IB112 Základy matematiky
Základy naivní teorie množin, relace, zobrazení, mohutnost
Jan Strejček
Obsah
■ Množiny
■ základní operace
■ Russellův paradox
■ Relace
■ skládání relací
■ ekvivalence
■ uspořádání, Hasseův diagram
■ Zobrazení
■ injekce, surjekce, bijekce
■ Mohutnost
■ spočetnost a nespočetnost
■ Cantorova věta
IB112 Základy matematiky: Základy naivní teorie množin, relace, zobrazení, mohutnost
2/49
Množiny
IB112 Základy matematiky: Základy naivní teorie množin, relace, zobrazení, mohutnost
3/49
Množina
■ Množina je základní pojem matematiky.
■ Teorii množin vybudoval Georg Cantor (1845-1918) v roce 1872.
■ Naivní pohled: Množina je soubor prvků. Zápis
■ a g A značí a je prvkem množiny A.
m a^A značí a není prvkem množiny A. m 0 značí prázdnou množinu.
m {a, b, c} zapisuje množinu obsahující právě prvky a, b, c.
IB112 Základy matematiky: Základy naivní teorie množin, relace, zobrazení, mohutnost
4/49
Množina
■ Množina může být prvkem množiny.
■ Ve skutečnosti v teorii množin neexistuje nic jiného než množiny, tedy každý prvek a množiny A je opět množina.
Příklady množin
■ {a, b}
m {a}, {{a}}, {{{a}}}, {a, {a}, {{a}}}
■ {x | x je přirozené číslo dělitelné 3}
■ N = {1,2,3,...} - množina všech přirozených čísel
■ Z = {..., -2, —1,0,1,2,...} - množina všech celých čísel
■ Q - množina všech racionálních čísel
■ R - množina všech reálných čísel
IB112 Základy matematiky: Základy naivní teorie množin, relace, zobrazení, mohutnost
5/49
Russellův paradox
■ Proč je uvedená definice množiny označena jako naivní?
■ Protože existují soubory prvků, které nelze považovat za množinu. Jeden takový soubor popsal Bertrand Russell (1872-1970) v roce 1901.
Russellův paradox
Množina X se nazývá normální, jestliže X ^ X. Nechť N je množina všech normálních množin. Je-li N normální, pak N e A/, a tedy N není normální. Není-li N normální, pak N 0 A/, a tedy N je normální.
V seriózní teorii množin se za množiny považují pouze soubory prvků, které vznikly z prázdné množiny pomocí sady axiomů.
IB112 Základy matematiky: Základy naivní teorie množin, relace, zobrazení, mohutnost
6/49
Vztahy mezi množinami
Definice (Podmnožina)
Množina A je podmnožina množiny B, psáno A c B, jestliže každý prvek z A je i prvkem z B.
■ Pokud Ac B, pak také říkáme, že B je nadmnožinou A.
■ Pro každou množinu A platí 0 c A a A c A.
■ Vztah c nazýváme také inkluze.
Definice (Rovnost)
Množina A je rovna množině B, psáno A = B, pokud platí A c B a B c A.
m Množiny jsou shodné, pokud mají stejné prvky.
■ A je vlastní pomnožinou 6, psáno A c 6, pokud A c B a A ^ B.
IB112 Základy matematiky: Základy naivní teorie množin, relace, zobrazení, mohutnost
7/49
Operace na množinách
sjednocení: Au B = {x | x e A nebo x e B}
průnik: AnB = {x\xeAaxeB}
rozdíl: A\B = {x\xeAax^B}
symetrický rozdíl: A+ B = (A\ B) u (B \ A)
Nechť AcM. DoplňekA (vzhledem k nosné množině M) je množina A = M \ A.
m Doplněk se nazývá také komplement.
