MB202 - Diferenciální a integrální počet B Taylorův rozvoj a průběh funkce
MB202/05
1 / 29
Obsah přednášky
Ql Derivace vyšších řádů
0 Taylorův rozvoj, analytické a hladké funkce
Q Průběh funkcí
Ql Diferenciál funkce
MB202/05 2 / 29
Derivace vyšších řádů
Jestliže má první derivace f'(x) reálné nebo komplexní funkce f v bodě xo
derivaci (f')'(xo), říkáme že existuje druhá derivace funkce f, resp.
derivace druhého řádu. Píšeme pak f"(xo) = (ŕ"')'(xo) nebo také r(2)(xo).
Derivace vyšších řádů definujeme induktivně:
Reálná nebo komplexní funkce f je v bodě xo (k + l)-krát
diferencovatelná pro nějaké přirozené číslo k, jestliže je /r—krát
diferencovatelná na nějakém okolí bodu xo a její k-tá derivace má v bodě
xo derivaci. Pro /c-tou derivaci funkce f{x) píšeme f^k\x). Pro k = 0
rozumíme 0-krát diferencovatelnými funkcemi funkce spojité.
Jestliže existují derivace všech řádů na intervalu, říkáme, že je tam funkce
f hladká.
Pro funkce se spojitou /c-tou derivací používáme označení třída funkcí Ck(A) na intervalu A, kde k může nabývat hodnot 0,1,..., oo. Často píšeme pouze Ck, je-li definiční obor znám z kontextu.
MB202/05
4/29
Derivace vyšších řádů
Již jsme viděli, že první derivace funkce je jejím lineárním přiblížením v okolí daného bodu a že ze znaménka nenulové derivace vyplývá, že funkce je v bodě xo rostoucí nebo klesající. Body, ve kterých je první derivace nulová se nazývají kritické body dané funkce.
Je-li xo kritický bod funkce f, může být chování funkce f v okolí bodu xo jakékoliv. Vidíme to již z chování funkce f(x) = x" v okolí nuly pro libovolné n. Pro lichá n > 0 bude f(x) rostoucí, pro sudá n naopak bude nalevo klesající a napravo rostoucí, dosáhne tedy v bodě xo své minimální hodnoty mezi body z (dostatečně malého) okolí bodu xq = 0.
MB202/05
5/29
Derivace vyšších řádů
Tentýž pohled můžeme aplikovat na funkci f. V kritickém bodě xo bude derivace f'(x)
• rostoucí při kladné druhé derivaci
• klesající při záporné druhé derivaci.
Jestliže je ale rostoucí, znamenená to, že nutně bude záporná nalevo od kritického bodu a kladná napravo od něj. Funkce f v takovém případě je klesající nalevo od kritického bodu a rostoucí napravo od něj. To znamená, že má funkce f v bodě xo minimum ze všech hodnot z nějakého malého okolí bodu xo.
Naopak, je-li druhá derivace záporná v xo, je první derivace klesající, tedy záporná vlevo od xo a kladná vpravo. Funkce f bude tedy mít v bodě xo maximální hodnotu ze všech hodnot na nějakém okolí.
MB202/05
6/29
Derivace vyšších řádů
Extrémy funkce
Funkce diferencovatelná na (a, b) a spojitá na [a, b] má jistě na tomto intervalu absolutní maximum a minimum. Může ho dosáhnout pouze bud' na hranici nebo v bodě s nulovou derivací, tj. v kritickém bodě. Pro diskusi extrémů nám tedy mohou stačit kritické body a druhé derivace pomůžou určit typy extrémů, pokud jsou nenulové. Pro přesnější diskusi ale potřebujeme lepší než lineární aproximace zkoumaných funkcí. Proto se nejprve budeme věnovat úvahám v tomto směru a teprve poté se vrátíme k diskusi průběhu funkcí.
MB202/05
7/29
Taylorův rozvoj, analytické a hladké funkce
Jako překvapivě jednoduché využití Rolleovy věty teď odvodíme mimořádně důležitý výsledek. Říkává se mu Taylorův rozvoj se zbytkem. Intuitivně se k němu můžeme dostat obrácením našich úvah kolem mocninných řad. Máme-li totiž mocninnou řadu S(x) = Yľ^Ĺo a"{x ~ a)" a derivujeme-li ji opakovaně, dostáváme mocninné řady (víme, že je možné takový výraz derivovat člen po členu, i když jsme to ještě nedokázali)
oo
S«(x) = Y, n{n - 1)... (n - k + l)a„(x - 3)n~k.
