3. vnitrosemestrální práce MB104, 22. 5. 2017 skupina A
Příklad 1. (4b.) V celých číslech vyřešte rovnici
x3 -y3 = 91
(nelze x3 — y3 nějak rozložit?; nebo jak velký, resp. malý, může být rozdíl třetích mocnin?)
Řešení, „vyřešte rovnici" je terminus technikus a znamená nalézt všechna řešení a ukázat, že žádná další nejsou.
Rozkladem převést na soustavu rovnic, nebo hrubou silou. (6, 5), (—5, —6), (3, —4), (4, —3). Jenom trefená řešení (všechna) 1.5b, aspoň dvě lb. Záleží na argumentaci, o neexistenci dalších řešení na udělení bodů.
x3 — y3 = (x — y)(x2 + xy + y2) = 7 ■ 13, x2 + xy + y2 > 0, x2 + xy + y2 > (x — y), tedy (x — y) = l&x2 + xy + y2 = 91 nebo (x — y) = 7!kx2 + xy + y2 = 13. Vyjádřením jedné neznámé z lineární rovnice a dosazením do kvadratické dostáváme dvě kvadratické rovnice, každá o jedné neznámé, celkem čtyři dvojice uvedených řešení.
Rozklad 0.56, sestavení rovnic (i více) 2.5b, jejich vyřešení lb.
Příklad 2. (4b.) V šifře ElGamal Honza zveřejnil klíč (79,3,13). Přijal od Martina šifru (2,10). Jakou zprávu mu Martin zaslal? (víte, že 334 = 13 (mod 79)).
Řešení. (234)-1 = 244 = 32 (mod 79). Vědět, co chci počítat (234)-1 za lb. Na výpočet inverze možno použít jak přímého výpočtu 244, nebo 234 a dopočtu pomocí EA (2b) závěrečný výpočet 32 • 10 = 4 (mod 79), lb.
Příklad 3. (5b.) V (20,10) lineárním kódu generovaném polynomem x10 + x6 + x3 + x2 + 1 zakódujte slovo 1010000001. (odpovídá polynomu 1 + x2 + x9) (Je nutné počítat generující matici kódu?)
Řešení. Správný postup pomocí generující matice 2.5b nebo pomocí dělitelnosti polynomu x10(x9 + x2 + 1) 3.5b, správný výpočet 2.5b, resp 1.5b. Numerické chyby ve výpočtu srážky dolů po půl bodu, závažnější lb.
x19 + x12 + x10 = (x15 + x12 + x11 + x9) + x12 + x10 = x15 + x11 +x9 + x10 =
= (x11 + xs + x7 + x5) + x11 + x9 + x10 = xs + x7 + x5 + x9 + x10 = = x8 + x7 + x5 + x9 + (x6 + x3 + x2 + 1)   (mod x10 + x6 + x3 + x2 + 1)
(odčítám vždy takový násobek generujícího polynomu monomem xk, aby se mě odečetla nej vyšší aktuální mocina; jakmile jsou všechny mocniny menší než x10 jsem hotov). Výsledek 1011011111 1010000001.
P.S. Omlouvám se za opravu zadání ((21,10) kód na (20,10) kód). Na uvedeném způsobu řešení se tím ale nic neměnilo. Navíc zadání vyžívalo k nepoužívání generující matice (ale i tam jste mohli záhy zjistit, že to zadání nesedí).
Příklad 4. (7b.) Metodou vytvořující funkce nalezněte jedinou posloupnost an vyhovující diferenční rovnici
«n+2 = 5a„+i + 6a„ + n + 2, ai = 1 a2 = 7
Řešení. Dopočítání nultého člene 0.5b (ao = 0) Nalezení rovnice pro a(x) (=       a«^™) 3.5b.
a{x)
x
(l + x)(l-6x)(l-x)2
(správné přepsání rekurence 0.5b, vyjádření nehomogenity 2b, zkouška doplnění prvních dvou členů - není třeba doplňovat lb).
Rozklad na pare. zlomky 2b (správná forma lb, dopočet lb). Odečtení výsledku lb.
°» = ^6n-é^n-M->+1í
i