MB202 - Diferenciální a integrální počet B Nekonečné řady čísel a funkcí MB202/08 1 / 29 Obsah přednášky Q| Integrální kriterium konvergence 0 Posloupnosti a řady funkcí Q| Znovu mocninné řady Integrální kriterium konvergence Pomocí nevlastního integrálu také umíme rozhodnout o konvegenci některých nekonečných řad: Theorem (Integrální kriterium konvergence řad) Buď Yl^=i f{n) řada taková, že funkce f : M —> M je kladná a nerostoucí na intervalu (l,oo). Pak tato řada konverguje právě tehdy, když konverguje intergrál /oo f(x) dx. MB202/08 4/29 Integrální kriterium konvergence Důkaz. Pokud interpretujeme integrál, jako plochu pod křivkou, je kriterium názorně vidět. Pokud daná řada diverguje, pak diverguje i řada Yl^=2 f{n)- ^ro libovolné k G N máme pro k-tý částečný součet s'k (řady bez prvního členu) nerovnost neboť s'k je dolním součtem Riemannova integrálu J1 f(x)dx. Pak aleje / f(x)dx = lim / f(x) dx > lim s'k = 00, J1 k^oo J1 k^oo a uvažovaný integrál diverguje. □ MB202/08 5/29 Integrální kriterium konvergence pokračování. Předpokládeme nyní, že daný integrál konverguje a označme k-tý částečný součet dané řady jako s^. Potom máme nerovnosti ľoo ľk / f(x)dx = lim / f (x) dx < lim < oo, J1 k^oo J1 k^oo neboť Sk je horním součtem Riemannova integrálu f£ f(x) dx a předpokádáme, že daná řada konverguje. □ MB202/08 6/29 Integrální kriterium konvergence Jako příklad použití rozhodněme, pro jaká k konverguje řada oo 1 Všimněme si nejprve, že neumíme o konvergenci rozhodnout na základě podílového či odmocninového kriteria (obě limity lim i lim -pfai, jsou rovny 1). Pomocí integrálního kriteria pro konvergenci řad dostáváme pro k ^ 1: ľ°° 1 \, , i u~]5 í/c - 1 /c> 1 / -^dx = lim (1 - *)x1_,r = { Ji *k í-k» Lv Ji j^oo k 1 a diverguje pro /c < 1. V případě /c = 1 je primitivní funkcí logaritmus a integrál i řada opět divergují. Posloupnosti a řady funkcí Při budování našeho zvířetníku funkcí jsme zavedli i mocninné řady, které přirozeným způsobem rozšiřují skupinu všech polynomů. S pomocí integrálního počtu konečně půjde ukázat, že je umíme diferencovat a integrovat po jednotlivých sčítancích. Uvažujme konvergentní řadu funkcí oo S(x) = J>(x) na intervalu [a,b]. Přirozené dotazy: • Jsou-li všechny funkce fn{x) spojité v nějakém bodě xo G [a, b], je spojitá i funkce S(x) v bodě xo? • Jsou-li všechny funkce fn{x) diferencovatelné v a G [a, fa], je v něm diferencovatelná i funkce S(x) a platí vztah S'(x) = Yľ^Ĺi ^n(x)? • Jsou-li všechny funkce fn{x) integrovatelné na intervalu [a,b], je integrovatelná i funkce S(x) a platí vztah fS(x)dx = Z~1ffn(x)dxl MB202/08 9/29 Posloupnosti a řady funkcí Příklady ošklivých posloupností (1) Uvažme nejprve funkce fn{x) = (sinx)" na intervalu [0,7r]. Hodnoty těchto funkcí budou ve všech bodech 0 < x < 7T nezáporné a menší než jedna, kromě x = |, kde je hodnota 1. Proto na celém intervalu [0,7r] budou bod po bodu tyto funkce konvergovat k funkci ÍO pro všechna x ^ f f(x) = hm fn{x) = i II pro x = |. Zjevně tedy je limita posloupnosti funkcí fn nespojitou funkcí, ačkoliv jsou všechny funkce fn{x) spojité. Problematický je přitom dokonce vnitřní bod intervalu. MB202/08 10 / 29 Posloupnosti a řady funkcí Tentýž jev umíme najít i pro řady funkcí, protože součet je limitou částečných součtů. Stačí tedy v předchozím příkladě vyjádřit