n=k
V bodě x = a je S^k\a) = k\a^. Můžeme tedy naopak číst poslední tvrzení jako rovnici pro a^ a původní řadu přepsat jako
oo -
S(x) = J2^"\a)(x-ay.
n=0
MB202/05
9/29
Taylorův rozvoj, analytické a hladké funkce
Jestliže místo mocninné řady máme nějakou dostatečně hladkou funkci f(x), je tedy na místě se ptát, zda ji můžeme vyjádřit jako mocninnou řadu a jak rychle budou konvergovat částečné součty (tj. přiblížení funkce f polynomy). Naše úvaha právě naznačila, že můžeme očekávat v okolí bodu a dobrou aproximaxi polynomy, tzv. Taylorovými polynomy /c-tého řádu:
Pkf(x) = f (a) + f'(a)(x -a) + \f"{a){x - a)2 + • • • + ^k\a)(x - a)k.
Přesná odpověď vypadá podobně jako věta o střední hodnotě, jen pracujeme s vyššími stupni plynomů (tzv. Taylorův rozvoj se zbytkem).
MB202/05
10 / 29
Taylorův rozvoj, analytické a hladké funkce
Theorem
Necht je f(x) funkce k-krát diferencovatelná na intervalu (a, b) a spojitá na [a, b\. Pak pro každé x G (a, b) existuje číslo c G (a, x) takové, že
f(x) = f (a) + f'(a)(x - a) + • • • + ^-^(*-D(a)(x - a)^1
+ ^f{k\c){x - af = Pk-1f{x) + ^k\c){x-a)k.
MB202/05
11 / 29
Taylorův rozvoj, analytické a hladké funkce
Pokud tedy umíme odhadnout velikost k-té derivace na celém intervalu, dostaneme přímo odhady chyb. Speciálním případem je samozřejmé věta o střední hodnotě coby aproximace řádu nula.
Iterováním derivace funkce sin x dostaneme vždy bud' sinus nebo cosinus s nějakým znaménkem, ale v absolutní hodnotě budou hodnoty vždy nejvýše jedna. Dostáváme tedy přímý odhad rychlosti konvergence mocninné řady
|sinx- (Pks\n){x)\ < .
Vidíme tedy, že pro x výrazně menší než k bude chyba malá, pro x srovnatelné s k nebo větší ale bude obrovská.
MB202/05
12 / 29
Taylorův rozvoj, analytické a hladké funkce
Theorem (Taylorova věta)
Předpokládejme, že funkce f(x) je na intervalu (a — b, a + b) hladká a že všechny její derivace jsou zde omezeny stejnoměrně konstantou M > 0, tj.
\fw(x)\ < M,    k = 0,1,..., x G (a - b, a + b).
Pak mocninná řada S(x) = Y^Lo   f^n\a)[x — a)n konverguje na intervalu (a — b, a + b) k funkci f(x).
Důkaz.
Důkaz je shodný s úvahou v konkrétním případě fukce cosx. □
MB202/05
13 / 29
Taylorův rozvoj, analytické a hladké funkce
Je-li f v bodě a hladká, pak můžeme napsat formálně mocninnou řadu
oo 1
Taylorova věta nám říká, že pokud tato mocninná řada má nenulový poloměr konvergence, pak je S(x) = f(x) na příslušném intervalu. Takovým funkcím říkáme analytické funkce v bodě a. Funkce je analytická na intervalu, je-li analytická v každém jeho bodě. Ne všechny hladké funkce jsou ale analytické. Ve skutečnosti lze dokázat, že pro každou posloupnost čísel an umíme najít hladkou funkci, jejiž derivace řádů k budou tato čísla a^.
MB202/05
14 / 29
Taylorův rozvoj, analytické a hladké funkce
Abychom si alespoň představili podstatu problému, ukážeme si funkci, která má v nule všechny derivace nulové, je však všude kromě tohoto bodu nenulová:
f (x) = e"1/-2 .
Je dobře definovaná hladká funkce pro všechny body Derivací dostaneme f'(x) = f(x) • 2x~3 a iterovanou derivací dostaneme součet konečně mnoha členů tvaru C • f (x) • x~k, kde C je nějaké celé číslo a k je přirozené číslo. Pro takové výrazy lze opakovanou aplikací ĽHospitalova pravidla zjistit, že jdou limitně k nule, při x jdoucím k nule. Dodefinujeme-li tedy hodnoty všech derivací naší funkce v nule rovnicí
f w = 0,
získáme hladkou funkci na celém M. Je vidět, že skutečně jde o nenulovou funkci všude mimo x = 0, všechny její derivace v tomto bodě jsou ale nulové. Samozřejmě to tedy není analytická funkce v bodě xq = 0.
