední zlomek podílem derivací f(x) f'{c) g(x) x_m g'(cy f(x) kde c závisí na x i y. Při pevném y a x jdoucím k xo jde první zlomek zjevně k jedničce a druhý zlomek se blíží k limitní hodnotě podílu derivací. □ MB202/04 15 / 44 ĽHospitalovo pravidlo Příklad Vhodnými úpravami sledovaných výrazů lze využít ĽHospitalova pravidla také na výrazy typu oo — oo, 1°°, 0 • oo apod. Zpravidla jde o prosté přepsání výrazů nebo o využití nějaké hladké funkce, např. exponenciálni. Uveďme alespoň dva příklady hned: íl 1 \ 2x - sin 2x l|m t—r--7T- = l|m —z—^r;— x^o\sm2x 2x/ x^o 2xsm2x 2 - 2 cos 2x = hm - x^o 2 sin 2x + 4x cos 2x 4sin2x = hm -= 0, x^o 4 cos 2x + 4 cos 2x — 8x si n 2x přičemž získané tvrzení je třeba číst od konce. Tj. z existence poslední limity (podíl druhých derivací) vyplývá existence limity podílů prvních derivací a z toho plyne existence i hodnota původní limity. MB202/04 16 / 44 ĽHospitalovo pravidlo Příklad Druhý příklad nám ukáže souvislost aritmetického a geometrického průměru z n hodnot. Aritmetický průměr M (xi,...,x„) =- n je speciálním případem tzv. mocninného průměru stupně r: Mr(xi,...,x„) Speciální hodnota M 1 se nazývá harmonický průměr. ĽHospitalovo pravidlo Příklad - pokračovaní Spočtěme si limitní hodnotu Mr pro r jdoucí k nule. Za tímto účelem spočteme limitu pomocí ĽHospitalova pravidla (jde o výraz 0/0, využití spojité funkce In neškodí a pozor, derivujeme podle r!): limln(Mľ(x1,...,xn))= lim ln(K4+ •••<)) r—5-0 r—5-0 r x[ In xiH-----hxf, In x„ - lim x +-+x' n I n x\ + • • • + I n x n In Odtud tedy je přímo vidět, že lim Mr(xi,... ,xn) = ýxi ...xn, r—>0 což je hodnota známá pod názvem geometrický průměr. MB202/04 Kolik je ex? Budeme „počítat" ex. Jestliže v posloupnosti am = (1 + ^)m dosadíme za m hodnoty m = n/x pro nějaké pevné xéI, dostaneme Přitom, je limita £>„ pro n jdoucí do nekonečna opět e. Odvodili jsme tedy důležitý vztah platný pro všechna x G M ex= lim (l + -Y. Kolik je ex? n-tý člen posloupnosti un(x) = (l + vyjádříme pomocí bionomické věty: , . x n(n — l)x2 n\xn ♦SH)H)-(-^ Protože jsou všechny závorky v součinech menší nezjedná, dostáváme také " 1 un{x) < vn(x) = ^2 ~\xi■ j=oJ' MB202/04 21 / 44 Kolik je ex? Uvažme formální součet Y1]Zq cj = Y1]Zq jrx'/> který chápeme jako limitu našich čísel vn (pokud existuje) " 1 un{x) < vn(x) = ^2 ~\xi■ j=oJ- Podíl dvou po sobě jdoucích členů v řadě je cj+i/cj = x/(n + 1). Pro každé pevné x tedy existuje N G N takové, že cj+i/cj < 1/2 pro všechny j > N. Pro takto velké j je ovšem c/+i < \cj < 2-í/-A/+1)cA/. To ale znamená, že částečné součty prvních n členů v našem formálním součtu jsou shora ohraničeny součty N 1 1 "~N 1 Kolik je ex? Poslední suma je zvláštní případ součtu geometrické řady Ylj-o $■ Protože platí pro každé q (l-q)(l + q + ... + q«) = l existuje limita částečných součtů v geometrické řadě YljZorf právě když \q\ < 1 a v takovém případě platí oo k j Eqj = lim qj =--. k^oo 1 - q j=o j=o Protože čísla vn tvoří rostoucí posloupnost, jistě také tato posloupnost konverguje. Říkáme, že řada Yl]Zojíx^ konverguje. MB202/04 23 / 44 Kolik je ex? Čísla un, jejichž limitou je ex, umíme aproximovat libovolně přesně výrazy vn. S trochou pečlivosti odtud dostaneme: Theorem Exponenciální funkce je pro každé x e M vyjádřena jako limita částečných součtů ve výrazu 1 1 00 1 ex = 1 +x + -x2 + • • • + -x" + • • • = V -x". 