MB202 - Diferenciální a integrální počet B Fourierovy řady, metrické prostory MB202/09 1/51 Obsah přednášky Q Vzdálenost funkcí Q Ortogonální systémy Q Fourierovy řady Q Wa ve lety Q| Metrické prostory Vzdáh Pro pevný interval / = [a,b], konečný nebo nekonečný, definujeme kvadrát vzdálenosti funkcí na / takto: \\f-g\\2= ř\f(x)-g(x)\2dx. J a Samozřejmě je třeba předpokládat, že tento Riemannův integrál existuje. Velikost ||f || funkce f je pak její vzdálenost od funkce nulové, tj. Funguje dobře pro množinu S = S[a,b] omezených a po částech spojitých reálných funkcí na /. MB202/09 4/51 Viděli jsme, že S je vektorový prostor a snadno se ověří, že námi právě uvažovaná velikost je odvozena z dobře definovaného skalárního součinu, tj. symetrického bilineárního zobrazení s příslušnými vlastnostmi. V případě komplexních hodnot funkcí, půjde o skalární součet z unitárních prostorů, tj. g(x) bude ve výrazu vystupovat s pruhem (komplexně konjugovaná hodnota). V konečněrozměrném případě jsme takto definovali velikost vektorů. Nyní je to naprosto stejné a pokud zúžíme naši definici na vektorový prostor generovaný nad reálnými čísly jen konečně mnoha funkcemi dostaneme opět dobře definovaný skalární součin na tomto konečněrozměrném vektorovém podprostoru. MB202/09 5/51 Vzdáh Máme-li generátory gy s vlastností ÍO pro/ ^ = S , . . [1 pro / = j hovoříme o tzv. ortonormální bázi (pracujeme také s ortogonálními). Grammova-Schmidtova ortogonalizace vytvoří z libovolného spočetného systému generátorů f, nové ortogonální generátory g; téhož prostoru, tj. {SiiSj) = 0 Pro všechny / ^ j. Spočteme je postupně: g\ = f\ a formulemi r . (fe+i,gi) ge+i = h+i + 3igi H-----h aeg£, a, =--r—t^— \\Si\\ pro í > 1. Příkladem jsou např. ortogonální polynomy. MB202/09 6/51 Aplikujme tuto proceduru na první tři polynomy l,x,x2 na intervalu [—1,1]. Dostaneme g\ = 1, g2 = * g3=* \Si\ x ■ 1 dx ■ 1 = x — 0 = x -i \Si\ x2 • 1 dx • 1 -i |g2ir J-i x2 ■x dx ■ x Příslušná ortogonální báze prostoru M2M na intervalu [—1,1] je tedy l,x,x2 — 3. Normalizací, tj. vhodným násobením skalárem tak, aby prvky v bázi měly velikost jedna dostaneme ortonormální bázi hi 1 /5 2X' -W-(3x--l). Takovým ortonormálním generátorům M^[x] se říká Legendreovy polynomy. MB202/09 7 / 51 Ortogonální systémy Připomeňme si výhody, které ortonormální báze podprostorů měly pro konečněrozměrné vektorové prostory. Můžeme pokračovat v příkladu Legendreových polynomů h\, h2 a h3, které generují M2M a uvažovat třeba V = Moo[x] jakožto funkce na intervalu [0,1]. Pro libovolný polynom h G V bude funkce H=(h,h1)h1 + (h,h2}h2 + (h,h3}h3 jednoznačně určenou funkcí, která minimalizuje vzdálenost \\h — H\\ mezi všemi funkcemi v l^M- Koeficienty pro nejlepší aproximaci zadané funkce pomocí funkce z vybraného podprostorů je možné tedy získat prostě integrací. Stejně tak ale tato formule zadá nejlepší aproximaci polynomem nejvýše druhého stupně pro libovolnou funkci h G 5[a,fa] ve smyslu naší vzdálenosti funkcí na tomto prostoru. MB202/09 9/51 Ortogonální systémy Poslední příklad podbízí zobecnění - co se stane, když zvolíme úplně libovolný spočetný systém lineárně nezávislých funkcí v S takový, že každé dvě různé z nich mají nulový skalární součin? Takovému systému funkcí na intervalu / říkáme ortogonální systém funkcí. Jestliže jsou všechny funkce fn v posloupnosti po dvou ortogonální a zároveň je pro všechna n velikost \\fn\\ = 1 normovaná, hovoříme o ortonormálním systému funkcí. Nechť tedy tvoří posloupnost funcí fn ortogonální systém po částech spojitých funkcí na