PV251 Vizualizace
Jaro 2017
Výukový materiál
4. přednáška: Vizualizace prostorových dat
Vizualizace prostorových dat, do které spadá i celá oblast vizualizace vědeckých dat
(scientific visualization), předpokládá, že vstupní datové sady implicitně obsahují
prostorové či časoprostorové atributy. Tato skutečnost významně napomáhá vytváření a
interpretaci vizualizací takovýchto dat, protože mapování datových atributů na ty
grafické je intuitivní a většinou přímočaré. Náš zrakový systém neustále přijímá a
interpretuje obrazy fyzikálních jevů, které nás obklopují. Proto je pro člověka poměrně
přirozené zpracovávat podobným způsobem obrazy na obrazovce.
Hlavní rozdíly mezi vnímáním okolního světa a prostorových dat na obrazovce jsou:
- Při pozorování skutečného světa nejsme omezeni dvoudimenzionální, diskrétní
projekcí s nízkým rozlišením.
- Pomocí obrazovky můžeme vizuálně prozkoumat různé reálné i simulované jevy v
různém měřítku.
- Na obrazovce jsme schopni dynamicky měnit kontrast, nasvětlení, rozlišení, hustotu a
ostatní parametry zobrazovaných dat.
- Na obrazovce jsme schopni interaktivně prozkoumávat místa, která jsou v reálném
světě velmi obtížně dostupná.
- Na obrazovce můžeme interaktivně přidávat a odstraňovat části dat za účelem
zlepšení informace o kontextu dat nebo odstranění nesmyslných dat.
Mapování atributů
Při vizualizaci prostorových dat musíme nejdříve rozhodnout, které prostorové atributy
dat budeme mapovat na prostorové atributy (umístění) na obrazovce. Tato fáze v sobě
obsahuje různé druhy transformací, jako například scale, rotaci, translaci, zkosení a
projekci. Poté je potřeba namapovat i zbývající atributy vstupních dat na další vizualizační
komponenty. Mezi tyto atributy patří například barva či textura, ale také velikost a tvar
grafických entit.
1D data
Jednodimenzionální data často získáme pomocí vzorkování fyzikálního jevu při pohybu
po křivce v prostoru.
Mějme jednodimenzionální sekvenci dat o jedné proměnné. Pak můžeme mapovat
prostorová data na jednu z dimenzí (os) obrazovky a samotné hodnoty dat vyneseme
buď do druhé dimenze obrazovky (vytvoření čárového grafu) nebo na barvu značky nebo
regionu podél první osy (color bar – barevná škála). Data musí být škálována, abychom je
mohli zobrazit v rozsahu dimenzí obrazovky (počet pixelů) nebo v rozsahu atributů
obrazovky (např. počet podporovaných barev). Části displeje mohou být rezervovány pro
podpůrné vizualizační prvky, jako například zobrazení os, značek (labels), atd.
Algoritmus pro vykreslení 1D dat
Předpokládejme, že pro vstupní datovou množinu máme spočteny hodnoty (datamin,
datamax), které definují minimální a maximální hodnotu v těchto datech a proměnná
datacount určuje počet bodů (dat), které mají být zobrazeny (mohou to být všechna data
nebo jen určitá podmnožina). Dále předpokládejme, že část obrazovky, na které budou
data zobrazena, je obdélníková oblast definovaná pomocí (xmin, ymin, xmax, ymax). Pro
vykreslení čárového grafu z bodů pole označeného jako „data“ lze použít následující kód.
DRAW-LINE-GRAPH(data, dataCount, xMin, xMax, yMin, yMax)
1. dataMin <- computeMin(data, dataCount)
2. dataMax <- computeMax(data, dataCount)
3. xFrom <- xMin
4. yFrom <- worldToScreenY(data[0], dataMin, datamax, yMin, yMax)
5. for i<- 1 to dataCount
6. do xTo <- worldToScreenX(i, dataCount, xMin, xMax)
7. yTo <- worldToScreenY(data[i], dataMin, dataMax,
yMin, yMax)
8. drawLine(xFrom, yFrom, xTo, yTo)
9. xFrom <- xTo
10. yFrom <- yTo
worldToScreenX(index, dataCount, xMin, xMax)
return (xMin + index * (xMax - xMin)/dataCount)
worldToScreenY(value, dataMin, dataMax, yMin, yMax)
return (yMin + (value – dataMin) * (yMax - yMin)/(dataMax
/ dataMin))
Funkce worldToScreenX je jednodušší než funkce worldToScreenY, protože
předpokládáme, že pole hodnot je indexováno od 0. Pokud bychom tento předpoklad
chtěli odstranit a funkci zobecnit, vypadala by následovně:
worldToScreenX(index) {
return (xMin + (index - indexMin) * (xMax - xMin) / (indexMax -
indexMin));
}
Celá funkce pro vykreslení grafu může být různými způsoby vylepšena. Například, pokud
počet vstupních bodů převyšuje počet dostupných pixelů, můžeme vstupní body
předzpracovat (např. vzorkovat, průměrovat, …). Můžeme rovněž změnit měřítko
zobrazených dat za účelem lepšího zprostředkování dané informace.
Podobný algoritmus lze aplikovat i na vykreslení dat v podobě barevného sloupce (color
bar), kdy jednoduše nahradíme kreslení čar kreslením obdélníků (nejčastěji uniformní
velikosti), jejichž barva je úměrná hodnotě zobrazovaných dat a výsledek je
transformován do rozsahu dostupných barev poskytovaných výstupním zařízením.
1D multivariate data
Pokud jsou vstupní data označena jako multivariate (obsahují více proměnných nebo více
hodnot pro jeden datový vstup), je možné předchozí techniku rozšířit, aby byla schopna
takováto data zpracovat. Toho se dá dosáhnout pomocí přikládání k sobě
(juxtapositioning) či překládání přes sebe (superimpositioning). Pro čárové grafy to
znamená, že vizualizace bude obsahovat sadu izolovaných grafů (zejména v případech,
kdy mají proměnné různá měřítka) nebo jediný graf vykreslující data o dvou a více
proměnných. V tomto případě je vhodné vykreslit jednotlivé čáry jiným stylem a/nebo
jinou barvou, abychom jednotlivá data mohli odlišit.
Podobně lze skládat i sloupcový graf pro barvu. Zde je intuitivnější využití přístupu, kdy
vrstvíme jednotlivé sloupce na sebe.
