MB202 - Diferenciální a integrální počet B Integrální počet - pokračování
MB202/07
1/30
Obsah přednášky
Q Nevlastní a nekonečné integrály
Q Príklady užití integrálu
O Přírůstky v ZOO
Q Integrálni kritérium konvergence
Nevlastní a nekonečné integrály
Uvažme integraci racionálně lomené funkce
f{x) =
(x + l)(x - 2)2
Rozkladem na parciální zlomky
f r, x ,       ľ      5       ,       ľ 5x - 16 ,
J       = J 9(7TT)dx " J W^Wdx
kde oba integrály už umíme přímo spočíst (coby primitivní funkce). Jak ale s určitými integrály, když integrační meze zahrnují singularitu fl
Nevlastní a nekonečné integrály
Integrovaná funkce na intervalu [0,3] je „tlustý" neohraničený sloup (načrtněte si) kolem hodnoty x = 2 a dá se tušit, že to povede k nekonečné ploše pod grafem na zvoleném intervalu.
Protože není integrovaná funkce ani spojitá ani omezená, nebude existovat její Riemannův integrál a nemusí platit námi odvozené výsledky. Hovoříme o „nevlastním integrálu".
Jednoduchým východiskem je diskutovat v takovém případě určité integrály na menších intervalech s hranicí blížící se problematickému bodu a zkoumat, zda existuje limitní hodnota takovýchto určitých integrálů. Pokud existuje, řekneme, že příslušný nevlastní integrál existuje a je roven této limitě.
MB202/07
5/30
Nevlastní a nekonečné integrály
Uvedeme postup na jednoduchém příkladě
/ =
dx
o
je nevlastní integrál, protože je má funkce f{x) — (2 — x)-1/4 v bodě b — 2 limitu zleva rovnou oc. V ostatních bodech je integrovaná funkce spojitá. Zajímáme se proto o integrály
>2-6
0
dx
"V4 dy =
V*
n 2
-U
= Í23/4 - -s3/4
3 3
Všimněme si, že jsme ve výpočtu substitucí dostali integrál s přepočtenou horní mezí S a dolní mezí 2. Otočením mezí do obvyklé polohy jsme do výrazu přidali jedno znaménko — navíc.
MB202/07
6/30
Nevlastní a nekonečné integrály
Limita pro S —>» 0 zprava zjevně existuje a spočítali jsme tedy nevlastní určitý integrál
, = ŕ _íl= = li/*.
io 3
Stejně budeme postupovat, pokud je zadáno integrování přes neohraničený interval. Hovoříme o nekonečných integrálech. Obecně tedy např. pro
a G IR
I = /    f(x)dx= lim  / f(x)dx,
J a b^°° J a
pokud limita vpravo existuje. Obdobně můžeme mít horní mez integrování konečnou a druhou nekonečnou.
MB202/07
7/30
Nevlastní a nekonečné integrály
Pokud jsou nekonečné obě meze, počítáme integrál jako součet dvou integrálů s libovolně pevně zvolenou pevnou mezí uprostřed, tj.
/OO ŕd roo
f{x)dx= /    f(x)dx + / f(x)dx -oo J—oo Ja
Existence ani hodnota nezávisí na volbě takové meze, protože její změnou pouze o stejnou konečnou hodnotu měníme oba sčítance, ovšem s opačným znaménkem. Naopak limita při které by stejně rychle šla horní i dolní mez do ±oc může vést k odlišným výsledkům! Např.
ľ xdx = [\x2Y_a = 0.
>J —a
přestože hodnoty integrálů Ja°°xc/x s jednou pevnou mezí utečou rychle k nekončených hodnotám.