intervalu / = [a, b] a předpokládejme, že pro konstanty cn konverguje řada oo F(x) = ^2cnfn stejnoměrně na /. Pak snadno vyjádříme skalární součin (F, fn) po jednotlivých sčítancích: oo „i, {F, fn) = ^2 cm / fm{x)fn(x) dx = c„||y2. MB202/09 10 / 51 Ortogonální systémy Máme tedy tušení, v jakou přibližně odpověď je možné doufat, a docela přehledně nám ji skutečně dává následující věta: Theorem Nechi fn, n = 1, 2,..., je ortogonální posloupnost funkcí Riemannovsky integrovatelných na I = [a, b] a necht g je libovolná funkce Riemannovsky integrovatelná v kvadrátu na I. Označme (1) Pro libovolné pevné íiéN má ze všech lineárních kombinací funkcí fí,..., fn nejmenší vzdálenost od g výraz n MB202/09 11 / 51 Ortogonální systémy Theorem (pokračování) (2) Řada čísel Yľ^Ĺi cnll^ill2 vždy konverguje a platí oo £cnWoo EJl\\r ||2 li ||2 cnllrn|| = lléll • MB202/09 12 / 51 Ortogonální systémy Ještě než se pustíme do důkazu, zkusíme lépe porozumět významu jednotlivých tvrzení této věty. Náš ortogonální systém funcíje libovolný, nemůžeme očekávat, že lze dobře aproximovat jakoukoliv funkci pomocí lineárních kombinací funkcí f,. Např. když se omezíme u ortogonálních polynomů pouze na sudé stupně, určitě budeme dobře aproximovat pouze sudé funkce. Nicméně hned první tvrzení nám říká, že vždycky budeme dosahovat nejlepší možné aproximace částečnými součty. MB202/09 13 / 51 Ortogonální systémy Druhé a třetí tvrzení pak můžeme vnímat jako analogii ke kolmým průmětům do podprostorů vyjádřených pomocí souřadnic. Skutečně vidíme, že pokud pro naši funkci g bodově konverguje řada ^(x) = Yl^Li cnfn{x), pak je funkce F(x) kolmým průmětem g do vektorového podprostorů všech takovýchto řad. Zároveň ale naše věta neříká, že by částečné součty uvažované řady musely bodově konvergovat k nějaké funkci. Tj. řada F(x) nemusí být obecně konvergentní ani v případě, kdy nastane rovnost v (3). Pokud ale např. existuje konečná hodnota Yl^Li \ci\ a všechny funkce fn jsou stejnoměrně omezené na /, pak zřejmě řada F(x) konverguje v každém x. MB202/09 14 / 51 Ortogonální systémy Důkaz věty (v případě reálných hodnot funkcí): Zvolme libovolnou lineární kombinaci f = Yln-i a"fn a spočtěme její vzdálenost od g. Dostáváme k k \\g-Y, *nfn\\2 = k||2 + £ II/,!! 2((Q, - 3nf ~ Cl). n=l n=l Evidentně lze poslední výraz minimalizovat právě volbou an = cn a tím je první tvrzení dokázáno. MB202/09 15 / 51 Ortogonální systémy Dosazením minimalizující volby dostáváme tzv. Besselovu identitu k k k-EC^l|2 = ll^2-ECnll^l|2' ze které okamžitě díky nezápornosti levé strany vyplývá tzv. Besselova nerovnost k Y,C2n\\fn\\2<\\ď- Tím je dokázáno druhé tvrzení, protože každá neklesající a shora omezená posloupnost reálných čísel má limitu (a je jí supremum celé množiny hodnot prvků posloupnosti). MB202/09 16 / 51 Ortogonální systémy Jestliže v Besselově nerovnosti nastane rovnost, hovoříme o tzv. Parsevalově rovnosti. Přímo z definic vyplývá nyní tvrzení (3): (3) Vzdálenost g od částečných součtů = Yln-i c"fn jde v limitě k nule, tj- lim \\g - sk\\2 = 0, k—^OO tehdy a jen tehdy, když oo E„2nf i|2 n i|2 cn\\fn\\ = \\g\\ • n=l Ortonogonální systém funkcí nazveme úplný ortogonální systém na intervalu / = [a,b], jetliže platí Parsevalova rovnost pro každou funkci g s konečnou velikostí ||g|| na tomto intervalu. MB202/09 17 / 51 Předchozí věta naznačuje, že umíme se spočetnými ortogonálními systémy fn funkcí pracovat velice podobně jako s konečnými ortogonálními bázemi vektorových prostorů, jsou tu ale zásadní rozdíly: • Není snadné říci, jak vypadá celý