m Množiny A a B jsou disjunktní, pokud /A n B = 0. V opačném prípade se množiny nazývají incidentní
IB112 Základy matematiky: Základy naivní teorie množin, relace, zobrazení, mohutnost
8/49
Vlastnosti množinových operací
Průnik a sjednocení jsou
■ komutativní     A n B = B n A
Au B= BuA
■ asociativní      A n (B n C) = (A n fí) n C
A U (B U C) = (A U B) U C
■ idempotentní     AnA = A
AuA = A
Dále platí distributivní zákony
Au (Bn C) = (Au B) n (Au C) An(BuC) = (An B) u (A n C)
IB112 Základy matematiky: Základy naivní teorie množin, relace, zobrazení, mohutnost
9/49
Vlastnosti množinových operací
U doplňku velmi záleží na nosné množině M: m A = {a}, M = {a}:A~ = <b u A = {a}, M = {a, b}: Ä = {b} m A = {a}, M = {a, £>, c}: Ä = {b, c}
Pro doplněk dále platí ■ 7i = A
m De Morganovyzákony      An B = ^u6
Au B = A~nB
De Morganovy zákony lze dále zobecnit
A^(BnC) = (A\B)u(A^C) A\(BuC) = (A\B)n{A\C)
IB112 Základy matematiky: Základy naivní teorie množin, relace, zobrazení, mohutnost 10/49
Zobecnění průniku a sjednocení
Definice (Zobecněný průnik a sjednocení)
Nechť Aj je množina pro každé i e I ^ 0. Definujeme
P| Aj = {x | x g Aj pro každé i e 1}
[jAj = {x | x g /A, pro nějaké i e 1}
m Příklad: U/GN{2/} = {2,4,6,...}
■ Dále se definuje U/G0 A = 0-
■ Je-li dána nosná množina M, lze definovat i p|/e0 A- = M.
IB112 Základy matematiky: Základy naivní teorie množin, relace, zobrazení, mohutnost
11/49
Uspořádaná dvojice
Definice (Uspořádaná dvojice)
Uspořádanou dvojici (a, b) definujeme jako množinu {{a}, {a, b}}.
■ Platí (a, b) = (c, oř) právě když a = c a Ď = d.
■ Jaká množina je dvojice (a, a)?
IB112 Základy matematiky: Základy naivní teorie množin, relace, zobrazení, mohutnost 12/49
Kartézský součin
Definice (Kartézský součin)
Kartézský součin množin A, B je množina
Ax B = {(a,b) | a e A, b e B}.
m Príklad: {a, b} x {c, d} = {(a, c), (a, d), (Ď, c), (Ď, d)}
■ Pro každou množinu A platí 0x/4 = /4x0 = 0.
■ Obecně neplatí A x B = B x A (komutativita).
■ Obecně neplatí A x (B x C) = (A x B) x C (asociativita).
IB112 Základy matematiky: Základy naivní teorie množin, relace, zobrazení, mohutnost
13/49
Uspořádaná k-tice
Definice (Uspořádaná k-tice)
Pro každé k e N definujeme uspořádanou k-tici ^, a2,..., ak) induktivně:
■ (aO = aA
■ (a-i,..., a,-, a/+i) = ((ai,..., a,-), a,-+i)
■ Platí (ai,..., a/c) = (b^,..., £>/c) právě když a, = £>,- pro všechna 1 < / < k.
IB112 Základy matematiky: Základy naivní teorie množin, relace, zobrazení, mohutnost
14/49
Kartézský součin více množin
Definice (Kartézský součin více množin)
Nechť k g N. Kartézská součin množin A|,... ,Ak je množina >A1 x ... x Ak = {(a-i,..., ak) | a, e A pro každé 1 < / < /c}.
■ Pro /c = 2 se uvedená definice shoduje s původní definicí kartézského součinu.
■ Lze definovat i mocniny: A3 = A x A x A.
■ Definujeme A° = {0}.
IB112 Základy matematiky: Základy naivní teorie množin, relace, zobrazení, mohutnost
15/49
Potenční množina
Definice (Potenční množina)
Potenční množninu množiny A definujeme jako množinu všech podmnožin množiny A, t.j.
V (A) = {B | B c A}.
■ Někdy se používá značení 2r místo V(A)
■ Příklad: p({a, b}) = {0, {a}, {b}, {a, b}} m P(0) = {0}
IB112 Základy matematiky: Základy naivní teorie množin, relace, zobrazení, mohutnost
16/49
Relace
IB112 Základy matematiky: Základy naivní teorie množin, relace, zobrazení, mohutnost
17/49
Relace
Definice (Relace)
Nechť n e N. n-ární relace (nebo relace arity n nebo jen relace) R je podmnožina kartézského součinu
R Q A^ x ... x An.
■ Je-li /A-| = ... = An = A, mluvíme o n-ární relaci na množině A.