fn jako n-tý částečný součet. Např. f\{x) = sinx, /š(x) = (sinx)2 — sinx, atd. Levý obrázek vykresluje funkce f„3(x) Pro n = 1,... ,10. Posloupnosti a řady funkcí (2) Podívejme se nyní na druhou otázku, tj. na špatně se chovající derivace. Celkem přirozená je idea na podobném principu jako výše sestavit posloupnost funkcí, které budou mít v jednom bodě stále stejnou nenlovou derivaci, ale budou čím dál tím menší, takže bodově dokonvergují k funkci identicky nulové. Předchozí obrázek napravo vykresluje funkce fn(x) = x(l - X2)n na intervalu [—1,1] pro hodnoty n = m2, m = 1,..., 10. Na první pohled je zjevné, že lim fn(x) = 0 a všechny funkce fn(x) jsou hladké. V bodě x = Oje jejich derivace £(0) = ((1 - x2)n - 2nx2(l - x2)"-1) |x=0 = 1 nezávisle na n. Limitní funkce pro posloupnost fn přitom má samozřejmě všude derivaci nulovou! MB202/08 12 / 29 Posloupnosti a řady funkcí (3) Protipříklad k třetímu tvrzení jsme už viděli dávno. Charakteristickou funkci xq racionálních čísel můžeme vyjádřit jako součet spočetně mnoha funkcí, které budou očíslovány právě racionálními čísly a budou vždy všude nulové, kromě jediného bodu, podle které jsou pojmenovány, kde jsou rovny 1. Riemannovy integrály všech takových funkcí budou nulové, jejich součet ale není Riemannovsky inegrovatelnou funkcí. Právě tento příklad ukazuje na zásadní nedostatek Riemannova integrálu, ke kterému se ještě vrátíme. MB202/08 13 / 29 Posloupnosti a řady funkcí Vidíme tedy, že odpověď na všechny otázky je „NE!". Existují však jednoduché dodatečné podmínky na konvergenci řady, které naopak platnosti všech tří tvrzení zajistí. Je třeba jen vyžadovat, aby se rychlost bodové konvergence hodnot fn{x) —> f(x) bod od bodu příliš nelišila. Definition Říkáme, že posloupnost funkcí fn{x) konverguje stejnoměrně na intervalu [a, b] k limitě f(x), jestliže pro každé kladné (malé) číslo e existuje (velké) přirozené číslo N G N takové, že pro všechna n > N a všechna x G [a, b] platí \fn(x) - f(x)\ < e. O řadě funkcí řekneme, že konverguje stejnoměrně na intervalu, jestliže stejnoměrně konverguje posloupnost jejích částečných součtů. MB202/08 14 / 29 Posloupnosti a řady funkcí Graficky si definici můžeme představit tak, že do pásu vzniklého posunutím limitní funkce f(x) na f(x) ±e pro libovolně malé, ale pevně zvolené kladné e, vždy padnou všechny funkce fn(x), až na konečně mnoho z nich. Následující tři věty lze stručně shrnout tvrzením, že všechna tři obecně neplatná tvrzení platí pro stejnoměrnou konvergenci (pozor ale na jemnosti u derivování). MB202/08 15 / 29 Posloupnosti a řady funkcí Theorem Nechť fn{x) je posloupnost funkcí spojitých na intervalu [a, b], která na tomto intervalu stejnoměrně konverguje k funkci f(x). Pak je také f(x) spojitá funkce na intervalu [a, b\. Důkaz Chceme ukázat, že pro libovolný pevný bod xo G [a, b] a jakékoliv pevně zvolené malé e > 0 bude \f(x) — ^(xo)! < e pro všechna x dostatečně blízká k xo. Z definice stejnoměrné spojitosti je pro naše e > 0 \fn{x) - f{x)\ < e pro všechna x G [a, b] a všechna dostatečně velká n. MB202/08 16 / 29 Posloupnosti a řady funkcí Dokončení důkazu. Zvolme si tedy nějaké takové n a uvažme ô > 0 tak, aby \fn{x) — fn{xo)\ < e Pro všechna x z á-okolí xo (to je možné, protože všechny fn{x) jsou spojité). Pak \f{x) - f{x0)\ < \f{x) - fn{x)\ + \fn{x) - fn(xo)\ + |f„(x0) - f(x0)| < 3e pro všechna x z námi zvoleného á-okolí bodu xo. □ * Theorem Necht fn{x) je posloupnost Riemannovsky integrovatelných funkcí na konečném intervalu [a, b], které stejnoměrně konvergují k funkci f(x). Pak také f(x) je integrovatelná a platí ľb ľb ľb lim / fn{x)dx= / (lim fn{x))dx= / f{x) dx. MB202/08 17 / 29 Posloupnosti a řady funkcí Definition Řekneme, že posloupnost funkcí fn{x) na intervalu [a, b] je stejnoměrně Cauchyovská, jestliže pro každé (malé) kladné číslo e existuje (velké) přirozené číslo N takové, že pro všechna x G [a, b] a všechna n > N platí \fn{x) ~ fm{x)\ < e. Zřejmě je každá stejnoměrně konvergentní posloupnost funkcí na intervalu [a, b] také stejnoměrně Cauchyovská na temže intervalu. Toto pozorování nám už stačí k důkazu naší věty, zastavíme se ale napřed u užitečného obráceného tvrzení. MB202/08 18 / 29 Posloupnosti a řady funkcí Lemma Každá stejnoměrně Cauchyovská posloupnost funkcí fn{x) na intervalu [a, b] stejnoměrně konverguje k nějaké funkci f na tomto intervalu. Důkaz. Z podmínky na funkce plyne, že pro každé x G [a, b] je fn{x) Cauchyovskou posloupností reálných (případně komplexních) čísel. Bodově tedy konverguje posloupnost funkcí fn{x) k nějaké f(x). Ve skutečnosti fn{x) —> f(x) stejnoměrně: Zvolme N tak, aby \fn{x) — fm{x)\ < e pro nějaké předem zvolené malé kladné e a všechna n > N, x G [a, b]. Nyní zvolíme pevně jedno takové n a odhadneme \fn{x)-f{x)\ = lim \fn{x) - fm{x)\ < e m—>oo pro všechna x G [a, b]. □ MB202/08 19 / 29 Posloupnosti a řady funkcí Důkaz věty o záměně limity a integrálu Víme: (1) každá stejnoměrně konvergentní posloupnost funkcí je také stejnoměrně Cauchyovská, (2) Riemannovy součty pro jednotlivé členy naší posloupnosti konvergují k f fn{x) dx nezávisle na výběru dělení a reprezentantů. Proto jestliže platí \ fn{x) — fm{x)\ < e pro všechna x G [a, b], pak také fn(x) dx fm(x) dx < e\b- Je tedy posloupnost čísel f fn(x) dx Cauchyovská a proto konvergentní. Současně díky stejnoměrné konvergenci posloupnosti fn{x) platí pro f(x) ze stejného důvodu, že její Riemannovy součty jsou libovolně blízké Riemannových součtům pro funkce fn s dostatečně velkým n a limitní funkce f(x) bude tedy opět integrovatelná. Zároveň fab fn(x) dx - Jabf(x) dx lodnotu. < e\b — a|, musí proto jít o správnou limitní MB202/08 20 / 29 Posloupnosti a řady funkcí Theorem Nechť fn{x) je posloupnost funkcí diferencovatelných na intervalu [a, b], jejichž hodnoty fn(xo) v nějakém bodu xq tohoto intervalu konvergujík hodnotě f(xo). Dále nechi jsou všechny derivace gn{x) = f„{x) spojité a necht konvergují na temže intervalu stejnoměrně k funkci g(x). Pak je také funkce f(x) = f(xo) + f* g(t)dt diferencovatelná na intervalu [a, b], funkce fn{x) konvergují k f(x) a platí zde f'(x) = g(x). Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že všechny naše funkce splňují fn(xo) = 0 (v opačném případě je pozměníme o konstanty a na výsledku úvah se nic nezmění). Pak ovšem můžeme psát pro všechny x G [a, b] Důkaz MB202/08 21 / 29 Posloupnosti a řady funkcí Pokračování důkazu Protože ale funkce gn stejnoměrně konvergují k funkci g na celém [a,b], tedy tím spíše na intervalech [a,x], kde a < x < b, platí také Protože je funkce g coby stejnoměrná limita spojitých funkcí opět spojitou funkcí, dokázali jsme