prostor konvergentních nebo stejnoměrně konvergentních řad F(x) = Yl^Li cnfn- • Pro danou integrovatelnou funkci umíme najít jen nejlepší možné přiblížení takovou řadou F(x). V případě, že místo ortonogonálního systému fn máme systém ortonormální, jsou formulky ve větě o něco jednodušší, žádné další zlepšení ale nenastane. MB202/09 19 / 51 Jako pěkný příklad na integrování lze elementárními metodami ověřit, že systém funkcí 1, sinx, cosx, sin2x, cos2x, sinnx, cosnx, ... je ortogonální systém na intervalu [—ir, ir] (a také na kterémkoliv jiném intervalu o délce 2tt). Rady z předchozí věty odpovídající tomuto systému nazýváme Fourierovy řady. I v obecném případě diskutovaném výše se někdy hovoří o obecných Fourierových řadách vzhledem k ortogonálnímu systému funkcí fn. Koeficienty cn se pak nazývají Fourierovy koeficienty funkce f. MB202/09 20 / 51 Na intervalu [—7r,7r] jsou velikosti všech funkcí kromě první vždy y/Ťř, první má velikost VŤŤř. Lze dokázat, že náš systém funkcí je úplným ortogonálním systémem, nebudeme to zde ale dokazovat. Ve smyslu vzdálenosti funkcí definované pomocí našeho skalárního součinu proto budou částečné součty Fourierovy řady F(x) pro libovolnou funkci g(x) s konečným integrálem f g(x)2 dx, tj. oo F(x) = — + ^(a„ cos(nx) + bn sin(nx)) s koeficienty 1 r 1 r an = — g(x) cos(nx) dx, bn = — I g{x) sin(nx) dx, K J-n K J-iT vždy konvergovat k funkci g(x). MB202/09 21 / 51 Z obecnějších úvah lze dovodit, že z konvergence v tomto smyslu vždy vyplývá bodová konvergence částečných součtů ve skoro všech bodech x G /. Nebudeme zde ale ani vysvětlovat, co znamená „skoro všechny", ani nebudeme takový výsledek dokazovat. Jako příklad uveďme Fourierovu řadu pro periodickou funkci vzniklou zúžením Heavisideovy funkce na jednu periodu. Tj. naše funkce g bude na intervalu [—ir, 0] rovna —1 a na intervalu [0,7r] bude rovna 1. Protože jde o funkci lichou, jistě budou všechny koeficienty u funkcí cos(nx) nulové, a pro koeficienty u funkcí sin(nx) spočteme b„ = - g(x)s\n(nx)dx = - sin(nx) dx = — (1 - (-1)"). 2 Výsledná Fourierova řada je tedy tvaru g(x) = - sin(x) + - sin(3x) + - sin(5x) + ... a součet jejích prvních pěti a prvních padesáti členů je na následujících dvou obrázcích. MB202/09 22 / 51 Všimněme si, že se zvyšujícím se počtem členů řady se výrazně spresňuje aproximace s výjimkou stále se zmenšujícího okolí bodu nespojitosti, na němž je ale maximum odchylky stále zhruba stejné. Je to obecná vlastnost Fourierových řad, které se říká Gibbsův jev. Povšimněme si také, že v samotném bodě nespojitosti je hodnota aproximující funkce právě v polovině mezi limitami zprava a zleva pro Heavisideovu funkci. Nelze očekávat, že by konvergence pro funkce s body nespojitosti mohla být stejnoměrná (to by totiž g musela být coby stejnoměrná limita spojitých funkcí sama spojitá!). t - 24. MB202/09 23 / 51 Bez podrobného důkazu si uvedeme následující větu podávající ucelený obrázek o bodové konvergenci Fourierových řad. Nejde o nutné podmínky konvergence a v literatuře lze najít řadu jiných formulací. Tato je ale jednoduchá a postihuje velké množství užitečných případů. MB202/09 24 / 51 Theorem Nechi g je po částech spojitá a monotónní na intervalu [—tt,tt]. Pak její Fourierova řada F(x) konverguje na [—tt, tt] a součet je • roven hodnotě g(xo) v každém bodě xq g [—tt,tt], ve kterém je funkce g[x) spojitá, » v každém bodě nespojitosti xq funkce g(x) roven Pokud navíc je g(x) spojitá, periodická s periodou 2tt a všude existuje její po částech spojitá derivace, pak konverguje její Fourierova