■ Unární relace je relace arity 1 R c A, tj. podmnožina.
■ Dále se budeme zabývat jen binárními relacemi.
IB112 Základy matematiky: Základy naivní teorie množin, relace, zobrazení, mohutnost
18/49
Binární relace, definiční obor, obor hodnot
■ Binární relace (mezi množinami A, B) je relace R c A x B. m Definiční obor relace fľ c A x S je množina
{ae A \ existuje b e B tak, že (a, ď) e f?}.
■ Obor hodnot relace fľ c >A x S je množina
{b e B \ existuje a e A tak, že (a, ď) e f?}.
■ Alternativní notace (a, Ď) g R: aRb nebo f?(a, Ď)
IB112 Základy matematiky: Základy naivní teorie množin, relace, zobrazení, mohutnost
19/49
Identita a inverzní relace
Definice
Identita na množině A je binární relace
idA = {(a, a) | a e A} c A x A.
Definice (Inverzní relace)
Inverzní relací k relaci R c A x B rozumíme relaci
fl-1 = {{b, a) (a, b) g R} c B x A.
m Platí (ŕ?-1)-1 = R.
IB112 Základy matematiky: Základy naivní teorie množin, relace, zobrazení, mohutnost
Skládání relací
Definice (Skládání relací)
Nechť R c Ax B a S c B x C jsou relace. Jejich složením rozumíme relaci
Sofí = {(a, c) | existuje b e B splňující (a, b) e R a (b, c) e S}.
■ S o R se čte jako "S po R\
■ Platí So RGAx C.
■ Skládání relací je asociativní: T o (S o R) = (T o S) o R
IB112 Základy matematiky: Základy naivní teorie množin, relace, zobrazení, mohutnost
21/49
Vlastnosti relací
Definice (Vlastnosti relací)
Relace R c A x A na množině A se nazývá
■ reflexivní, pokud platí (a, a) e R pro každé a e A,
■ symetrická, pokud (a, b) g R implikuje (b, a) g R,
m tranzitivní, pokud (a, b), (b, c) e R implikuje (a, c) g R, m antisymetrická, pokud (a, b), (b, a) e R implikuje a = b,
m úplná, pokud pro každé a, b e A platí (a, b) e R nebo
{b, a) g R,
m univerzální, pokud pro každé a, b e A platí (a, b), (b, a) g R.
IB112 Základy matematiky: Základy naivní teorie množin, relace, zobrazení, mohutnost
22/49
Příklady
Příklad
■ Uvažte binární relaci R na množine A = {1,2}:
fí={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}
■ Jaké vlastnosti má tato relace?
■ Změní se odpověď, uvážíme-li tutéž relaci na množině Af = {1,2,3}?
Příklad
■ Uvažte binární relaci inkluze (c) na množině V ({a, b}).
■ Vypište všechny prvky této binární relace.
■ Jaké vlastnosti má tato relace?
IB112 Základy matematiky: Základy naivní teorie množin, relace, zobrazení, mohutnost
23/49
Ekvivalence
Definice (Ekvivalence)
Relace RcAxAse nazývá ekvivalence, jestliže R je reflexivní, symetrická a tranzitivní
Definice
Buď R ekvivalence na A. Pro a e A položíme
Ra = {b g A\ (a,b) g R}. Množinu Ra nazýváme třída relace
ekvivalence R určená prvkem a.
Příklad
■ Uvažte relaci R na N: (x,y) g R <=^> x mod 4 = y mod 4.
■ Kolik existuje různých tříd ekvivalence?
IB112 Základy matematiky: Základy naivní teorie množin, relace, zobrazení, mohutnost
24/49
Vlastnosti tříd ekvivalence
Věta
Buď R ekvivalence naAaaeA. Pak platí:
□ Ra = Rb <<=>. (a, b) e R m RanRb^<fr Ra = Rb
Důkaz
D Plyne z reflexivity.
□
IB112 Základy matematiky: Základy naivní teorie množin, relace, zobrazení, mohutnost
25/49
Vlastnosti tříd ekvivalence
Věta
Buď R ekvivalence na A a a e A. Pak platí: D a g Ra
H Ra = Rb       (a, b)eR H RanRbŕtt ^ Ra = R b
Důkaz
B Nechť Ra = Rb. Jelikož a e Ra = Rb, platí (b, a) g R. Ze symetrie pak plyne i (a, b) g R.
