MB104, další dva příklady k domácímu rozjímání jarní semestr 2017
Příklad 1. Petr má 11 závaží nerozlišitelných na pohled. Ví, že jejich hmotnosti jsou 1, 2,... 11 kg. Také má tašku, která se protrhne, je-li v ní více než 11 kg. Pavel zná hmotnosti všech závaží a chce dokázat Petrovi, které že je závaží vážící 1 kg. Jedním tahem může do tašky umístit váhu nepřevyšující 11 -kg (nesmí ji však protrhout). Určete nej menší počet tahů, které k tomu Pavel potřebuje.
Řešení. Dva tahy: 1,2,3,5 a 1,4, 6. Jediná možnost, kdy dám do tašky jedno závaží se třemi jinými a taška se neprotrhne a potom to stejné závaží se dvěma jinými a taška se opět neprotrhne. □
Příklad 2. Uvažme devět devíticiferných čísel, z nichž každé je sestaveno ze všech číslic z {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Součet těchto čísel končí na k nul. Určete největší možné k.
Řešení. Odpověď: k = 8. Každé ze sestavených čísel je dělitelné devíti (ciferný součet je 45), tedy i jejich součet je dělitelný devíti. Nejmenší číslo dělitelné devíti a končící devíti nulami je 9000000000, má-li být součet devíti nějakých čísel alespoň 9 • 109, musí být alespoň jedno z nich aspoň 109. Všechna sestavovaná čísla jsou však menší než 109. Je tedy k < 9. Pro součet končící na osm nul stačí vzít osm čísel 987654321 a číslo 198765432. Součet je pak 81 • 108. □
1