vše potřebné, viz Věta o Riemannově integrálu a antiderivaci. MB202/08 22 / 29 Posloupnosti a řady funkcí Pro nekonečné řady můžeme předchozí výsledky shrnout takto: Theorem Uvažme funkce fn{x) na intervalu I = [a, b\. (1) Jsou-li všechny funkce fn{x) spojité na I a řada S(x) = Yľ^Ĺi ^"(x) konverguje stejnoměrně k funkci S(x), je i funkce S(x) spojitá na I. (2) Jsou-li všechny funkce fn{x) spojitě diferencovatelné na I, a obě řady oo oo S(X) = 5>(X), T(x) = J2fn(x) konvergují stejnoměrně, pak je také funkce S(x) spojitě diferencovatelná a platí S'(x) = 7~(x), tj. MB202/08 23 / 29 Posloupnosti a řady funkcí Theorem (3) Jsou-li všechny funkce fn{x) Riemannovsky integrovatelné na I a řada 5{x) = Yl^Li fn{x) konverguje stejnoměrně k funkci S(x) na I, je tamtéž integrovatelné i funkce S(x) a platí vztah i-b / 00 \ 00 i-b 3 Vn=l ' n=lJa Posloupnosti a řady funkcí Test pro stejnoměrnou konvergenci Nejjednodušším způsobem pro zjištění stejnoměrné konvergence funkcí je porovnání s absolutní konvergencí vhodné posloupnosti. Říkává se tomu často Weierstrassův test. Předpokládejme tedy, že máme řadu funkcí fn{x) na intervalu / = [a, b] a že navíc známe odhad \Ux)\ < an e R pro vhodné reálné konstanty a„ a všechna x £ [a, b\. Odhadneme rozdíly částečných součtů s/((x) = J2n=i ^i(x) Pro různé indexy k. Pro k > m: \Sk{x) - Sm(x)| < ELm+1 f"(X) < lřn(x)l < ak- Pokud je řada (kladných) konstant J2^Lian konvergentní, pak bude posloupnost jejích částečných součtů Caychyovská. Právě jsme proto zjistili, že posloupnost částečných součtů s„(x) je stejnoměrně Caychyovská. Posloupnosti a řady funkcí Dokázali jsme tedy: Theorem Necht fn{x) je posloupnost funkcí definovaných na intervalu I = [a, b] a platí \ fn(x)\ < 3„ é i. Je-li řada čísel Yl^Li an konvergentní, pak řada 5{x) = Yľ^Ĺi fn{x) konverguje stejnoměrně. MB202/08 26 / 29 Důsledky pro mocninné řady Weierstrassův test je velice užitečný pro diskusi mocninných řad ■5(x) = Yl^Li a"(x ~~ xo)" se středem v bodě xo. Kdysi jsme ukázali, že každá taková řada konverguje na (xo — ô,xq + 5), kde tzv. poloměr konvergence ô > 0 může být také nula nebo oo. Zejména jsme v důkazu konvergence řady S(x) používali srovnání s vhodnou geometrickou posloupností. Podle Weistrassova testu je proto řada S(x) stejnoměrně konvergentní na každém kompaktním (tj. konečném) intervalu [a,b] uvnitř intervalu (xo — ô,xq + 5). Dokázali jsme tedy: Theorem Každá mocninná řada S(x) je ve všech bodech uvnitř svého intervalu konvergence spojitá a spojitě diferencovatelná. Funkce S(x) je také integrovatelná a derivování i integrování lze provádět člen po členu. MB202/08 28 / 29 Zi SOa39 Ve skutečnosti platí také tzv. Ábelova věta, která říká, že mocninné řady jsou spojité i v hraničních bodech svého definičního oboru (včetně případných nekonečných limit). Tu zde nedokazujeme. Právě dokázané příjemné vlastnosti mocninných řad zároveň poukazují na hranice jejich použitelnosti při modelování závislostí nějakých praktických jevů nebo procesů. Zejména není možné pomocí mocninných řad dobře modelovat po částech spojité funkce. Jak uvidíme v zápětí, je možné pro konkrétněji vymezené potřeby nacházet lepší sady funkcí fn{x) než jsou hodnoty fn{x) = x". Nejznámějšími příklady jsou Fourierovy řady a tzv. wawelety, které přibolížíme v další kapitole. MB202/08 29 / 29