2D data
Data obsahující dvě prostorové dimenze jsou zobrazovány převážně pomocí mapování
prostorových atributů dat na prostorové atributy obrazovky. Výsledek může být jeden z
následujících typů vizualizací:
1. Obrázek (image)
2. Reliéf (rubber sheet)
3. Cityscape
4. Bodový graf (scatterplot)
5. Mapa
6. Kontura, mapa izobar
Obrázek
Obrázek jako výsledek vizualizace 2D dat vznikne, pokud jedna datová hodnota v každé
pozici je mapována na barvu a všechny mezilehlé pixely jsou obarveny pomocí
interpolace. Příkladem je obrázek získaný z tomografie.
Reliéf (rubber sheet)
Mějme vstupní data, která mohou být pravidelně nebo i nepravidelně rozmístěna v
prostoru. Pokud tato data mapujeme na výšku příslušného bodu ve třídimenzionálním
prostoru a navíc jsou body triangulovány takovým způsobem, že vzniká povrch, hovoříme
o vizualizaci reliéfu, povrchu (v angličtině rubber sheet).
Příkladem je daný obrázek, který znázorňuje mořskou hladinu a její přechod na pevninu
na Floridě.
Cityscape
Tento typ vizualizace vzniká tak, že vykreslujeme 3D objekty (obecně kvádry) na různá
místa v rovině. Jednotlivá data pak řídí atributy těchto grafických objektů (např. výšku,
barvu). Obrázek znázorňuje příklad takovéto vizualizace, kdy vidíme hustotu leteckého
provozu nad Spojenými Státy v určitém časovém okamžiku.
Bodový graf (scatterplot)
Klasické zobrazení, kdy při každém umístění dat do grafu jednotlivé datové hodnoty
ovlivňují barvu, tvar či velikost jednotlivých značek. Je dobré si uvědomit, že na rozdíl od
obrázku zde nedochází k žádné interpolaci.
Mapa
Výsledkem vizualizace je mapa, pokud vstupní data obsahují lineární a plošné vlastnosti,
ale i bodové objekty.
Za lineární vlastnost můžeme považovat cestu či řeku a je reprezentována jako sekvence
spojených souřadnic, které jsou vykresleny jako úsečkové segmenty.
Plošné vlastnosti, jako například jezero nebo plocha státu definovaná jeho hranicí, je
reprezentována pomocí uzavřené křivky – sada souřadnic, kde souřadnice prvního a
posledního bodu jsou shodné. Jsou většinou zobrazeny jako polygon, který může být
vyplněn barvou, texturou či opakujícím se symbolem.
Bodové objekty (například stožáry vysokého napětí, škola) jsou obecně reprezentovány
určitým symbolem umístěným do dané lokace. Vzhledem k možnosti překrytí některých
symbolů se často volí technika zobrazení, kdy symbol neleží přesně na odpovídajícím
místě v mapě, ale je mírně posunut.
Jednotlivé objekty většinou mají svá označení (labels), což opět komplikuje celý proces
zobrazení mapy. Více se o tzv. geovizualizaci dovíme na příští přednášce.
Kontury, izobary
Tento typ vizualizace zobrazuje hraniční informaci, která je odvozena z obrázku a
představuje určitý spojitý jev, jako například nadmořskou výšku nebo teplotu. Anglicky se
rovněž označuje termínem isovalue (např. izobara), což znamená „jedna hodnota“, proto
kontura v mapě určuje hranici mezi body nad touto hodnotu a pod ní. Každá „isovalue“
může generovat několik uzavřených kontur. Násobné izobary mohou být vykresleny
najednou, přičemž k jejich rozlišení se používá barva, tloušťka čáry či označení.
Obrázek ukazuje rozložení několika kontur získaných z 2D obrázku molekuly vody.
Hodnoty izobar jsou rozlišeny barvou.
2D multivariate data
Podobně jako u 1D dat, můžeme tyto techniky rozšířit na data s větším množstvím
proměnných (multivariate data) pomocí juxtapositioning a superimpositioning.
Juxtapositioning – jednoduché naskládání několika 2D vizualizací jedné proměnné do 3D
vizualizace. Tento přístup umožňuje zobrazení náhledu na veškerá data najednou,
nicméně díky překrytí může být obtížné detekovat vztahy mezi daty. Navíc je tato
technika limitována počtem proměnných, které mohou být ještě srozumitelně
zobrazeny, zvláště u technik, které již třetí dimenzi využívají (například reliéf nebo
cityscape).
Superimpositioning – podobně limitován počtem proměnných, které lze takto zobrazit.
Například pro reliéfy vykreslujeme jednotlivá data pomocí průsvitných povrchů. Pro
mapy rovněž není příliš vhodné nadměrné překrývání, protože znesnadňuje extrahování
jednotlivých komponent.
Alternativní přístup k zobrazení multivariate 2D dat je využití „neprostorové
multivariate“ vizualizace, kterou se budeme zabývat v pozdějších přednáškách.
Kromě vizualizačních technik, které zobrazují celé datové množiny, můžeme vizualizovat
pouze jejich jednodimenzionální podmnožiny, projekce nebo různé sumarizace dat. Poté
již můžeme použít libovolnou z předchozích technik. Nyní se tedy zaměříme na některé z
možností projekce:
- Frekvenční histogramy
- Slučování řádků a sloupců
- Lineární „sondy“ (probes)
Frekvenční histogramy
Sumarizaci datových množin o libovolné dimenzionalitě je možné provést výpočtem
frekvence, ve které se dané hodnoty nebo intervaly hodnot objevují v datech. Výsledek je
pak zobrazen v podobě sloupcového grafu. Pokud pracujeme s podmnožinami vstupních
hodnot, musíme velmi pečlivě volit počet jednotlivých podmnožin a jakým způsobem
jsou od sebe odlišeny. Při špatné volbě je totiž možná ztráta důležitých vlastností dat. V
tomto případě navrhne nejlepší rozdělení dat osoba, která je s obsahem dat důvěrně
seznámena. Na druhou stranu často používané jednoduché dělení na fixní počet stejně
velkých podmnožin není v tomto případě velmi efektivní.
Slučování řádků a sloupců
Užitečný mechanismus pro lokalizaci hranic oblastí zájmu a regionů s nízkou nebo vysokou
variabilitou je technika zobrazující sumarizace řádků a/nebo sloupců obrázku. Pro tento účel
se využívají různé techniky, jako například součet, průměr, medián, standardní odchylka,
maximum nebo minimum z hodnot. Výsledná 1D vizualizace pak může být zobrazena
samostatně nebo častěji zobrazena v kombinaci s 2D vizualizací jako doplňková informace.