MB202/07
8/30
Nevlastní a nekonečné integrály
Ukažme si opět výpočet nekonečného integrálu na příkladě (jeden z typů parciálních zlomků, integrál vyřešíme snadno substitucí x2 + a2 = t,
2x dx = dt)
'OO
x
'o   (x2 + a2)2
dx =
lim
b—>oo
-1
_2(x2 + a2)_ = lim
b—s-oo
2b2 + 2a2 2a2
2a2
Při výpočtu určitého integrálu z racionální funkce lomené musíme tedy pečlivě rozdělit zadaný interval podle bodů nespojitosti integrované funkce a spočítat jednotlivé nevlastní integrály každý zvlášť. Navíc je nutné rozdělit celý interval tak, abychom vždy integrovali funkci neohraničenou pouze v okolí jednoho z krajních bodů.
MB202/07
9/30
Příklady užití integrálu
Sama definice Riemanova integrálu byla odvozena od představy velikosti plochy v rovině se souřadnicemi x a y ohraničené osou x, hodnotami funkce y = f (x) a hraničními přímkami x = a, x = b. Přitom je plocha nad osou x dána s kladným znaménkem zatímco hodnoty pod osou vedou ke znaménku zápornému.
Ve skutečnosti víme pouze, co je to plocha rovnoběžnostěnu určeného dvěma vektory, obecněji ve vektorovém prostoru IRn víme, co je to objem rovnoběžnostěnu. Plochy jiných podmnožin je teprve třeba definovat. Pro některé jednoduché objekty jako třeba mnohoúhelníky je definice dána přirozeně předpokládanými vlastnostmi.
MB202/07
11 / 30
Příklady užití integrálu
Námi vybudovaný koncept Riemannova integrálu je možné zatím přímo použít pouze k měření „objemu" jednorozměrných podmnožin. O podmnožině A c K. řekneme, že je (Riemannovsky) měřitelná, jestliže je funkce x : IR —^ K.
Xa(*) =
1 jestliže je x £ A 0  jestliže je x £ A
Riemannovsky integrovatelná, tj. existuje integrál (ať už s konečnou nebo nekonečnou hodnotou)
'OO
miA) = /    Xa{x) dx.
—OO
Funkci xa říkáme charakteristická funkce množiny A.
Příklady užití integrálu
Všimněme si, že pro interval A = [a, b] jde o velikost spočtenou takto:
přesně jak jsme očekávali.
Zároveň má takováto definice „velikosti" očekávanou vlastnost, že míra sjednocení dvou Riemannovsky měřitelných disjunktních množin vyjde jako součet.
Pokud ale vezmeme spočetné sjednocení, taková vlastnost již neplatí. Např. stačí vzít množinu Q všech racionálních čísel jakožto sjednocení jednoprvkových podmnožin. Zatímco každá množina o konečně mnoha bodech má podle naší definice míru nulovou, charakteristická funkce xq není Riemannovsky integrovatelná.
b-a
MB202/07
13 / 30
Příklady užití integrálu
Pro definici plochy (objemu) ve vícerozměrných prostorech budeme umět použít koncept Riemannova integrálu, až jej zobecníme do vícerozměrného případu. Již nyní ale můžeme počítat objemy v případech, které lze snadno převést na jednorozměrnou integraci. Začneme s ještě jednodušším použitím:
Střední hodnota funkce f(x) na intervalu (konečném nebo nekonečném) [a, b] je definována výrazem
Z definice je m výška obdélníka (s orientací podle znaménka) nad intervalem [a, b], který má stejnou plochu jako je plocha mezi osou x a grafem funkce f(x).
MB202/07
14 / 30
Příklady užití integrálu
Námi vybudovaný integrál jde také dobře použít pro výpočet délky křivky ve vícerozměrném vektorovém prostoru IRn. Pro jednoduchost si to předvedeme na případu křivky v rovině IR2 se souřadnicemi x, y. Mějme tedy parametrický popis křivky F : IR —> IR2,
a představme si ji jako dráhu pohybu.
Derivací tohoto zobrazení dostaneme hodnoty, které budou odpovídat rychlosti pohybu po takovéto dráze. Proto celková délka křivky (tj. dráha uražená za dobu mezi hodnotami t = a, t — b) bude dána integrálem přes interval [a, b], kde integrovanou funkcí h(ť) budou právě velikosti vektorů
F(t) = [g(t), f(t)}
F'
(t).