Nechť (a, Ď) g R Pak pro každé c g Rb platí (Ď, c) e R.Z tranzitivity plyne (a, c) g f? a tudíž c g fía- Tedy fľ^ c Ra. Ze symetrie fľ pak plyne i Ra c f?d.
IB112 Základy matematiky: Základy naivní teorie množin, relace, zobrazení, mohutnost
26/49
Vlastnosti tříd ekvivalence
Věta
Buď R ekvivalence na A a a e A. Pak platí: D a e Ra
H Ra = Rb       (a, b)eR H RanRbŕtt ^ Ra = R b
Důkaz
B Nechť Ran Rb^ 0. Pak existuje c e Ran Rb a proto
(a, c), (Ď, c) e R Ze symetrie a tranzitivity plyne (a, b) e R a tedy Ra = Rb.
Implikace       je zřejmá.
□
IB112 Základy matematiky: Základy naivní teorie množin, relace, zobrazení, mohutnost
27/49
Uspořádání
Definice (Uspořádání)
Relace R c Ax A se nazývá (částečné) uspořádání na A, jestliže R je reflexivní, antisymetrická a tranzitivní
Je-li relace R navíc úplná, nazývá se lineární uspořádání nebo totální uspořádání na A.
■ Uspořádání obvykle značíme <.
■ a < b je zkrácený zápis pro a < b a a ^ b.
■ Je-li a < b nebo b < a, pak řekneme, že a, b jsou srovnatelné.
■ V opačném případě jsou a, b nesrovnatelné.
■ Příklad uspořádání na N: a ^ b pokud a je dělitel b.
IB112 Základy matematiky: Základy naivní teorie množin, relace, zobrazení, mohutnost
28/49
Uspořádaná množina
Definice
Dvojice (A, <) se nazývá uspořádaná množina, pokud < je uspořádání na A.
Dvojice (A, <) se nazývá lineárně uspořádaná množina, pokud < je lineární uspořádání na A.
Příklady
■ Lineárně uspořádané množiny: (N, <), (Z, <), (Q, <), (IR, <),... (< značí přirozené uspořádání na příslušném číselném oboru)
■ Uspořádaná množina (V({a, b, c}), c)
■ Uspořádaná množina (N, {(1, /), (/, /) | / g N})
IB112 Základy matematiky: Základy naivní teorie množin, relace, zobrazení, mohutnost
29/49
Příklad
Příklad
■ Uvažme množinu V{{\, 2,..., 10}) s relací -< definovanou pro
X, Y eP({1,2,...,10}) jako
X ^ Y pokud X má nejvýše tolik prvků jako Y.
■ Je (P({1,2,..., 10}), ^) uspořádaná množina?
IB112 Základy matematiky: Základy naivní teorie množin, relace, zobrazení, mohutnost
30/49
Hasseův diagram
■ Grafická reprezentace konečných uspořádaných množin.
■ Použil Henry Gustav Vogtv roce 1895, zpopularizoval Helmut Hasse (1898-1979)
Hasseův diagram reprezentující uspořádanou množinu (A, <) je graf, kde
■ vrcholy jsou prvky A
m z a vede hrana nahoru do b, pokud a < b, a ^ b a neexistuje c splňující a< c < b.
IB112 Základy matematiky: Základy naivní teorie množin, relace, zobrazení, mohutnost
31/49
Hasseův diagram: příklady
Potenční množina množiny {a, £>, c} s relací inkluze (podmnožina) t.j. (V({a,b, c}),c).
IB112 Základy matematiky: Základy naivní teorie množin, relace, zobrazení, mohutnost
32/49
Hasseův diagram: příklady
Potenční množina množiny {a, £>, c} s relací inkluze (podmnožina) t.j. (V({a,b, c}),c).
{a, b, c}
{a,b}
{a, c}
{b,c}
{a}
{b}
{c}
0
IB112 Základy matematiky: Základy naivní teorie množin, relace, zobrazení, mohutnost
33/49
Hasseův diagram: příklady
Množina všech dělitelů čísla 60 uspořádaných relací dělitelnost.
IB112 Základy matematiky: Základy naivní teorie množin, relace, zobrazení, mohutnost
34/49
Hasseův diagram: příklady
Množina všech dělitelů čísla 60 uspořádaných relací dělitelnost.