řada F(x) stejnoměrně. • v krajních bodech intervalu [—tt, tt] je roven Wave lety Fourierovy řady a další z nich vycházející nástroje jsou využívány ke zpracování různých signálů, obrázků apod. Povaha použitých periodických goniometrických funkcí a jejich prosté škálování pomocí zvětšující se frekvence zároveň omezují jejich použitelnost. V mnoha oborech proto vyvstala přirozená potřeba nalézt šikovnější úplné ortogonální systémy funkcí, které budou vycházet z předpokládané povahy dat a které bude možné efektivněji zpracovávat. MB202/09 27 / 51 Wave lety Takový systém se lze například vytvořit volbou vhodné spojité funkce ip s kompaktním nosičem, ze které sestrojíme spočetně mnoho funkcí ipij, j, k G Z, pomocí dyadických translací a dilatací: V>(x) = 2^2V(2^x - k). Pokud tvar mateřské funkce tp dobře vystihuje možné chování dat, a zároveň její potomci ipj^ tvoří úplný ortogonální systém, pak se zpravidla dobře daří konkrétní zpracovávaný signál aproximovat pomocí jen několika málo funkcí. MB202/09 28 / 51 Wave lety Nebudeme zde zacházet do podrobností, jde o mimořádně živý směr výzkumu i základ komerčních aplikací. Zájemce snadno najde spoustu literatury. Na obrázku je ilustrována tzv. Daubechies mateřská wavelet D4(x) a její dcera D4(2~3x - 1). MB202/09 29 / 51 Wave lety Wavelety navíc nejsou vůbec definovány jako funkce analyticky. Místo toho jsou pouze tabelovány jejich hodnoty v dostatečném rozlišení. MB202/09 30 / 51 i/letrické prostory Definition (Metriky a normy) Množina X spolu se zobrazením d:XxX4M splňující d(x,y) > 0 a d(x,y) = 0, právě když x = y, (1) d{x,y) = d(y,x), (2) M je funkce splňující ||-*|| > 0. přičemž ||x|| = 0, právě když x = 0, (4) ||Ax|| = |A| ||x||, pro všechny skaláry A, (5) ||x + y||<||x|| + ||y||, (6) pak funkci || || nazýváme norma na X a prostor X je normovaný vektorový prostor. Norma vždy zadává metriku d(x,y) = \\x — y\\. MB202/09 32 / 51 Metrické prostory Definition (Cauchyovské posloupnosti) Uvažme libovolnou posloupnost prvků xo,xi,... v metrickém prostoru X takovou, že pro libolné pevně zvolené kladné reálné číslo e platí pro všechny dvojice prvků x,-, xj posloupnosti, až na konečně mnoho výjimek (které závisí na volbě e), d(xi,xj) < e. Jinak řečeno, pro každé pevné e > 0 existuje index N takový, že předcházející nerovnost platí pro všechna i, j > N. Takové posloupnosti prvků se říká cauchyovská posloupnost. MB202/09 33 / 51 Metrické prostory Stejně jako u reálných či komplexních čísel bychom rádi, aby každá cauchyovská posloupnost prvků x; G X konvergovala k nějaké hodnotě x v následujícím smyslu: Definition Jestliže pro posloupnost prvků xo,xi,... G X, pevně zvolený prvek x G X a pro libovolné kladné reálné číslo e platí pro všechna /', až na konečně mnoho výjimek (závisejících na volbě e), d(xi,x) < e, říkáme, že posloupnost x,-, / = 0,1,..., konverguje k prvku x, kterému říkáme limita posloupnosti x,-, / = 0,1,... v metrickém prostoru X. MB202/09 34 / 51 Metrické prostory Díky trojúhelníkové nerovnosti dostáváme pro každou dvojici prvků x,-, xj z konvergentní posloupnosti, s dostatečně velikými indexy (značení jako v definici výše), d{xi,xj) < d(xi,x) + d(x,xj) < 2e, a proto je každá konvergentní posloupnost také cauchyovská. Definition (Úplné metrické prostory) Metrické prostory, kde platí i obrácené tvrzení, tj. že každá cauchyovská posloupnost je konvergentní nazýváme úplné metrické prostory. MB202/09 35 / 51 Metrické prostory Stejně jako v případě reálných čísel můžeme zformulovat konvergenci pomocí „otevřených okolí". Definition (Otevřené a uzavřené množiny) Otevřené e-okolí prvku x v metrickém prostoru X (stručně e-okolí) je množina a(x) = {yeX; d(x,y) 0 takové, že celé e-okolí Oe(x) má s A prázdný průnik. Pokud by tedy A byla uzavřená a x byl hromadný bod množiny A, který do A nepatří, pak v libovolném takovém e-okolí takového x leží nekonečně mnoho bodů množiny A, což je spor. Naopak předpokládejme, že A obsahuje všechny své hromadné body a uvažme x G X \ A. Pokud by v každém e-okolí bodu x existoval bod xe G A, pak postupně volbami e = 1/n dostaneme posloupnost bodů x„ G A konvergující k x. Pak by ovšem x musel být hromadným bodem, a tedy v A, takže opět máme spor. □ MB202/09 37 / 51 Metrické prostory Pro každou podmnožinu A v metrickém prostoru X definujeme její vnitřek jako množinu těch bodů v A, které do A patří i s celým svým nějakým okolím. Dále definujeme uzávěr A množiny A jako sjednocení původní množiny A s množinou všech jejích hromadných bodů. Libovolný průnik a libovolné konečné sjednocení uzavřených množin v metrickém prostoru je opět uzavřená množina. Libovolné sjednocení oteřených množin je opět otevřená množina, ale jen konečný průnik otevřených množin je obecně opět otevřená množina. MB202/09 38 / 51 Metrické prostory Vnitřek množiny A je právě sjednocením všech otevřených množin v A obsažených, zatímco uzávěr A je průnikem všech uzavřených množin obsahujících A. Uzavřené a otevřené množiny představují základní pojmy tzv. topologie. Pojem konvergence můžeme nyní zformulovat tak, že posloupnost prvků x; v metrickém prostoru X, i = 0,1,..., konverguje k x G X, právě když pro každou otevřenou množinu U obsahující x jsou všechny body naší posloupnosti, až na konečně mnoho výjimek, obsaženy v U. MB202/09 39 / 51 Metrické prostory Definition Zobrazení f : W —> Z mezi metrickými prostory je spojité jestliže vzor r_1(V) každé otevřené množiny V c Z je otevřená množina ve W. Samořejmě to neznamená nic jiného než tvrzení, že pro každý prvek z = f(x) G Z a kladné číslo e existuje kladné číslo ô tak, že pro všechny prvky y G W se vzdáleností dw{x, y) < S je také dz(z, f(y)) < e. Zcela stejně jako u reálných funkcí je zobrazení f mezi metrickými prostory spojité právě tehdy, když respektuje konvergence posloupností. MB202/09 40 / 51 Metrické prostory /.p-normy Začneme na reálných nebo komplexních konečněrozměrných vektorových prostorech M" a C" a definujeme pro pevné reálné číslo p > 1 a libovolný vektor z = (zi,..., z„) Dokážeme, že takto je definována norma. První dvě vlastnosti z definice jsou zřejmé. Zbývá dokázat trojúhelníkovou nerovnost. Vyjdeme přitom z tzv. Holderovy nerovnosti. MB202/09 41 / 51 Metrické prostory Lemma (Holderova nerovnost) Pro pevné reálné číslo p > 1 a každé dvě n-tice nezáporných reálných čísel x, a y j platí n , n s l/p , n N l/q /=i E=i 7 E=i kde l/q = 1 - l/p. MB202/09 42 / 51 Metrické prostory Teď už budeme umět dokázat, že || || je skutečně norma: Lemma (Minkowského nerovnost) Pro každé p > 1 a všechny n-tice nezáporných reálných čísel (xi,..., x„) a (n,• • -,yn) platí / n ,1/p , n ,1/p , n , l/p (£(*/+»■)') ^(£*f) +(£tf) • * MB202/09 43 / 51 Metrické prostory K overení této praktické nerovnosti vede následující trik využívající Holderovu nerovnost. Jistě platí (všimněme si, že p > 1) i/p / " \ £(*'+*)(p"1)q) i=l \'=1 a stejně tak i=l i=l IX*+y,r1 ^ (Etf) • (£(*/+y/)(^1)q) i=l l/p l/q i=l Nyní sečtením posledních dvou nerovností, s využitím skutečnosti, že p + q = pq a tedy (p — l)q = pq — q = p, dostaneme ĽÍU(*/ + y/)p v? i=l i=l ale 1 — 1/q = 1/p, takže jde právě