MB202/07
15 / 30
Příklady užití integrálu
Chceme tedy spočíst délku s rovnou
S = f h(t) dt =  i" y/(f'(t))* + {g'{t)f dt. J a J a
Ve speciálním případě, kdy křivka je grafem funkce y = f(x) mezi body a < b obdžíme pro její délku
s= [b Ji + (f(x)ydx
J a
Tentýž výsledek lze intuitivně vidět jako důsledek Pythagorovy věty: pro lineární přírůstek délky křivky As odpovídající přírůstku Ax proměnné x
spočteme totiž právě _
As = ^Ax2 + Ay2
a to při pohledu přímo na naši definici integrálu znamená
16 / 30
Příklady užití integrálu
Jako snadný příklad spočteme délku jednotkové kružnice jako dvojnásobek integrálu funkce y = Vl — x2 v mezích [—1,1]. Víme již, že musí vyjít číslo 27t, protože jsme takto číslo 7r definovali.
5 = 2 £ y/l + W dX = 2 £ yiT— O/X
-== dx = 2[arcsinx]]:1 = 2tt. -i v 1 — x2
Jestliže v předchozím výpočtu budeme počítat s
y = Vr2 — x2 = r^/l — (x/r)2 a meze budou [—r, r], dostaneme
substitucí x = rŕ deku kružnice o poloměru r:
s(r)=2 /_', dx=2 £ yŕ?dt=2riarcsinxi-
tj. 27rr. Zejména je skutečně délka kružnice lineárně závislá na jejím poloměru.
x2
MB202/07 17 / 30
Příklady užití integrálu
Podobně plochu takové kružnice spočteme substitucí x = r sin t, dx = r cos t dt (s využitím výsledku pro I2 z minulé přednášky)
a(r) = 2 J  Vr2 - x2 dx
>tt/2
= 2r2 /      cos2 t dt
-tt/2
2r2
= — [cos t sin t + tY^/2 = 7rr2.
itt/2
Příklady užití integrálu
Další obdobou téhož principu je výpočet povrchu nebo objemu rotačního tělesa. Pokud vznikne těleso rotací grafu funkce f kolem osy x v intervalu [a, b], vzniká při přírůstku Ax nárůst plochy o násobek As délky křivky zadané grafem funkce f a velikosti kružnice o poloměru ^(x). Plocha se proto spočte formulí
A(f) = 2tt /   f(x) ds = 27r /   f{x)yjl + (ff(x))2 dx,
J a J a
kde ds = yj dx2 + dy2 je dán přírůstkem délky křivky y = f {x).
Objem stejného tělesa naroste při změně Ax o násobek tohoto přírůstku a
plochy kružnice o poloměru f(x). Proto je dán formulí
rb
V(f)=7T  / {f{x)fdx. J a
Příklady užití integrálu
Jako příklad užití posledních dvou vzorců odvodíme známé formule pro plochu sféry a objem koule.
Ar = 27T f rjl-(x/r)2   ,    1   = dt = 2%r f dt = 47rr J-r V Jl - (x/rV J-r
Vr — li I   r — x dx — 2rirr — tt
— r
3
n r
J —r
Přírůstky v ZOO
Kdy lze najít neurčitý integrál pomocí výrazů složených ze známých elementárních funkcí?
Drtivá většina spojitých funkcí vede na integrály, které tak vyjádřit neumíme.
Protože se integrací získané funkce velice často v praxi vyskytují, mnohé mají jména a před nástupem počítačů byly pro potřeby inženýrů vydávány obsáhlé tabulky hodnot takových funkcí. Uvedeme si nyní aspoň nějaké příklady.
V metodách pro zpracování signálu je velice důležitá funkce
■   / \ sin(x) smc(x) =-.
x
Docela přímočaře, byť pracně, lze ověřit, že jde o hladkou funkci s limitními hodnotami
f(0) = l, ŕ'(0) = 0, r"(0) = -f.
Je tedy okamžitě vidět, že tato sudá funkce bude mít v bodě x = 0 absolutní maximum a s narůstající absolutní hodnotou x se bude vlnit se stále se zmenšující amplitudou.
