MB202 - Diferenciální a integrální počet B Integrální operátory a transformace mb202/11 1/22 Obsah přednášky Q| Integrální operátory Q) Fourierova transformace Q| Vlastnosti Fourierovy transformace Integrální operátory V konečněrozměrných vektorových prostorech: a vektory jsou dány množinou pevně zvolených generátorů a příslušnými souřadnicemi (zobrazení konečné množiny generátorů do prostoru souřadnic) • výběr jedné souřadnice je lineární zobrazení vektorů do skalárů (tzv. lineární forma), obecně je každá lineární forma zadána pomocí jednořádkových matic (vektorů v duálním prostoru) jako součet součinů hodnot formy f = (fi,..., fn) na generátorech se souřadnicemi vektoru xT = (xi,... ,xn)T. • Složitější lineární zobrazení s hodnotami opět ve vektorových prostorech byla obdobně zadána maticemi. Velice podobně umíme přistoupit k lineárním operacím na prostorech funkcí. mb202/11 4/22 Integrální operátory Pracujme opět s vektorovým prostorem S všech po částech spojitých funkcí na intervalu / = [a, b\. Lineární zobrazení S —> M se nazývají (reálné) lineární funkcionály. Jednoduché příklady: • vyčíslení funkce (případně jejích derivací) v jednotlivých bodech: f M- L(f) = f(xo) • pomocí integrace zadáme integrální funkcionál s pomocí pevně zvolené funkce g(x): L(f)= [bf(x)g(x)dx. Funkce g(x) zde hraje roli váhy, se kterou při definici Riemannova integrálu bereme jednotlivé hodnoty reprezentující funkci f(x). Nejjednodušším příkladem takového funkcionálu je samozřejmě Riemannův integrál samotný, tj. případ s g (x) = 1 pro všechny body x. Integrální operátory Dobrou představu dává volba je-li |x| > a je-li |x| < a. To je funkce hladká na celém M. s kompaktním nosičem v intervalu (—a, a). Integrální funkcionál je možné vnímat jako „rozmlžené zprůměrování" hodnot funkce f kolem bodu x = y (funkce g má ve svém středu má hodnotu jedna a hladkým monotónním způsobem se plynule přimkne k nule ve vzdálenosti a na obě strany). Ještě lepší volbou je z tohoto pohledu libovolná funkce g jejíž integrál přes celou reálnou osu je jednička. mb202/11 6/22 Integrální operátory Pohled na integrální funkcionál Ly jako na zprůměrované chování funkce f v okolí daného bodu je názornější pro případ nevlastních mezí integrálu a = —oo, b = oo. Místo prostoru S všech po částech spojitých funkcí na M budeme uvažovat po částech spojité a v absolutní hodnotě integrovatelné funkce f v roli argumentu pro náš funkcionál. Volný parametr y může být vnímán jako nová nezávislá proměnná a naše operace tedy ve skutečnosti zobrazuje funkce opět na funkce f i-> f: Této operaci se říká konvoluce funkcí f a g, značíme ji f * g. Většinou se konvoluce definuje pro reálné nebo komplexní funkce s kompaktním nosičem na celém M. mb202/11 7/22 Pomocí transformace t = z — x se snadno spočte (f * g)(z) = / f (x)g(z -x)dx=- f (z- t)g(t) dt = (g* f)(z), je tedy konvoluce coby binární operace na dvojicích funkcí s kompaktními nosiči komutativní. Konvoluce je mimořádně užitečný nástroj pro modelování způsobu, jak můžeme pozorovat experiment nebo jak se projevuje prostředí při přenosu informací (např. analogový audio nebo video signál ovlivňovaný šumy apod.). Argument f je přenášenou informací, funkce g je volena tak, aby co nejlépe vystihovala vlivy prostředí či zvoleného technického postupu. mb202/11 8/22 Integrální operátory Konvoluce jsou jedním z mnoha případů obecných integrálních operátorů na prostorech funkcí K(f)(y)= ľf(x)k(y,x)dx J a s jádrem daným funkcí dvou proměnných k : M2 —> M. Definiční obor takových funkcionálů je nutné vždy volit s ohledem na vlastnosti jádra tak, aby vždy existoval použitý integrál. Zaměříme se na jeden mimořádně důležitý případ integrálních operátorů, tzv. Fourierovu transformaci T, která úzce souvisí s Fourierovými řadami. Připomeňme si základní formuli