Pro tuto techniku se nejčastěji využívají barevné sloupce, čárové grafy a sloupcové grafy.
Lineární „sondy“
Jednodimenzionální sonda (probe) pro 2D datové množiny může být přirovnána k vyvrtané
díře v nerostu. Skrz vstupní data prochází přímka a data, která tato přímka protne, jsou
zobrazena pomocí některé z předchozích technik pro zobrazení 1D dat. Podobně jako vrták
vrtající díru do nerostu. Abychom tohoto mohli dosáhnout, využijeme dva matematické
nástroje: parametrické rovnice a bilineární interpolaci.
Začneme definicí sondy pomocí parametrické rovnice. Definice vychází ze vstupních údajů
uživatele (buď dvojice bodů nebo bod a směrový vektor). Předpokládáme-li, že přímka je
definována dvěma body P_1 a P_2 (jejich souřadnicemi), pak parametrická rovnice přímky je
definována jako
P(t) = P1 + t(P2 – P1), kde 0.0 <= t <= 1.0
Nyní můžeme získat souřadnice libovolného bodu na této přímce zvolením hodnoty t.
Obecně jsou tyto body na přímce rovnoměrně rozloženy a počet bodů je určen úměrně
k délce přímky. Pokud již máme souřadnice navzorkovaných bodů, můžeme pomocí
interpolace spočítat jejich hodnoty, které poté mohou být vizualizovány jako 1D datová
množina.
3D data
Podobně jako u 2D dat, 3D prostorová data mohou být ve formě diskrétních vzorků spojitého
jevu nebo jako struktura popsána vrcholy, hranami a polygony. Ve skutečnosti většina
vědeckých a technických vizualizací obsahují kombinaci těchto dvou reprezentací, jako
například proudění vzduchu kolem křídla letadla. Nejdříve se zaměříme na prozkoumání
základních technik pro vizualizaci těchto typů dat a poté probereme metody, které tyto
techniky kombinují.
Mezi základní techniky pro vizualizaci 3D dat patří:
- Vizualizace explicitních povrchů
- Vizualizace objemových dat
- Implicitní povrchy
Vizualizace explicitních povrchů
Explicitní povrch je takový povrch, který je definován jedním z následujících způsobů:
1. Seznam 3D vrcholů, seznam hran mezi nimi (specifikovány jako dvojice indexů do
seznamu vrcholů), seznam planárních polygonů (obvykle specifikovány jako fixní
nebo variabilní seznam indexů do seznamu hran).
2. Sada parametrických rovnic definujících x, y, z souřadnice bodů na povrchu společně
se strategií jejich spojování (například triangulace), pomocí které vznikají hrany a
polygony. Pomocí určení kroku parametru v rovnicích můžeme ovlivňovat hladkost
povrchu.
Příklad 1:
Uveďme si příklad jednotkové kostky, která může být reprezentována následujícím
způsobem. Všimněme si, že každá hrana je sdílena právě dvěma hranami a každý vrchol je
součástí tří hran. Každá stěna má navíc definovánu přední a zadní stěnu pomocí orientace
hran (po směru nebo proti směru hodinových ručiček). Tato podmínka je významná zejména
pro korektní výpočet povrchových normál.
vertex[0] = (0., 0., 0.)
vertex[1] = (0., 0., 1.)
vertex[2] = (0., 1., 1.)
vertex[3] = (0., 1., 0.)
vertex[4] = (1., 0., 0.)
vertex[5] = (1., 0., 1.)
vertex[6] = (1., 1., 1.)
vertex[7] = (1., 1., 0.)
edge[0] = (0, 1)
edge[1] = (1, 2)
edge[2] = (2, 3)
edge[3] = (3, 0)
edge[4] = (0, 4)
edge[5] = (1, 5)
edge[6] = (2, 6)
edge[7] = (3, 7)
edge[8] = (4, 5)
edge[9] = (5, 6)
edge[10] = (6, 7)
edge[11] = (7, 4)
face[0] = (0, 1, 2, 3)
face[1] = (8, 9, 10, 11)
face[2] = (0, 5, 8, 4)
face[3] = (1, 6, 9, 5)
face[4] = (2, 7, 10, 6)
face[5] = (3, 4, 11, 7)
Příklad 2:
Dalším příkladem je parametrická definice jednotkového válce umístěného v ose y.
y = 1.0, x = cos Θ, z = sin Θ,
0.0 ≤ Θ ≤ 2π (horní podstava)
y = 0.0, x = cos Θ, z = sin Θ,
0.0 ≤ Θ ≤ 2π (dolní podstava)
y = h, x = cos Θ, z = sin Θ,
0.0 ≤ Θ ≤ 2π, 0.0 ≤ h ≤ 1.0 (plášť)
Manipulací s parametrem Θ můžeme měnit hladkost povrchu válce. Pokud nastavíme
hodnotu h na 1 a hodnotu Θ na π/2, pak získáme kostku o výšce 1.
Dalšími příklady parametrických povrchů, se kterými se běžně setkáváme v počítačové
grafice, jsou Bézierovy křivky a B-splajny.
Obecně, vizualizace prostorových dat pomocí explicitních povrchů závisí na tom, zda jsou
vstupní data asociována s vrcholy, hranami nebo stěnami. Příklady pro každý z těchto
případů jsou:
- Teplota nebo váha uzlu (informace o vrcholech)
- Síla chemické vazby (informace o hranách)
- Pokrytí oblasti mapou (informace o stěnách)
Zobrazovaná informace může být mapována na některý z neprostorových grafických atributů
– barva, průhlednost, textura atd.
Obrázek pochází z článku Explicit Mesh Surfaces of Particle Based Fluids publikovaný na
konferenci Eurographics 2012.
Vizualizace objemových dat
Podobně jako jsou pro 2D vizualizaci využívány pixely, pro 3D vizualizace používáme voxely
(volume elements). Objemová (volumetrická) data obecně vznikají navzorkováním spojitého
jevu a mohou být nasnímána pomocí senzorů (např. tomografie) nebo generovány různými
simulacemi (např. CFD – computational fluid dynamics). V obou případech dostáváme
několikadimenzionální data s pravidelně či nepravidelně rozloženými pozicemi a cílem je
uživateli zprostředkovat informaci o struktuře, opakujících se vzorcích a anomáliích v těchto
datech.
Většina přístupů k vizualizaci objemových dat spadá do jedné z následujících kategorií:
- „Plátování“ (slicing) – využití ořezávací roviny, která může být osově zarovnána nebo
může mít libovolnou orientaci. Výsledkem je 2D plát vystřižený z dat, který můžeme
následně zobrazit pomocí některé z 1D nebo 2D vizualizačních technik.