IB112 Základy matematiky: Základy naivní teorie množin, relace, zobrazení, mohutnost
35/49
Největší, nejmenší, maximální a minimální prvek
Definice
Nechť (A, <) je uspořádané množina. Prvek a e A je
■ největší, jestliže pro všechna b e A platí b < a,
■ nejmenší, jestliže pro všechna b e A platia < b,
m maximální, jestliže pro všechna b e A platia < b =4> a = b, m minimální, jestliže pro všechna b e A platí b < a =4> a = b.
■ Existuje-li v množině největší prvek, pak je jediný. Navíc je i maximální a neexistuje jiný maximální prvek.
■ Existuje-li v lineárně uspořádané množině maximální prvek, pak je to i prvek největší.
■ Analogie platí i pro nejmenší a minimální prvky.
■ Existují usp. množiny bez největšího a bez maximálního prvku? A co množiny bez největšího prvku, ale s maximálními prvky?
IB112 Základy matematiky: Základy naivní teorie množin, relace, zobrazení, mohutnost 36/49
Zobrazení
IB112 Základy matematiky: Základy naivní teorie množin, relace, zobrazení, mohutnost
37/49
Zobrazení
Definice (Zobrazení)
Zobrazení množiny A do množiny B, psáno f: A-> B je relace f c A x B taková, že pro každé a e A existuje právě jedno b e B splňující (a, b) g f.
Množinu všech zobrazení z A do B značíme BA.
■ Místo (a, b) e f obvykle píšeme f (a) = b, a je vzor, b obraz.
m Někdy se místo "právě jedno" požaduje "nejvýše jedno". Tím se definuje částečné zobrazení neboli zobrazení z A do B. Pokud pro a e A neexistuje b e B splňující (a, b) e f, říkáme, ža zobrazení f není pro a definováno a píšeme f (ä) = _L.
■ Chceme-li zdůraznit, že zobrazení není částečné, nazveme ho totálni.
m Zobrazení se také nazývá funkce.
IB112 Základy matematiky: Základy naivní teorie množin, relace, zobrazení, mohutnost
38/49
Injekce a surjekce
Definice (Injekce a surjekce)
Zobrazení f:       B se nazývá
■ prosté (injektivní, injekce), jestliže ŕ(a-i) = f(a2) =4> a^ = a2,
■ zobrazení A na množinu B (surjektivní, surjekce), jestliže pro každé b e B existuje a e A splňující f (a) = b,
Příklady
■ f: N -> N, kde f (x) = 2x je prosté, ale není surjektivní.
■ f: N    {1}, kde ŕ(x) = 1 je surjektivní, ale není prosté.
IB112 Základy matematiky: Základy naivní teorie množin, relace, zobrazení, mohutnost
39/49
Bijekce
Definice (Injekce a surjekce)
Zobrazení f:      B se nazývá bijektivní nebo bijekce, jestliže je současně prosté i surjektivní.
Množiny A, B nazveme izomorfní, jestliže existuje bijekce f: A-> B, píšeme A = B.
Příklady
■ f: {1,2,3} -> {3,4,5}, kde ř(x) = x + 2 je bijekce.
■ Množiny N a Z jsou izomorfní.
IB112 Základy matematiky: Základy naivní teorie množin, relace, zobrazení, mohutnost
40/49
Poznámky
■ Pojmy definiční obor, obor hodnot zůstávají stejné jako u relací.
■ Inverzní relace k zobrazení nemusí být zobrazení.
■ Inverzní relace k bijekci je bijekce.
■ Skládání zobrazení se definuje stejně jako skládání relací.
■ Identita na A je bijekce.
IB112 Základy matematiky: Základy naivní teorie množin, relace, zobrazení, mohutnost
41/49
Vlastnosti bijekcí
Věta
Nechť f: A->Bag\ B->C jsou bijekce. Platí m ř~1 o f = icJA a ŕ o ŕ-1 = ícIb,
■ (ŕ-1)-1=ŕ,
■ g o f je bijekce a (g o ŕ)-1 = ŕ-1 o gr1,
■ f o ícIa = f = ícIb o ŕ.