2! n\ ^ n\ n=0 Číselné řady Definition Nekonečná řada je výraz oo ^2 an = a0 + ai + a2 H-----h + ..., kde a„ jsou reálná nebo komplexní čísla. Posloupnost částečných součtů je dána svými členy = J2n=o an a říkáme, že řada konverguje a je rovna s, jestliže existuje konečná limita částečných součtů s = lim sn. MB202/04 26 / 44 Číselné řady K tomu, aby posloupnost sn konvergovala, je nutné a stačí, aby byla Cauchyovská. Tzn. že l^m — Sn| = |Sn+l + " " " + 3m\ musí být libovolně malé pro dostatečně velká m > n. Protože je lan+i| + • • • + |am| > |an+i + • • • + 3m\, vyplývá z konvergence řady J2T=o la"l ' konvergence řady J2T=o a"-Definition Říkáme, že řada YlT^o a" konverguje absolutně, jestliže konverguje řada Jestliže posloupnost částečných součtů řady má nevlastní limitu, říkáme že řada diverguje k oo nebo —oo. ■ t MB202/04 27 / 44 Číselné řady Theorem Necht S = J2T=o 3n 3 T = J2T=o jsou dvě absolutně konvergentní řady. Pak O jejich součet absolutně konverguje k součtu oo oo oo S +T = J2an + J2bn = 5ľ(3" + n=0 n=0 n=0 Q jejich rozdíl absolutně konverguje k rozdílu oo oo oo S-T = ^2an-^2bn = ^2{an - bn), n=0 n=0 n=0 0 _/e/'/c/j součin absolutně konverguje k součinu (oo \ / oo \ oo / n \ MB202/04 28 / 44 Číselné řady Theorem Necht S = J2T=o an Je nekonečná řada reálnych nebo komplexních čísel. O Jestliže S konverguje, pak limn^oo an = 0. Q Předpokládejme, že existuje limita podílů po sobě jdoucích členů řady a platí 3n+l lim Pak řada S konverguje absolutně při \ q\ < 1 a nekonverguje při \q\ > 1. Při \q\ = 1 může řada konvergovat ale nemusí. Jestliže existuje limita lim q, pak při q < 1 řada konverguje, zatímco při q > 1 diverguje. Je-li q = 1, může konvergovat i divergovat. MB202/04 29 / 44 Číselné řady Corollary Nechi S = Yl^Lo a" Je nekonečná řada reálných nebo komplexních čísel. O Je-li 3n+l 1 3n pak řada S konverguje absolutně při q < 1 a nekonverguje při q > 1. Při q = 1 může řada konvergovat ale nemusí. Q Je-li q = lim sup "v/fa^j, pak při q < 1 řada konverguje, zatímco při q > 1 diverguje. Je-li q = 1, může konvergovat i divergovat. q = lim sup MB202/04 30 / 44 Mocninné řady Jestliže máme místo posloupnosti čísel an k dispozici posloupnost funkcí fn{x) se stejným definičním oborem A, můžeme bod po bodu použít definici řady a dostáváme pojem součtu řady funkcí oo S(x) = 5>(x). Definition Mocninná řada je dána výrazem oo S(x) = ^3nx". Řekneme, že S(x) má poloměr konvergence p > 0, jestliže S(x) konverguje pro každé x splňující |x| < p a diverguje při |x| > p. MB202/04 32 / 44 Mocninné řady Theorem Nechť S(x) = YI^Lq anx" Je mocninná řada a existuje limita p = lim V Je to geometrická řada, kterou jsme se zabývali již dříve, a její součet je pro všechny x s |x| < 1 zatímco |x| > 1 zaručuje divergenci. Pro x = 1 dostáváme také zjevně divergentní řadu 1 + 1 + 1 + ... s nekonečným součtem, při x = —1 jde o řadu 1 — 1 + 1 — ..., jejíž částečné součty nemají limitu vůbec. MB202/04 34 / 44 Mocninné řady Example Poloměr konvergence řady 7~(x) = Yl^Li nx" Je také jedna, protože existuje lim n+l lxn x lim n + l Pro x = 1 tu dostaneme divergentní řadu 1 + ^ + ^ + ... Naopak, řada 7~(—1) _1 + I _ I 1 ^ 2 3 + ... konverguje. O řadě T = J2T=o s reálnými členy řekneme, že je alternující, jestliže je znaménko dvou po sobě jdoucích členů vždy