- Izopovrchy (isosurfaces) – uživatel specifikuje vstupní parametry, podle kterých je
generován popis povrchu datové sady a je vizualizován pomocí jedné z technik
vizualizace explicitního povrchu.
- Přímé renderování objemu (direct volume rendering) – dvě metody: první je založena
na vrhání paprsku do scény obsahující objemové těleso a výpočet hodnot v
jednotlivých pixelech na zákadě voxelů, které paprsek protnul. Druhá metoda
promítne každý voxel na projekční rovinu za použití některé z metod akumulace
efektů voxelů na pixely.
Převzorkování
Pro všechny výše zmíněné techniky vizualizace objemových dat je základním prvkem
iniciální převzorkování.
Například pro izopovrchy musíme nalézt místa, kde data odpovídají zvolené
„izohodnotě“, což je ve většině případů někde mezi body původní datové množiny –
proces velmi podobný vytváření kontur ve 2D.
Při plátování, zvláště pokud není ořezávací rovina osově zarovnána se souřadnou
soustavou, je nutné vstupní data převzorkovat, abychom získali rovnoměrně
rozloženou sadu pixelů. Pokud jsou navíc vstupní data rozložena nerovnoměrně, je
nutné navíc využít interpolaci.
U techniky přímého renderování objemu musíme navzorkovat data podél paprsků,
což opět implikuje převzorkování. Pouze při využití paralelní projekce podél hlavních
os není převzorkování potřeba.
Je tedy zřejmé, že proces převzorkování hraje v drtivé většině technik pro vizualizaci
objemových dat velmi významnou roli.
Plátování objemových dat ořezávacími rovinami
Podobně jako u vizualizace 2D dat můžeme využít techniku využití sondy pro
vytvoření podmnožiny vstupních dat o nižší dimenzi. Populární technika pro
objemová data založená na tomto principu je použití ořezávacích rovin, kdy je datový
blok „nařezán“ rovinou dané pozice a orientace a data, která rovina protíná, jsou
mapována na obrazovku.
Nejjednodušší implementace této techniky omezuje orientaci ořezávací roviny
takovým způsobem, že normála roviny se shoduje s jednou z hlavních os. Uživatel
poté specifikuje řádek, sloupec či hloubku v datovém bloku a odpovídající plát je
následně zobrazen použitím jedné z technik pro vizualizaci 2D prostorových dat, se
kterými jsme se seznámili dříve.
Pokud odstraníme omezení na orientaci ořezávací roviny, pak každý voxel, který je
protnut ořezávací rovinou, může ovlivnit hodnotu v jednom nebo i více pixelech. V
tomto případě se můžeme rozhodnout převzorkovat vstupní datovou množinu na
místech, kde se protíná s ořezávací rovinou a to tak, že na ořezávací rovinu umístíme
pravidelnou mřížku. Alternativně můžeme vybrat voxel nejbližší pixelu ořezávací
roviny, který pak reprezentuje objem v tomto místě roviny. Dalším přístupem je
kombinace hodnot v nejbližších voxelech k danému pixelu na ořezávací rovině,
přičemž jejich příspěvek se počítá jako váha přiřazená na základě vzdálenosti středu
voxelu od ořezávací roviny.
Pro specifikaci ořezávací roviny musíme nastavit šest parametrů – tři poziční a tři pro
definici normály roviny.
Existují mnohé variace této techniky, přičemž každá z nich se soustředí na specifické
detaily uvnitř objemových dat. Příkladem může být:
- Nerovinné pláty
- Sekvence plátů s různými orientacemi
- Pláty naskládáné „na sobě“, zobrazeny souběžně
- Pláty umístěné ortogonálně, zobrazeny souběžně
Získání izopovrchu pomocí Marching Cubes
Algoritmus Marching Cubes (algoritmus pochodujících kostek) vznikl v roce 1987 a jeho
autory jsou Lorensen a Cline a je zaměřen na renderování izopovrchů objemových dat.
Podobná technika vznikla již o rok dříve (Wyvill a spol.), nicméně pochodující kostky se staly
nejpopulárnějším algoritmem pro tento problém.
Základem je definice voxelu jako krychle (kostky) s hodnotami obsaženými v jejích osmi
rozích. Jestliže jeden nebo více rohů kostky obsahuje hodnoty nižší než je uživatelem
specifikovaná „izohodnota“ a jeden nebo více rohů zároveň obsahuje hodnoty vyšší než je
izohodnota, je zřejmé, že takový voxel bude nějakým způsobem přispívat k izopovrchu.
Pomocí určení, které hrany kostky jsou protnuty izopovrchem, vytváříme trojúhelníkové
vzorky, které uvnitř kostky oddělují region ležící „uvnitř“ izopovrchu od regionu ležícího vně.
Výsledným spojením vzorků ze všech kostek na hranici izopovrchu získáme finální
povrchovou reprezentaci.
Nyní si tento algoritmus popíšeme detailněji. Algoritmus se skládá ze dvou hlavních
komponent. První má na starosti definici sekce nebo sekcí povrchu, které „rozsekávají“
jednotlivé kostky. Pokud každý roh kostky klasifikujeme jako spadající pod nebo nad
definovanou izohodnotu, získáváme 256 možných konfigurací. Dvě z nich jsou triviální –
všechny rohy kostky spadají dovnitř nebo vně. V takovém případě kostka nepřispívá do
izopovrchu. U všech ostatních konfigurací musíme určit, které hrany kostky izopovrch protíná
a tyto průniky se následně využijí pro vytvoření jednoho nebo více trojúhelníkových vzorků
tvořících izopovrch.
Pokud bereme v úvahu symetrie, pak ve zbývajících 254 vzorcích existuje pouze 14
jedinečných konfigurací. Pokud pouze jeden roh obsahuje hodnotu menší než je izohodnota,
vytvoří se jediný trojúhelník, jehož vrcholy leží na hranách přiléhajících k tomuto rohu.
Normála trojúhelníku směřuje od rohu. Tento případ generuje díky symetriím celkem 8
konfigurací. Jedna taková konfigurace je znázorněna na obrázku vlevo.
V případě, že dva rohy mají hodnotu menší než izohodnotu, jsou generovány 3 unikátní
konfigurace (viz obrázek druhý zleva). Ty závisí na tom, zda rohy patří stejné hraně nebo
stejné stěně nebo jsou „zasaženy“ diagonálně.