pro parametrizaci jednotkové kružnice v komplexní rovině s rychlostí obíhání lo = 2tt/ T, kde T je čas jednoho oběhu: Qlu)t = cos ujt + / sin ujt. Zjevně funkce coswnř, sinwnř tvoří ortogonální systém funkcí s periodou T a jejich velikosti na intervalu délky periody jsou y/T/2, (při n > 0) např. mb202/11 11 / 22 Pro (reálnou nebo komplexní) funkci f(t) zavedeme její komplexní Fourierovy koeficienty jako komplexní čísla i rT/2 cn = -\ f(t)e-'"nt dt. 1 J-T/2 Přitom platí vztahy mezi koeficienty Fourierových řad f(t) = ^^(sn cos nt + bn sin nt) n=Q a těmito čísly c„: cn = \{an - ibn), c-n = \{an + ibn). Při reálném f jsou samozřejmě cn a c_n komplexně konjugované. mb202/11 12 / 22 Označíme-li ujn = ton, je původní funkce f(t) s konvergující Fourierovou řadou rovna oo f{t)= Cn^nt- n——oo Při pevně zvoleném T vyjadřuje výraz Alo = 2-k/T změnu ve frekvenci způsobenou nárůstem n o jedničku. Je to tedy právě diskrétní krok, se kterým při výpočtu koeficientů Fourierovy řady měníme frekvence. Náš další postup bude spočívat v limitním přechodu T —> oo. Přitom se spočetná množina hodnot cn „zahustí" na celé kontinuun reálných hodnot a získáme místo Fourierových koeficientů cn novou funkci f. mb202/11 13 / 22 Koeficient l/T u formule pro cn je roven Alo/2tt, takže můžeme řadu pro f (t) přepsat jako 00 i / r7"/2 \ f{t)= Y\ fWr''W"X dxe^j. n——00 ^ ~7~/2 / Představme si nyní hodnoty ujn pro všechna n G Z jako vybrané reprezentanty pro malé intervaly [ oo a dojde ke zjemňování normy Alo našich intervalů. Zároveň se dostaneme v posledním výrazu k integrálu /oo f(x)e-iuJX dx. -oo Můžeme tedy položit pro (každou v absolutní hodnotě Riemannovsky integrovatelnou) funkci f na M 1 í'°° F{f){u) = f{u) = ^= / f(t)e"'w Q. a f = 1 pro \lo\ < Q. Inverzní transformace F^1 nám dává Přímým výpočtem limity v nule (ĽHospitalovo pravidlo) spočteme, že f(0) = 2ft(27r)~1/2, nej bližší nulové body jsou v t = ±7r/Q a funkce poměrně rychle klesá k nule mimo počátek x = 0. mb202/11 18 / 22 Vlastnosti Fourierovy transformace Na obrázku je tato funkce znázorněná zelenou křivkou pro Q = 20. Zároveň je vynesena červenou křivkou oblast, ve které se s rostoucím Q naše funkce f(t) stále rychleji „vlní". 20n mb202/11 19 / 22 Vlastnosti Fourierovy transformace V dalším příkladu spočtěme Fourierovu transformaci derivace f'(t) pro nějakou funkci f. Pro jednoduchost předpokládejme, že f má kompaktní nosič, tj, zejména F{f) i F{f) skutečně existují a počítejme metodou per partes: /2tv 1 V2tt ÍL0T(f)(L0) f'(r)e-' e-icotf(t)Y: dt + iuj '2tt J- f(t)e- dt Transformace derivací Vidíme tedy, že Fourierova transformace převádí (infinitesimální) operaci derivování na (algebraickou) operaci prostého násobení proměnnou. Samozřejmě můžeme tento vzorec iterovat, tj. T(f')(Lo) = ÍLoT(f)(Lo), F(f")(u) = -ui2F{f),F{f^) = inunF{f). Vlastnosti Fourierovy transformace Další mimořádně důležitou vlastností je vztah mezi konvolucemi a Fourierovou transformací. Spočtěme, jak dopadne transformace konvoluce h = f * g, kde opět pro jednoduchost předpokládáme, že funkce mají kompaktní nosiče. Při výpočtu prohodíme pořadí integrovanání, což je krok, který ověříme teprve v diferenciálním a integrálním počtu později. V dalším krůčku pak zavedeme substituci t — x = u. T(h)(co) = mb202/11 21 / 22 Vlastnosti Fourierovy transformace Podobný výpočet ukazuje i obrácené tvrzení, že Fourierova transformace součinu je, až na konstantu, konvoluce transformací. Jak jsme si uváděli výše, konvoluce f * g velice často modeluje proces našeho pozorování nějaké sledované veličiny f. Pomocí Fourierovy transformace a její inverze nyní můžeme snadno rozpoznat původní hodnoty této veličiny, pokud známe konvoluční jádro g. Prostě spočteme F{f * g) a podělíme obrazem F{g). Hovoříme o dekonvoluci. F(f-g) = -±=F(f)*r(g). mb202/11 22 / 22