MB202/05
15 / 29
Taylorův rozvoj, analytické a hladké funkce
Snadno teď můžeme naši funkci modifikovat takto:
je-li x < 0 je-li x > 0
Opět jde o hladkou funkci na celém M. Další úpravou můžeme získat funkci nenulovou ve všech vnitřních bodech intervalu [—a, a], a > 0 a nulovou jinde:
je-li |x| > a je-li |x| < a.
MB202/05
16 / 29
Taylorův rozvoj, analytické a hladké funkce
Tyto funkce je hladké na celém M. Poslední dvě funkce jsou na obrázcích, vpravo je použit parametr a = 1.
0 1 2 3 4 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4
MB202/05
17 / 29
Taylorův rozvoj, analytické a hladké funkce
Nakonec ještě ukážeme, jak lze dostat hladké analogie Heavisideových funkcí. Pro dvě pevně zvolená reálná čísla a < b definujeme funkci f(x) s použitím výše definované funkce g takto:
g(x - a) + g(b - x)'
Zjevně je pro každé x G M jmenovatel zlomku kladný (pro každý z intervalů určených čísly a a b je totiž alespoň jeden ze sčítanců jmenovatele nenulový a tedy je celý jmenovatel kladný). Dostáváme z našeho definičního vztahu proto hladkou funkci f(x) na celém M. Při x < a je přitom jmenovatel zlomku přímo dle definice funkce g nulový, při x > b je čitatel i jmenovatel stejný.
MB202/05
18 / 29
Taylorův rozvoj, analytické a hladké funkce
Na dalších dvou obrázcích jsou právě funkce f(x) a to s parametry a = l — a, b = 1 + a, kde nalevo je a = 0.8 a napravo a = 0.4.
0 0,5 1 1,5 2 0 0,5 1 1,5 2
MB202/05 19 / 29
Průběh funkcí
Budeme v dalším uvažovat funkce s dostatečným počtem spojitých
derivací, aniž bychom tento předpoklad přímo uváděli.
Řekneme, že bod a v definičním oboru funkce f je kritický bod řádu k,
jestliže platí f (a) = ■■■ = fW(a) = 0, f(k+1\a) + 0.
Předpokládejme, že f(k+1\a) > 0. Pak je tato spojitá derivace kladná i na
jistém okolí 0{a) bodu a. Taylorův rozvoj se zbytkem nám v takovém
případě dává pro všechna x z 0{a)
f{x) = f{a) + TkTř)\f{k+1){c){x "a)k+1-
Je proto změna hodnot f(x) v okolí bodu a dána chováním funkce (x-a)k+1.
Je-li k + 1 sudé číslo, jsou hodnoty f[x) v takovém okolí větší než hodnota f (a) — bod a bodem lokálního minima.
Pokud je k sudé číslo, pak jsou hodnoty vlevo menší a vpravo větší než než f (a), extrém tedy ani lokálně nenastává. Zato graf funkce f[x) protíná svoji tečnu y = f (a) bodem [a, f (a)].
Naopak, je-li f(k+1\a) < 0, pak ze stejného důvodu jde o lokální maximum při lichém k a extrém opět nenastává pro k sudé.
MB202/05 21 / 29
Průběh funkcí
Funkce f je v bodě a konkávni, jestliže se její graf nachází v jistém okolí celý pod tečnou v bodě [3,^(3)], tj. požadujeme
f{x) < f{a) + f'{a){x-a).
Říkáme, že funkce f je konvexní v bodě a, jetliže naopak je její graf nad tečnou v bodě a, tj.
f{x) > f{a) + f'{a){x-a).
Funkce je konvexní nebo konkávni na intervalu, jestliže má tuto vlastnost v každém jeho bodě.
Má-li funkce f spojité druhé derivace v okolí bodu s, z Taylorova rozvoje druhého řádu se zbytkem
f{x) = f{a) + fi{a){x-a)+l-f"{c){x-af.
Proto je zjevně funkce konvexní, kdykoliv je f "{a) > 0, a je konkávni, kdykoliv f"(a) < 0.
Pokud je druhá derivace nulová, můžeme (opatrně) použít derivace vyšších řádů.
MB202/05 22 / 29
Průběh funkcí
Bod a nazýváme inflexní bod diferencovatelné funkce f, jestliže graf funkce f přechází z jedné strany tečny na druhou. Předpokládejme, že f má spojité třetí derivace a napišme si Taylorův rozvoj třetího řádu se zbytkem:
f{x) = f{a) + f\a){x-a) + \f%a){x-af + \f'''{c){x-af.