Pro tři rohy s menší hodnotou než je izohodnota máme opět tři unikátní konfigurace
(obrázek druhý zprava). Ty závisí na tom, zda mají 0, 1, nebo 2 sdíleńé hrany.
Pokud máme „zasaženy“ čtyři rohy, máme k dispozici 7 unikátních konfigurací (obrázek
vpravo). Výsledek závisí na tom, zda rohy sdílejí 0, 2, 3 nebo 4 hrany.
Každá z netriviálních konfigurací přidá do izopovrchu 1 až 4 nové trojúhelníky. Vrcholy
trojúhelníků lze spočítat pomocí interpolace podél hran nebo se pro zjednodušení bere střed
hrany. Je zřejmé, že interpolované vrcholy nám poskytnou hladší povrch.
Obrázek ukazuje atom vodíku renderovaný pomocí jednoduché verze Marching Cubes, kdy
jsou jako vrcholy trojúhelníků brány středy odpovídajících hran kostek. Výsledek není
uspokojující rovněž díky malé vstupní datové množině.
Když nyní umíme sestrojit část izopovrchu pro jeden voxel, můžeme tento postup aplikovat
na celý objem. Můžeme buď každou kostku zpracovávat zvlášť nebo můžeme postupovat
tak, že bereme postupně kostky, které sdílí hrany.
Problémy Marching Cubes
Jeden ze zřejmých problémů je paměťová náročnost při ukládání výsledného povrchu. Každá
hraniční kostka totiž může generovat až 4 plošky. Velikost ukládaných dat se dá redukovat
pomocí sdílení vrcholů a hran nebo dokonce slučování koplanárních vzorků do větších
plošek. Dalším řešením může být „napasování“ parametrických povrchů na skupiny
hraničních bodů. Tento přístup je však obtížný pro složité povrchy.
Další problém nastává, pokud nemáme objem zcela vyplněný voxely. K tomu může dojít,
pokud jsou data nasnímána nekvalitně. Výsledkem jsou díry v datech, kterým musí být
přiřazeny nějaké hodnoty, nejčastěji pomocí interpolace. Je zřejmé, že nově přidané hodnoty
mohou snižovat validitu výsledného povrchu.
Vizualizace explicitních povrchů
Direct volume rendering (přímá vizualizace objemu) techniky nevyužívají pro vykreslení
žádné 3D polygony. Místo toho jsou pixely výsledného obrazu spočteny individuálně, buď
pomocí vrhání paprsku do scény pro každý pixel nebo pomocí projekce voxelů na rovinu
projekce.
Základní proces renderování volumetrických dat začíná transformací pozic jednotlivých
voxelů do pohledového souřadného systému, přičemž je využita standardní 3D grafická
pipeline. Uživatel musí specifikovat pohledový referenční bod a směrový vektor pohledu,
šířku a výšku obrázku, který má být promítnut na projekční rovinu a při perspektivní projekci
je nutné rovněž specifikovat vzdálenost kamery od projekční roviny.
Následně máme možnost si zvolit jednu z následujících metod:
- Dopředné mapování – promítnutí každého voxelu na projekční rovinu a určení, které
pixely budou ovlivněny a jak.
- Zpětné (inverzní) mapování – rovněž nazýváno „vrhání paprsku“. Jde o vyslání paprsku
z každého pixelu projekční roviny skrz objemová data, kdy dochází ke vzorkování hodnot
dat, které paprsek protne a tím určí výslednou hodnotu pro každý pixel.
Dopředné mapování – problémy:
F1. Jak zacházet s pixely, které jsou ovlivněny více voxely
F2. Jak zacházet s pixely, na něž se nemapuje žádný voxel
F3. Jak se vypořádat s faktem, že voxely se obvykle promítají na pozice mezi pixely.
Zpětné (inverzní) mapování – problémy:
I1. Jak zvolit počet bodů, které budou vzorkovány podél paprsku.
I2. Jak spočítat hodnotu v těchto bodech, které často padnou mezi voxely.
I3. Jak zkombinovat body, které paprsek na své cestě protnul.
Řešení:
Problémy F2 a F3 se dají řešit pomocí mapování každého voxelu na region projekční roviny,
přičemž dovolíme, aby částečně ovlivnil hodnotu několika pixelů sousedících s pozicí, na
kterou se voxel promítl. Metoda využívající tento princip je založena na nastavení vah
jednotlivých voxelů pro daný pixel, přičemž váha je odvozena ze vzdálenosti mezi pixelem a
promítnutým umístěním daného voxelu. Obecně jsou takto ovlivněny nejvýše čtyři pixely.
Další metodou využívající tento princip je tzv. „splatting“ (rozplácnutí), kdy s každým
voxelem asociujeme malý region textury a tento region se promítá na projekční rovinu.
Problém I1 lze snadno vyřešit určením rozestupu mezi voxely a nastavení vzorkovací
frekvence na menší hodnotu, než jsou tyto rozestupy. Takto není možné pominout některé
vlastnosti a charakteristiky zobrazovaného objemu. Samotné vzorkování může být
doprovázeno převzorkováním či interpolací diskutovanými dříve.
Problémy F1 a I3 jsou běžně řešeny pomocí techniky známé jako „compositing“ (skládání).
Nejjednodušší formy této techniky, jako je například spočtení maximální hodnoty objemu
nebo průměrování všech objemových hodnot asociovaných s pixelem/paprskem. Běžnější
přístupy předpokládají, že každý voxel má v sobě asociovanou hodnotu průhlednosti a tu
využívají při integraci všech voxelů mapovaných na daný pixel. Pokud předpokládáme, že
voxel i má barvu ci a průhlednost oi, pak jeho příspěvek k výsledné hodnotě pixelu je
Jinými slovy musíme určit akumulovanou průhlednost mezi projekční rovinou a voxelem a
použít ji k přiřazení intenzity (ci * oi) voxelu. Výsledná hodnota pixelu je pak dána výpočtem
Klasifikace
Důležitým aspektem při renderování objemových dat je určení průhlednosti a barvy
přiřazené příslušným datovým hodnotám. Tento proces je označován jako klasifikace a jeho
výsledkem je sada funkcí definujících, jakým způsobem bude jednotlivých voxelům přiřazena
jejich průhlednost a RGB kanály (nebo HSV kanály). Tyto funkce jsou označovány jako
transferové (transfer functions). Iniciálně mohou být nastaveny při analýze dat. Alternativně
může uživatel chtít interaktivně ovlivňovat tyto funkce. Takto je možné nastavit tzv. oblasti
zájmu (regions of interest), kde je možné nastavit jinou barvu a průhlednost než v jiných
oblastech a tím tuto oblast zvýraznit či upřednostnit.