opačné. Pokud je navíc \bn klesající posloupnost a pro řadu T platí nutná podmínka konvergence, tj. linin^oo bn = 0, pak řada konverguje (vyplyne z obecnějších výsledků později). Príspevky do zverince S mocninnými řadami nám do našeho společenství přibyla spousta nových příkladů hladkých funkcí, tj. funkcí libovolněkrát diferencovatelných na celém svém definičním oboru. Pohřejme si ještě chvíli s nejvýznamnějším a prvním naším příkladem, exponenciálou ex = 1 + x + \x2 + • • • + —xn + .... Tato mocninnná řada má poloměr konvergence nekonečný a dobře proto definuje funkci pro všechna komplexní čísla x. Její hodnoty jsou limitami hodnot (komplexních) polynomů s reálnými koeficienty a ze spojitosti tedy musí pro ni platit i obvyklé vztahy, které jsme pro reálné hodnoty proměnné x již odvodili. MB202/04 37 / 44 Príspevky do zverince Zejména platí e*+r = ex-ey,. Dosaďme si hodnoty x = i ■ t, kde / g C je imaginárni jednotka, ŕ g M libovolné. a zjevně tedy je komplexně konjugované číslo k z = e" číslo ž = e~'ř. Proto \z\2=z-ž = e/ř-e-/ř = e° = l a všechny hodnoty z = e'ř proto leží na jednotkové kružnici v komplexní rovině. MB202/04 38 / 44 Příspěvky do zvěřince Reálné a imaginární složky bodů na jednotkové kružnici přitom bývají popisovány pomocí goniometrických funkcí cos 9 a sin ř?, kde 9 je patřičný úhel. Dostáváme přímou definici goniometrických funkcí pomocí mocninných řad: cos t = re e it + <-1»'^)i sin t = im e' it 1 3 1 5 1 7 t--r h—r--ť + 3! 5! 7! • + (-1)' (2/c + l)! 1 ť 2k+l + ••• MB202/04 39 / 44 Příspěvky do zvěřince Ilustraci konvergence řady pro funkci cos je vidět na obrázku. Jde o graf příslušného polynomu stupně 68. Při postupném vykreslení částečných součtů je vidět, že aproximace v okolí nuly je velice dobrá a prakticky beze změn. S rostoucím řádem se pak zlepšuje i dále od počátku. 1 y 0 5-1 7, 1 1 1 1 30 i i i 20 i i i ■10 i i i i 0 V 5-1- li 1 1 1 1 10 1 1 1 1 1 2C 1 1 1 1 1 30 -1,5 J MB202/04 40 / 44 Príspevky do zverince Přímo z definice také vyplýva známý vztah sin2 t + cos2 t = 1 a také z derivace (e'ř)' = /e'ř vidíme, že (sin t)' = cos t, (cos t)' = — sin t. Tentýž výsledek lze samozřejmě ověřit přímo derivací našich řad člen po členu. (Ověříme později, že to tak skutečně lze dělat.) Príspevky do zverince Předpokládejme, že roje nejmenší kladné číslo, pro které je e~'ř° = — e'ř°, tj. první kladný nulový bod funkce cos ŕ. Podle obvyklé definice Ludolfova čísla je ŕo = Pak e~'2í° = (e~'Í0)2 = e'2í° a jde proto o nulový bod funkce sin t. Samozřejmě pak platí pro libovolné t e/(4/cto+t) = (e/to)4/c.e/t = 1.e/t_ Jsou tedy obě funkce goniometrické funkce periodické s periodou 2tt. Z našich definic je přitom vidět, že je to nejmenší jejich perioda. MB202/04 42 / 44 Příspěvky do zvěřince Nyní můžeme snadno odvodit všechny obvyklé vztahy mezi goniometrickými funkcemi. Uvedeme na ukázku několik z nich. Nejprve si všimněme, že definice vlastně říká cosř = i(e/ř + e-/ř) sinř = -(e/ř-e-/ř). Součin těchto funkcí jde tedy vyjádřit jako sinřcosř = —(eit-e-it)(eit + e-it) = -(ei2t - e-''2t) = -sin2ř. Dále můžeme využít naši znalost derivací: cos 2t = (- sin 2t)' = (sin t cos t)' = cos2 t — sin2 t. Príspevky do zverince Vlastnosti dalších goniometrických funkcí sin ŕ i tgt =--, cotg t = tg t) cos t se snadno odvodí z jejich definice a pravidel pro derivování.