Je-li a nulový bod druhé derivace takový, že f "(a) ^ 0, pak je třetí derivace nenulová i na nějakém okolí a jde proto zjevně o inflexní bod. Znaménko třetí derivace nám v takovém případě určuje, zda graf funkce přechází tečnu zdola nahoru nebo naopak.
Pokud je bod a navíc izolovaným nulovým bodem druhé derivace a zároveň inflexním bodem, pak zjevně je na nějakém malém okolí bodu a funkce na jedné straně konkávni a na druhé konvexní. Inflexní body tedy můžeme také vnímat jako body přechodu mezi konkávním a konvexním chováním grafu funkce.
MB202/05
23 / 29
Průběh funkcí
Asymptotou funkce f v nevlastním bodě oo je taková přímka y = ax + b, pro kterou je
lim ifix) - ax - b) = 0.
Říkáme jí také asymptota se směrnicí. Pokud taková asymptota existuje, platí
lim (f(x) — ax) = b
a tedy existuje i limita
, fit) lim ——
x—>oo x
Pokud ovšem existují poslední dvě limity, existuje i limita z definice asymptoty, jde proto i o podmínky dostatečné. Obdobně v —oo. Zbývají nám případné přímky kolmé na osu x: Asymptoty v bodech a G jsou přímky x = a takové, že funkce f má v bodě a alespoň jednu jednostrannou limitu nekonečnou. Hovoříme tako o asymptotách bez směrnice.
MB202/05
24 / 29
Diferei
Závislostmi mezi různými veličinami, řekněme y a x, často nejsou dány pevně. Explicitní vztah y = f (x) s nějakou funkcí f je tedy jen jednou z možností. Derivování pak vyjadřuje, že okamžitá změna y = f (x) je úměrná okamžité změně x a to s úměrou f'(x) = ^(x). Tento vztah pak píšeme
df(x) = £{x)dx,
kde df(x) interpretujeme jako lineární zobrazení přírůstků dané
df(x)(Ax) = f'(x) • Ax, zatímco dx(x)(Ax) = Ax.
Hovoříme o diferenciálu funkce f pokud platí aproximační vlastnost
|]m   f(x + Ax)-f(x)-df(x)(Ax) Q
Ax^O Ax
Z Taylorovy věty tedy vyplývá, že funkce s ohraničenou derivací f má diferenciál df. To zejména v bodě x nastane, když je v něm první derivace f'(x) existuje a je spojitá.
MB202/05
26 / 29
Diferei
Pokud je veličina x vyjádřena pomocí další veličiny ŕ, tj. x = g(t), a to opět funkcí se spojitou první derivací, pak pravidlo o derivaci složené funkce říká, že i složená funkce f o g má opět diferenciál
Můžeme proto vnímat df jako lineární přiblížení dané veličiny v závislosti na přírůstcích závislé proměnné, ať už je tato závislost dána jakkoliv.
MB202/05
27 / 29
Křivost grafu funkce
Diferei
Graf hladké funkce f(x) teď budeme diskutovat jako zvláštní případ parametrizované křivky v rovině. Můžeme si ji představit jako pohyb v rovině parametrizovaný pomocí nezávislé proměnné x. Pro libovolný bod x z definičního oboru naší funkce můžeme okamžitě výpočtem první derivace vidět vektor (1, f'(x)) G M2, který představuje okamžitou rychlost takového pohybu. Tečna bodem [x, f(x)] parametrizovaná pomocí tohoto směrového vektoru pak představuje lineární přiblížení křivky. Viděli jsme už také, že v případě, že f"(x) = 0 a zároveň f"'[x) 7^ 0, přechází graf naší funkce přes svoji tečnu, tzn. že tečna je i nejlepším přiblížením křivky v bodě x i do druhého řádu. To zpravidla popisujeme tvrzením, že má graf funkce f v bodě x nulovou křivost.
MB202/05
28 / 29
Diferei
Tečnu grafu v pevném bodě P = [x, f (x)] jsme dostali pomoci limity sečen, tj. přímek procházejícími body P a Q = [x + Ax, f (x + Ax)]. Chceme-li přiblížit druhou derivaci, budeme body P a Q ^ P prokládat kružnicí Cq, jejíž střed je na průsečíku kolmic na tečny, vztyčených v bodech P a Q. Pro poloměr této tzv. oskulační kružnice platí
_ ds_ _ ds_d>^ _ (1 + (f)2)3/2 ^    da     dx da f"
MB202/05
29 / 29