Výpočet osvětlení a stínování
Další důležitý problém, který je nutné řešit při přímém zobrazování objemu, je výpočet
osvětlení a stínování. Vzhledem k tomu, že nemáme k dispozici žádný explicitní povrch, který
obsahuje normály, je nutné provést aproximaci založenou na výpočtu gradientu (poměr
změny) v každém směru. Pro daný voxel (vx, vy, vz) můžeme odhadnout, jak rychle se mění
jeho hodnota například ve směru osy x pomocí prozkoumání sousedních voxelů v tomto




1
0
** )1(
i
j
jii ooc




1
0
**
0
)1(),(
i
j
ji
n
i
i oocyxI
směru, konkrétně (vx-1, vy, vz) a (vx+1, vy, vz). Nejjednodušší gradient je určen pouze rozdílem
voxelu a jednoho z jeho nejbližších sousedů. Takže gx, což je x-ová komponenta gradientu,
má hodnotu vx – vx-1. Nazývá se střední diferenční operátor (intermediate difference
operator). Spočtením tří rozdílů – mezi voxelem a jeho sousedy ve třech směrech –
dostaneme vektor, který představuje velmi hrubý odhad směru maximální změny v hodnotě
voxelu. Tento vektor pak může být použit namísto normály při výpočtu stínování.
Mnohem přesnější odhad tohoto vektoru můžeme získat prozkoumáním většího okolí
daného voxelu. Nazývá se centrální diferenční odhad gradientu (central difference gradient
estimator) a využívá body po obou stranách voxelu (ne však hodnotu voxelu samotného).
V tomto případě je gx spočteno jako vx+1 - vx-1. Ignorováním hodnoty v samotném voxelu (vx,
vy, vz) můžeme ztratit důležitou informaci.
Větší operátory gradientu, jako například 3D Sobelův operátor, pracují se všemi 26-ti
nejbližšími sousedními voxely a lze použít dokonce větší okolí. Přesný odhad gradientu má
významný vliv na výsledný vizuální vjem objemových dat.
Implicitní povrchy
Typickou metodou modelování povrchů v počítačové grafice je využití parametrických rovnic
pro definici bodů na povrchu. Tyto body jsou následně spojovány do polygonálních sítí
(meshí). Tato reprezentace je výhodná zejména pro aplikaci transformací a výpočet normál
povrchu. Alternativní metoda je využití takzvané implicitní reprezentace, kdy je povrch
definován jako tzv. zero contour (počáteční kontura) funkce o dvou nebo třech proměnných.
Implicitní reprezentace má své silné stránky při aplikování operací jako je blending (míchání)
nebo přeměna (metamorphosis).
Na obrázku vidíme rozdíl mezi polygonální reprezentací modelu a tentýž model zobrazený
pomocí implicitního povrchu, který je definován 800 vrcholy a jejich normálami.
Metaballs
Příkladem implicitní modelovací techniky jsou takzvané metaballs (nebo jinak blobby
objects). Na metaball se můžeme dívat jako na částici obklopenou polem hustot, kdy se
hustota snižuje se vzdáleností od částice samotné. Povrch metaballu je určen pomocí
izopovrchu z tohoto pole hustot – čím větší hodnota izopovrchu, tím blíže je tento povrch
k částici. Jedním z důležitých aspektů metaballů je jejich možnost kombinování.
Jednoduchým součtem vlivů každého metaballu na daný bod získáme velmi hladké smíchání
sférických polí vlivu.
Klíčovým prvkem při použití metaballů je definice výpočtu použitého pro specifikaci vlivu
libovolné částice na libovolný bod. Blinn použil pro každou částici exponenciálně klesající
pole v kombinaci s Gaussovou hrbolatostí (bump) o výšce b a standardní odchylce a. Pokud r
je vzdálenost částice od daného místa v poli, pak vliv částice je spočten jako b-ar. Z důvodu
efektivity byl tento výpočet změněn na čtverec vzdálenosti. Výsledná hustota v libovolném
místě je dána jednoduchým součtem příspěvků všech částic.
Wyvill a spol. zjednodušili výpočet zavedením kubického polynomu založeného na poloměru
vlivu pro danou částici a vzdálenosti od středu částice do dotazovaného místa v poli. Klíčový
poznatek je, že hodnota vlivu musí být 1.0 pro vzdálenost r rovné 0.0 a vliv má hodnotu 0.0,
pokud je vzdálenost rovna poloměru R vlivu. Funkce vyhovující této podmínce je definována
jako:
C(r) = 2r3/R3 – 3r2/R2 + 1
Díky výpočtu druhé odmociny je tato rovnice pomalá, proto byla opět přetvořena jako funkce
parametrů r^2 a R^2.
Pro vstupní datovou množinu definujeme grid a spočteme hustotu v každém jeho bodě na
základě hodnot v sousedech. Jakmile máme tento grid vytvořen, můžeme využít libovolnou
techniku pro renderování, jako například dříve zmíněné Marching Cubes. Obrázek ukazuje
různé příklady typů renderování, které mohou být aplikovány na implicitní povrchy. Obrázek
vlevo byl generován pomocí dvou koulí s izohodnotou 0.11. Protínající se části byly sečteny.
Všimněte si hladkého přechodu mezi těmito dvěma objekty. Obrázek vpravo obsahuje 24
koulí formujících tvar písmene L, uprostřed je díra. Tyto koule mají nastaveny různé hodnoty
rozsahu vlivu. Je vidět, že již poměrně složitý povrch byl definován pomocí 24 pozic,
poloměrů a jednou izohodnotou.
Dynamická data
Vizualizace toku (flow visualization) představuje metody zobrazení dynamického chování
tekutin a plynů. Základy této disciplíny sahají až do 15. století, kdy Leonardo da Vinci nakreslil
skicy částeček písku a dřevěných hoblin, které byly vhozeny do tekutiny. Od té doby se díky
laboratorním testům stala vizualizace toku čím dál více přesná. Pokroky ve fotografii rovněž
přispěly k pochopení, jak tekutiny a plyny proudí za různých podmínek.
Při vizualizaci toku je hlavním cílem vizualizovat změnu informace. Typicky vstupní data pro
takovéto množiny obsahují více než 3 dimenze. Vizualizační techniky si v tomto případě
kladou za cíl poskytnout uživateli náhled na vstupní data i detailní zobrazení. Vstupní data
jsou nejčastěji získávána pomocí simulací (například v leteckém, lodním či automobilovém
průmyslu, v počasí, medicíně – tok krve, atd.), pomocí měření (například ve větrném tunelu)
nebo modelováním (výpočtem obyčejných diferenciálních rovnic).