IB112 Základy matematiky: Základy naivní teorie množin, relace, zobrazení, mohutnost
42/49
Mohutnost
IB112 Základy matematiky: Základy naivní teorie množin, relace, zobrazení, mohutnost
43/49
Mohutnost množiny
Definice
Jestliže existuje bijekce mezi množinami A, B (tj. A = B), pak také říkáme, že A a B mají stejnou mohutnost.
Definice (Konečnost)
Množina A je konečná, jestliže má stejnou mohutnost jako některá z množin n = {0,1,2,..., n - 1}, kde n e u. V opačném případě je množina nekonečná.
Mohutností množiny A rozumíme "počet prvků v množině A" a značíme \A .
Pro konečné množiny platí \A x B\ = \A\ • \B .
Množiny Z a 2Z = {2x | x e Z} mají stejnou mohutnost neboť zobrazení f: Z -> 2Z dané předpisem f(x) = 2x je bijekce.
IB112 Základy matematiky: Základy naivní teorie množin, relace, zobrazení, mohutnost
44/49
Spočetné množiny
Definice (Spočetnost)
Množina, která má stejnou mohutnost jako uj se nazývá spočetná. Množina, která je konečná nebo spočetná se nazývá nejvýše
spočetná. Ostatní množiny jsou nespočetné.
Někdy se jako spočetná množina označuje každá množina, která má stejnou mohutnost jako libovolná podmnožina u, tedy i každá konečná množina je spočetná.
Hrátky s nekonečnem: spočetný hotel.
IB112 Základy matematiky: Základy naivní teorie množin, relace, zobrazení, mohutnost
45/49
Spočetné množiny
Věta
Množiny N a Z jsou spočetné.
Důkaz
Existují bijekce f: u    N a g : u -> Z dané předpisem:
n
je-li n sudé
v ; v ;    ^    íí±1    je-li n liché □
IB112 Základy matematiky: Základy naivní teorie množin, relace, zobrazení, mohutnost
46/49
Spočetnost racionálních čísel
Věta
Množina Q je spočetná.
Důkaz
Stačí dokázat pro kladná rac. čísla Q+ (dále dle důkazu pro Z). Reprezentujme Q+ nekonečnou tabulkou: v Mém řádku jsou seřazeny všechny vykráčené zlomky s čitatelem /.
9222 ^  3   5 7
q    3     3 3
O    2    4    5 ...
.....
■ ■ ■ ■ ■
....
Čísla seřadíme do posloupnosti po diagonálách: 1, \, 2,1, §, 3,.... Nyní stačí číslu z u přiřadit číslo z Q+ na příslušné pozici. Tím je popsána bijekce a Q+ je spočetná. □
IB112 Základy matematiky: Základy naivní teorie množin, relace, zobrazení, mohutnost 47/49
Cantorova věta
Věta (Cantorova věta)
Množiny A a V (A) nikdy nemají stejnou mohutnost.
Důkaz
Nechť A a V {A) mají stejnou mohutnost, tj. nechť f: A -> V(A) je bijekce. Položme
B = {a g A | a 0 f (a)}.
Jelikož B c A a ř je bijekce, musí existovat í)G/l takové, že f(b) = B. Pak platí
be B b^B a to je spor. □
Tedy existují množiny, které jsou nespočetné: např. V(N). (Tato množina zjevně není konečná.)
IB112 Základy matematiky: Základy naivní teorie množin, relace, zobrazení, mohutnost 48/49
Mohutnost reálných čísel
Věta
Množina R je nespočetná. Důkaz
Ukážeme, že i interval reálných čísel [0,1] je nespočetný. Předpokládáme, že existuje bijekce f: u    [0,1]. Následující (nekonečná) tabulka tedy obsahuje všechna čísla z [0,1].
f(0)	= o,	5	1	0 ...
'(1)	= o,	4	1	3 ...
f(2) ■ ■ ■	= o, ■ ■ ■ ■ ■ ■	8 ■ ■ ■	2 ■ ■ ■	4 ... ■ ■ ■ . ■
r	= o,	6	2	5 ...
Zkonstruujeme číslo r, které se bude lišit od každého čísla v tabulce (alespoň v číslici na diagonále). Jelikož r je číslo z [0,1 ] a není v tabulce, dostáváme spor. □
IB112 Základy matematiky: Základy naivní teorie množin, relace, zobrazení, mohutnost 49/49