Přírůstky v ZOO
Funkce Sinusintegrál je definovaná vztahem
Si(x) = /  sinc(r) dt. Jo
Důležité jsou také Fresnelovy sinové a kosinové integrály
FresnelS(x) = / sin(Í7rŕ2)c/ŕ
Jo
FresnelC(x) = / cos(^7ľŕ2)c/ŕ.
Jo
Na levém obrázku je průběh funkce S/(x), na pravém vidíme obě Fresnelovy funkce.
Přírůstky v ZOO
Nové typy funkcí dostáváme také, když do integrovaného výrazu povolíme volný parametr, na kterém pak výsledek závisí. Příkladem může být jedna z nejdůležitějších funkcí v matematice vůbec — tzv. Gamma funkce. Je definovaná vztahem
r(z) = í
JO
oo
-t j.Z-1
e-'ť-'dt.
Lze ukázat, že tato funkce je analytická ve všech bodech z^Za pro malá z G N můžeme počítat:
roo
T(l) = /   e-ŕŕ°c/ŕ= [-e"r]g° = 1 Jo
-oo roo
-t
r(2)= /   e~tt1dt = [-e-řr]g°+ / Jo Jo
OO fOO
e"r dt = 0 + 1 = 1
r(3) = /
JO
e"r ťdt = 0 + 2 / e"r tdt = 0 + 2 = 2 o ./o
Přírůstky v ZOO
omočí indukce snadno dovodíme, že pro všechna kladná celá čísla n dává tato funkce hodnotu faktoriálu:
Následující obrázek ukazuje v logaritmickém měřítku závislé proměnné průběh funkce f(x) — ln(l~(x)). Vidíme z něj tedy, jak rychle skutečně roste faktoriál.
25 / 30
Integrální kritérium konvergence
Pomocí nevlastního integrálu také umíme rozhodnout o konvegenci některých nekonečných řad:
Theorem (Integrální kriterium konvergence řad)
Buď f(n) řada taková, že funkce f : IR —>> IR je kladná a nerostoucí
na intervalu (l,oo). Pak tato řada konverguje právě tehdy, když konverguje intergrál
f(x)dx.
Integrální kritérium konvergence
Důkaz.
Pokud interpretujeme integrál, jako plochu pod křivkou, je kriterium názorně vidět.
Pokud daná řada diverguje, pak diverguje i řada f(n)- ^ro libovolné
k G N máme pro /c-tý částečný součet sfk (řady bez prvního členu) nerovnost
k
s'k = Yjf{n)< í f(x)dx,
n=2 Jl
neboť s'k je dolním součtem Riemannova integrálu J, f(x)dx. Pak aleje
'OO
f{x)áx— lim   /   r(x)dx> lim s'k
= OO.
a uvažovaný integrál diverguje
□
MB202/07
28 / 30
Integrální kritérium konvergence
pokračování.
Předpokládeme nyní, že daný integrál konverguje a označme /c-tý částečný součet dané řady jako s^. Potom máme nerovnosti
/    f{x) dx = lim   /   r(x)dx< lim     < oo,
neboť s/f je horním součtem Riemannova integrálu f£ f{x) dx a předpokádáme, že daná řada konverguje. □
i
MB202/07
29 / 30
Integrální kritérium konvergence
Jako příklad použití rozhodněme, pro jaká k konverguje řada
R u =
OO ^
n=l
Všimněme si nejprve, že neumíme o konvergenci rozhodnout na základě podílového či odmocninového kriteria (obě limity lim        | i lim v/a^
n^řoc    3n n—>-oo
jsou rovny 1).
Pomocí integrálního kriteria pro konvergenci řad dostáváme pro k ^ 1:
'OO
dx =
lim
S^oo
(1 - k)x
1-k
ô 1
a daná řada tedy konverguje pro všechna k > 1 a diverguje pro k < 1 V případě k = 1 je primitivní funkcí logaritmus a integrál i řada opět divergují.
MB202/07
30 / 30