Oblast CFD (computational fluid dynamics) rozšířila možnosti a schopnosti vědců studovat
proudy pomocí vytváření simulací dynamického chování tekutin pod širokou škálou
podmínek. Výsledkem této analýzy je obvykle 2D nebo 3D mřížka vektorů rychlostí, které
mohou být uniformně nebo neuniformně rozloženy. Cílem je následná analýza tohoto
vektorového pole za účelem identifikace různých vlastností, jako například turbulence, vírů,
sedlových bodů atd.
Rozlišujeme několik variant struktur uvnitř dat generovaných těmito experimenty:
- Statické pole – obsahuje pouze jedno neměnné pole rychlostí
- V čase se měnící pole – mohou mít fixní pozici s měnícími se hodnotami vektorů nebo
mohou měnit obojí – pozici i vektory. Jsou též nazývány nestabilními.
Během let byla vyvinuta řada technik pro vizualizaci proudu (toku). Nejjednodušší metodou
je zobrazení samotných dat pole průtokových rychlostí buď v podobě vektorů využívajících
směrové značky nebo jako skalární hodnoty využívající obrazové, povrchové nebo prostorové
vizualizační techniky. Počet a rozmístění zobrazovaných komponent hraje zásadní roli při
zprostředkování důležitých znaků vstupních dat – příliš mnoho komponent může vést k
přílišnému překrývání, zatímco málo komponent může opomenout důležité informace.
Nejjednodušším řešením je nechat uživatele interaktivně manipulovat s hustotou
zobrazených prvků, nicméně poslední výzkumy se zaměřují na automatické rozmístění
zobrazovaných komponent pomocí analýzy vstupních dat a identifikace regionů s potenciálně
zajímavým tokem.
Vizualizaci toku dělíme na přímou a nepřímou. Přímá vizualizace poskytuje náhled na aktuální
stav toku (obrázek vlevo) a je často vizualizována pomocí sady vektorů. Nepřímá vizualizace
dále tento náhled obohacuje o zobrazení vývoje toku v čase (obrázek vpravo). K tomu se
využívají tzv. streamlines a streamsurfaces (viz dále).
Příklad
Uveďme si příklad využití vizualizace toku, která má významný praktický dopad. V letectví je
významným problémem vznikající turbulence za letadlem.
Tyto víry jsou zejména po vzletu letadla velmi nebezpečné, protože další letadla na vzletové
dráze mohou být těmito víry významně vychýlena při startu.
Proto je při vzletu dalšího letadla nutné dodržovat určité vzdálenosti.
V praxi je testování vírů a jejich vlivu prováděno ve větrném tunelu a poté jsou získaná data
vizualizována.
(konec příkladu)
Běžným způsobem vizualizace toku je jeho zobrazení pomocí šipek. Ty jsou buď příslušným
způsobem škálovány či obarveny, aby odpovídaly hodnotám v datech. Na obrázku je uveden
příklad obou těchto metod. Vlevo je tok mapován na velikost šipek, vpravo pak na barvu.
Ve 3D se pro zvýšení přehlednosti používá zobrazení šipek pouze v určitých vrstvách.
Druhou nejběžnější technikou je generování streamlines (tečné přímky procházející
rychlostním polem) založených na statickém rychlostním poli. Uživatel vybere seed lokace
(často umístěné na úsečce nebo ve 2D mřížce) a spočte cestu každého semínkového bodu
skrz pole.
Streamlines 3D:
Pro lepší vnímání 3D prostoru se využívají rovněž tzv. osvětlené (illuminated) streamlines.
Algoritmus pro umístění jednotlivých streamlines je založen na předpokladu, že generované
streamlines by neměly být umístěny příliš blízko sebe.
Algoritmus používá pro základní nastavení dva parametry:
• dsep startovní vzdálenost při vyhledávání počátku další streamline
• dtest minimální vzdálenost mezi jednotlivými generovanými streamlines
Algoritmus má tyto základní kroky:
Spočítej počáteční streamline, vlož do fronty
Nastav počáteční streamline jako aktivní
WHILE není dokončeno DO
TRY získej nový bod ve vzdálenosti dsep od aktivní streamline
IF nalezeno THEN spočti novou streamline a vlož do fronty
ELSE IF fronta je prázdná
THEN ukonči smyčku
ELSE další streamline ve frontě se stane aktivní
Tvorba streamline je ukončena, pokud dojde ke splnění jedné z následujících podmínek:
• Když je vzdálenost k sousední streamline ≤ dtest
• Když streamline opustí definovanou doménu
• Když se streamline příliš přiblíží sama k sobě
• Po provedení předem definovaného počtu kroků
Následující obrázek znázorňuje vliv parametru dsep na hustotu generovaných streamlines.
Číslo vyjadřuje procentuální poměr vzhledem k šířce obrázku.
Na dalším obrázku je uveden vztah mezi dvěma uvedenými parametry:
Kromě čar označujících proudy můžeme použít rovinné nebo pevné objekty, jako například
stuhy (ribbons) či hadice (tubes). Výhodou je, že nyní můžeme mapovat i další atributy pole,
jako například velikost či vířivost, na atributy těchto zvolených objektů (například na barvu,
velikost či zkroucení).
Další možnou technikou, kterou lze pro flow data použít, jsou tzv. streaklines. Streaklines
jsou většinou zobrazeny jako spojitý proud částic vyzařujících z diskrétní sady bodů a proudící
skrz pole (viz obrázek). Jednotlivé body dané stopy (všechny částice vycházející s daného
místa patří do jedné stopy) mohou být barevně odlišeny, což je výhodné zejména v místech
s vysokou průtokovou rychlostí či turbulencí.
Další z novějších technik se nazývá „streamball“ a je založena na použití metaballů.
Dalším rozšířením streamlines jsou tzv. streamsurfaces.
Line integral convolution
Zajímavý přístup k vizualizaci vektorových polí byl navržen Cabralem a Leedomem v roce
1993. Jejich metoda se nazývá Line integral convolution (LIC) využívá náhodné pole (např.
texturu) a vektorové pole stejné výšky a šířky pro generování hustého zobrazení průtokové
informace (viz obrázek).
Každý pixel výsledného obrázku je váženým průměrem sekvence sousedících pixelů v
náhodném poli podél lineární cesty procházející daným pixelem a sledující streamline
(proudnici), která prochází skrz pixel.
