3. vnitrosemestrální práce MB104, 22. 5. 2017 skupina B
Příklad 1. (4b.) V celých číslech vyřešte rovnici
x3 -y3 = -91
(nelze x3 — y3 nějak rozložit?; nebo jak velký, resp. malý, může být rozdíl třetích mocnin?)
Řešení. Rozkladem převést na soustavu rovnic, nebo hrubou silou. Postup viz sk. A. (—6, —5), (5, 6), (—4, 3), (—3,4). Jenom trefená řešení (všechna) 1.5b, aspoň dvě lb. Rozklad 0.56, sestavení rovnic (i více) 2.5b, jejich vyřešení lb.
Příklad 2. (4b.) V šifře ElGamal Honza zveřejnil klíč (79, 3,13) (kde 3 je primitivní kořen modulo 79) Přijal od Martina šifru (2,9). Jakou zprávu mu Martin zaslal? (víte, že 335 = 39   (mod 79)).
Řešení. Viz sk. A
Příklad 3. (5b.) V (21,10) lineárním kódu generovaném polynomem x10 + x6 + x5 + x2 + 1 zakódujte slovo 1100000001 (odpovídá polynomu 1 + x + x9) (Je nutné počítat generující matici kódu?)
Řešení. Výsledek 11111010001100000001. Postup viz sk.A
Příklad 4. (7b.) Metodou vytvořující funkce nalezněte jedinou posloupnost an vyhovující diferenční rovnici «n+2 =        + 6a„ + n — 1, ai = 1, a2 = 6.
Řešení. Dopočítání nultého člene 0.5b Nalezení rovnice pro a(x) (=       in1") 3.5b.
a(x) = xa(x) + 6x2a(x) +--— + 4 + 2x
(1 — x)2
_ (4x-3) + (4 + 2x)(l-x)2 a(-X>~   (l + 2x)(l-3x)(l-a;)2
(správné přepsání rekurence 0.5b, vyjádření nehomogenity 2b, doplnění prvních dvou členů - 4+2x, lb) Rozklad na pare. zlomky 2b.(tvar lb, výpočet lb) Odečtení výsledku lb.
fln = ll3» + ^(-2)»-Ín+A 20       451    '      6 36
1