o dokazovanou Minkowského nerovnost. MB202/09 44 / 51 Metrické prostory Ověřili jsme si tedy, že na každém konečněrozměrném reálném nebo komplexním vektorovém prostoru máme třídu norem || || pro všechna p > 1. Kromě toho ještě klademe llzlloo = max{|z/|, / = 1, což je zjevně také norma. Všimněme si, že Hólderovu nerovnost můžeme v kontextu těchto norem zapsat pro všechna x = (xi,... ,x„), y = (yi,... ,y„) jako n lx'l • \y>\ ^ llxllp • \W\\q i=l pro všechna p > 1 a qr splňující 1/p + l/q = 1, přičemž pro p = 1 klademe q = oo. MB202/09 45 / 51 Metrické prostory /.p-normy pro posloupnosti a funkce Nyní docela snadno zavedeme normy i na vhodných nekonečněrozměrných vektorových prostorech. Vektorový prostor lp, p > 1, je množina všech posloupností reálných nebo komplexních posloupností xo, xi,... takových, že Všechny posloupnosti s omezenými absolutními hodnotami členů tvoří prostor £oq. Limitním přechodem pro n —> oo okamžitě z Minkowského nerovnosti vidíme, že výraz oo ix,-ip < oo. je norma na £p. Obdobně klademe na Hxlloo = sup{|x/|, / = 0, 1, . . . a opět dostáváme normu. MB202/09 } 46 / 51 Metrické prostory Konečně, vraťme se k prostorům funkcí 1 a pro všechny funkce v takovém prostoru funkcí existují Riemannovy integrály a můžeme tedy definovat \\f\\p=(Jb\f{x)\Pdx Riemannův integrál jsme definovali pomocí limitního přechodu vycházejícího z tzv. Riemannových součtů, které odpovídají dělením E s reprezentanty V našem případě tedy jde o konečné součty n MB202/09 47 / 51 Metrické prostory Holderova nerovnost použitá na Riemannovy součty součinu dvou funkcí f (x) a g(x) dá Éi^'-)ii^'-)i(x'--x'--i) = n = E - xi-i)1/p\g(mxi - xi-i)1,q i=l f n \ l/p/ " \ l/q < Ei^r^-x^) • (x)iř(í/)r(x/-x/_1)) , přičemž napravo máme zjevně právě součin Riemannových součtů pro integrály ||f||p a ||g||q. MB202/09 48 / 51 Metrické prostory Limitním přechodem tak ověřujeme tzv. Holderovu nerovnost pro integrály: rb / rb \ 1/p/ rb \ 1/q y f (x)g(x) dx<^j f{xY dxj (J g(x)« c/xj platnou pro všechny nezáporné reálné funkce f a g v našem prostoru po částech spojitých funkcí s kompaktním nosičem MB202/09 49 / 51 Metrické prostory Presne stejným postupem jako v předchozím odstavci odvodíme z Holderovy nerovnosti nerovnost Minkowského v její integrální formě: lir + ffllp < H1lp+ llffllp- Je tedy || ||p je skutečně norma na vektorovém prostoru všech spojitých funkcí s kompaktními nosiči pro všechna p > 1 (a pro p = 1 jsme tuto skutečnost ověřili už dávno). Pro celý prostor S°[a, b] po částech spojitých funkcí budeme sice také slovo norma v tomto kontextu používat, měli bychom ale přitom vědět, že musíme ztotožňovat funkce, které se od sebe liší jen hodnotami v bodech nespojitosti. MB202/09 50 / 51 Metrické prostory Mezi těmito normami je výjimečný případ p = 2, který jsme již dříve realizovali pomocí skalárního součinu. V tomto případě jsme mohli odvodit trojúhelníkovou nerovnost daleko jednodušeji pomocí Schwarzovy nerovnosti. Pro funkce z S°[a, b] můžeme definovat i obdobu Z-oo-normy na n-rozměrných vektorech. Protože jsou naše funkce po částech spojité, budou pro ně na konečném uzavřeném intervalu vždy existovat suprema absolutních hodnot a klademe tedy pro takovou funkci f \\f\\oo = sup{f(x), x G [a, b]}. Všimněme si, že kdybychom za hodnoty f(x) v bodech nespojitosti považovali jak jednostranné limity (které podle naší definice vždy existují), tak samotnou hodnotu funkce, pak můžeme pracovat s maximy místo suprem. Opět je zřejmé, že jde o normu (až na problémy s hodnotami v bodech nespojitosti). MB202/09 51 / 51