Formálněji, začínáme v místě (i, j) vektorového pole a vytvoříme dva řetězce pixelů
vycházející z tohoto místa v opačných směrech a navíc ve směru tečny orientace vektoru.
Délka řetězce je nastavena na 2L, kde L je vzdálenost, kterou pixely urazily od počátečního
místa v každém směru. Tyto pixely pak tvoří jádro filtru o šířce jednoho pixelu. Odpovídající
pixely v náhodném poli (textura, bílý šum, …) jsou sečteny a normalizovány délkou řetězce a
výsledná hodnota je uložena na pozici (i, j) ve výsledném obrázku.
LIC využívá texturu pro zobrazení korelace mezi vizualizací a tokem. Výpočet hodnoty se pak
spočítá náhledem na streamline z daného bodu a filtrací bílého šumu podél streamline.
LIC může být poté například mapován na povrch 3D objektu:
Kombinované techniky
Většina efektivních vizualizací je ve skutečnosti kombinací dvou nebo více výše popsaných
technik. Každá z technik má své silné a slabé stránky z pohledu informace, kterou je nebo
není schopna efektivně zobrazit. Silné stránky jednotlivých technik můžeme vyzdvihnout
jejich kombinací, přičemž musíme samozřejmě dbát na to, aby byl minimalizován překryv.
Zároveň je čím dál větší tlak na souběžné zobrazení dat několika různými způsoby, abychom
lépe pochopili sdělovanou informaci. Například předpověď počasí v sobě zahrnuje zobrazení
teploty, rychlosti větru, relativní vlhkosti a řadu dalších faktorů, které ovlivňují přesnost
předpovědi.
V této části se zaměříme na vizualizace, které vznikly kombinací předchozích technik.
Pláty kombinované s izopovrchem
Na obrázku je ilustrována technika, kdy je izopovrch medicínských dat kombinován s
ortogonálním plátováním (slicing) stejné datové množiny. Izopovrch je mapován na jednu
barvu (červenou) a výsledné hodnoty po plátování jsou zobrazeny modře. Izopovrch je
schopen odhalit strukturu povrchu, která by byla obtížně rozpoznatelná pomocí samotného
plátování objemu. Plát poskytuje detailní 2D informaci, zvláště pokud je dobře zvoleno
přiřazení barev. Může uživateli zprostředkovat informaci o relativně uniformních regionech i
o těch, ve kterých dochází k dynamickým změnám. Další výhodou je, že plát zobrazí i vnitřní
(vnořené) regiony v příslušném rozsahu hodnot, zatímco obecný izopovrch zobrazuje pouze
vnější povrch.
Při návrhu tohoto typu vizualizace je důležité vzít v úvahu následující skutečnosti:
- Není vhodné podporovat rychlé změny hodnot izopovrchu
- Pozice a orientace (podél tří os) plátu by měla být jednoduše ovladatelná uživatelem,
včetně možnosti animace pozice plátu
- Pro zprostředkování pohledu na data ze všech stran je nutné umožnit uživateli měnit
pozici a orientaci kamery
- Zásadní je přiřazení barvy – některé zájmové oblasti uvnitř plátu mohou být objeveny
pouze pečlivou volbou barevného schématu. Zároveň je důležité použít pro zobrazení
izopovrchu jinou barvu, která se neobjevuje v barevné mapě plátu, abychom zabránili
špatnému výkladu.
- Uživatel by měl mít možnost jednoduše skrýt kteroukoliv z těchto dvou vizualizačních
komponent, případně alespoň měnit průhlednost.
Kombinace izopovrchu a piktogramů
Jak již bylo řečeno, izopovrchy jsou vhodné pro zprostředkování detailů 3D povrchů, ale
obecně neobsahují žádné jiné aspekty vstupních dat. Piktogramy (glyfy), jako například běžná
šipka, jsou využívány pro zobrazení velikosti nebo směru změny v datové množině – buď jako
gradient ve statických datech nebo jako tok v datech dynamických. Glyfy mohou být
umístěny v těsné blízkosti izopovrchu.
Obrázek ukazuje bouřkový mrak, kde izopovrch znázorňuje hustotu vody uvnitř mraku a šipky
ukazují směr a sílu větru. Navíc je použita ořezávací rovina pro zobrazení detailů hustoty
vody. Pohybem se startovními pozicemi šipek (jsou spojeny s pohyblivou rovinou) můžeme
odhalit „klidné“ regiony a naopak regiony s turbulencí.
Při návrhu tohoto typu kombinované vizualizace je vhodné zachovávat podobná pravidla jako
v přechozím případě. Interaktivní kontrola parametrů vizualizace – hodnoty izopovrchu,
základní pozice glyfu, úhel pohledu – přispívají ke zefektivnění dané vizualizace. Další aspekty
jsou nutné pro zlepšení informačního obsahu glyfů, jako například:
- Měnící se hustota glyfů
- Škálování velikosti glyfů
- Přiřazování barvy glyfům
- Výpočet základní pozice glyfů na základě oblastí zájmu ve vektorovém poli
Další potenciální vylepšení této techniky může být využití ořezávací roviny nebo reliéfu
(rubber sheet).
Reliéf + kontura + barva
Již jsme zmínili, že je výhodné zobrazovat data „nadbytečně“, čímž je myšleno jejich
mapování na různé vizuální atributy. V tomto případě začínáme se zobrazením reliéfu, které
znázorňuje hodnoty 2D pole v podobě výškové mapy. Takto jsme schopni odhalit „výčnělky a
údolí“ v datech. Tuto vizualizaci můžeme dále rozšířit o mapování barvy na vyvýšeniny, čímž
umožníme jednodušší identifikaci oblastí s podobnou nadmořskou výškou. Nakonec můžeme
reliéf proložit konturami o určitých hladinách, čímž zvýrazníme hodnoty gradientu.
Každá přidaná metoda zlepšila naše pochopení dat.
Shrnutí
Seznámili jsme se s několika běžně používanými technikami pro vizualizaci časoprostorových
dat. Díky tomu, že jsme procházeli techniky podle dimenzionality dat, kterou jsme postupně
zvyšovali, poznali jsme základy, na nichž jsou jednotlivé techniky postaveny. Vzhledem k
tomu, že pro vizualizaci určité datové množiny je možné použít několik různých přístupů, je
důležité porozumět kladům a záporům jednotlivých technik – zejména které vlastnosti dat
techniky jasně prezentují. Často je výhodné jednotlivé techniky kombinovat.