IB112 Základy matematiky
Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory
Jan Strejček
Obsah
■ Soustava lineárních rovnic
■ Vektor a matice
■ násobení matic
■ maticový zápis soustavy lineárních rovnic
■ schodovitý tvar
■ Řešení soustavy lineárních rovnic
■ Gaussova eliminace
■ zpětná substituce
■ Geometrický význam lineárních rovnic
■ s dvěma neznámými
■ s třemi neznámými
IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory
2/53
Soustava lineárních rovnic
IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory
Lineární rovnice
Definice (Lineární rovnice)
Lineární rovnicí o n neznámých x-i, x2,..., xn rozumíme rovnici tvaru
a^xA + a2x2 + ... + anxn = b, kde a-i, a2,..., an jsou koeficienty a b je absolutní člen.
Příklad
■ x + 3 = 2y - 4 —>     x - 2y = -7
■ lze chápat i jako rovnici nad 3 neznámými: x - 2y + Oz = -7
IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory
4/53
Soustava lineárních rovnic
Definice (Soustava lineárních rovnic)
Je-li dáno m rovnic o n neznámých x-i, x2,..., xn, hovoříme o soustavě lineárních rovnic nebo systému lineárních rovnic.
anx1   +  a12x2  +  ...  +  a1nxn  = fy
cŽ2-|X|    +    a22^2    +    •••    +    ^2n^n    — ^2
■ ■ ■ ■
■ ■ ■ ■
*1    +   3m2x2   +   • • •   +   dmnXn   — bm
Řešením soustavy rozumíme n-tici čísel    , l/2, ..., un), po jejichž dosazení za proměnné (x1, x2,..., xn) se levá strana každé rovnice vyhodnotí na odpovídající pravou stranu.
IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory
5/53
Motivační príklad 1
Příklad
2x -3y          = 7
x +2z = 1
3x +3y +2z = 14
IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory
6/53
Motivační príklad 1
Příklad
2x  -3y = 7
x +2z = 1
3x +3y +2z = 14
Řešení
■ Soustava má jediné řešení (5,1, -2).
■ Jinak zapsáno: x = 5, y = 1, z = -2
IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory
7/53
Motivační príklad 2
Příklad „
2x -3y = 7
x +2z = 1
3x -3y +2z = 8
IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory
8/53
Motivační príklad 2
Příklad
2x  -3y = 7
x +2z  = 1
3x  -3y +2z = 8
Řešení
■ Soustava má řešení (5,1, -2).
■ Existují další řešení: (-1,-3,1), (2,-1,-1), (11,5,-5), ...
IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory
9/53
Motivační príklad 2
Příklad
2x  -3y = 7
x +2z  = 1
3x  -3y  +2z  = 8
Řešení
■ Soustava má řešení (5,1, -2).
■ Existují další řešení: (-1, -3,1), (2, -1, -\), (11,5, -5), ...
■ Řešením je každá trojice (ř, kde ř je libovolné.
■ Řešení je tedy nekonečně mnoho.
■ Tato situace obvykle nastává, je-li rovnic méně než proměnných (v tomto příkladu třetí rovnice nepřidává žádnou informaci, je pouze součtem prvních dvou rovnic).
IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory
10/53
Motivační príklad 3
Příklad „
2x -3y = 7
x +2z = 1
3x -3y +2z = 9
IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory
11/53
Motivační príklad 3
Příklad n n
2x -3y = 7
x +2z  = 1
3x -3y +2z  = 9
Rešení
■ Neexistuje žádné řešení: součtem prvních dvou rovnic dostáváme
3x - 3y + 2z = 8, což odporuje třetí rovnici.
IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory
12/53
Vyřešení a ekvivalence soustavy rovnic
■ Vyřešením soustavy rovnic rozumíme nalezení všech řešení.
■ Obvyklým postupem je převod soustavy na jednodušší soustavu se stejnou množinou řešení.
Definice (Ekvivalence soustav lineárních rovnic)
Soustavy lineárních rovnic se nazývají ekvivalentní, mají-li stejnou množinu řešení
IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory
13/53
Úpravy soustavy
Následujícími úpravami získáme vždy ekvivalentní soustavu lineárních rovnic:
D výměna libovolných dvou rovnic soustavy
B vynásobení obou stran libovolné rovnice nenulovým číslem c
B přičtení c-násobku Mé rovnice k /-té rovnici (/ ^ j)
Každá z uvedených úprav je vratná. Původní soustavu dostaneme: D opakováním výměny rovnic B vynásobením stejné rovnice číslem ± B k /-té rovnici přičteme (-c)-násobek /-té rovnice
IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory
14/53
Poznámky k úpravám soustavy
Obecně nelze kombinovat více úprav v jednom kroku (mohlo by to vést k neekvivalentní soustavě rovnic):
2x  -3y = 7
x +2z  = 1
3x  +3y  +2z  = 14
Současným přičtením 2. rovnice k 3. a 3. rovnice k 2. dostaneme:
2x  -3y = 7
4x +3y +4z = 15 4x  +3y  +4z  = 15
Tato soustava není ekvivalentní: původní soustava má jedno řešení, upravená soustava jich má nekonečně mnoho.
IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory
15/53
Vektory a matice
IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory
Vektory
Definice (Vektor)
Vektor je uspořádaná n-tice prvků.
Vektor se zapisuje do řádku či do sloupce jedním z následujících způsobů (vpravo jsou sloupcové vektory)
-3 . 2
(x1,x2,x3)      (x,   x2  x3)      \ 8
(-3,2,8)        (-3  2 8)
Vektory stejného typu lze sčítat po složkách:
(-3,2,8)+ (5,-5,0) = (2,-3,8)
Násobení vektoru číslem:
5(-3,2,8) = (-15,10,40)
IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory
17/53
Matice
Definice (Matice)
Maticí typu m/n rozumíme obdélníkové schéma.
A =
(a-n   ai2 •
^21     ^22 •
• ^2n
\änľ\    &m2   • • • dmnj
■ Zápis >A = (a,y) znamená, že prvky matice /4 označujeme jmény tvaru a,v dle uvedeného schématu.
IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory
18/53
Součin matic
Definice (Součin matic)
Součinem matic A = (a,y) typu m/n a B = (bjk) typu n/o je matice C = (c/zc) řypí/ at?/o splňující
n
Cik = ^ 3,y • Ďy/c-7=1
Příklad
	1	
-2	-2	-2
1	0	0
\2	0	-3/
IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory
19/53
Součin matic
Definice (Součin matic)
Součinem matic A = (a,y) typu m/n a B = (bjk) typu n/o je matice C = (c/zc) řypí/ at?/o splňující
n
Cik = ^ 3,y • Ďy/c-7=1
Příklad
	1	
-2	-2	-2
1	0	0
\2	0	-3/
IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory
20/53
Maticový zápis soustavy lineárních rovnic
Soustavu lineárních rovnic
a^x^ + a12x2 + a2-|X-|   +  a22x2 +
+    &\ n*n
a2nxn
b2
*1    +   3m2x2   +   • • •   +   dmnXn   — b
m
lze zapsat pomocí matic následovně:
/a-n   a-|2   ... a-in\
a2i a22
32n
X2
\3mJ\    3m2   • • •   ämn/ \xnJ
b2
\bmj
Označíme-li matici a vektory pořade A, x, b, dostáváme rovnici
A ■ x = b.
IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory
21/53
Maticový zápis soustavy lineárních rovnic
Soustavu lineárních rovnic lze ještě úsporněji reprezentovat tzv.
rozšířenou maticí soustavy:
(A | b) =
( au
^21
a-12
^22
3-IA7 ^2A7
b2
'mn
Příklad
2x -3y = 7
x +2z = 1
3x +3y +2z = 14
2	-3	0	7
1	0	2	1
3	3	2	14
IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory
22/53
Schodovitý tvar matice
Definice (Schodový tvar matice)
Vedoucí prvek i-tého řádku matice je nejlevější nenulový prvek na i-tém řádku (nulový řádek nemá vedoucí prvek). Matice je v
(řádkově) schodovitém tvaru, jestliže
D za nulovým řádkem následují už jen nulové řádky a
B vedoucí prvek v každém nenulovém řádku je v pravějším sloupci než vedoucí prvky všech předcházejících řádků.
Příklad
í° o
o
Vo
2 0 0 0
-3 17
0
0
0 3\
1 4 0 3
0 oj
í2 0
0
Vo
-3 17
0
0
0 3\
1 4 0 3 0 A)
l2 0
0
Vo
-3 17
0
0
0 3\
1 4 0 0 0 3/
■ Vedoucí prvky jsou červené.
■ Pouze matice vlevo je ve schodovitém tvaru.
IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory
23/53
Řešení soustavy lineárních rovnic
IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory
Elementární řádkové transformace matic
Dříve zmíněné úpravy soustavy lineárních rovnic, které zachovávají ekvivalenci, přesně odpovídají následujícím elementárním řádkovým transformacím provedeným na rozšířené matici soustavy.
Definice (Elementární řádkové transformace)
Elementární řádkové transformace matic jsou O výměna dvou řádků matice, B vynásobení jednoho řádku nenulovým číslem, B přičtení násobku některého řádku k jinému řádku.
IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory
25/53
Gaussova eliminace
Věta (Gaussova eliminace)
Každou matici lze pomocí konečně mnoha elementárních řádkových úprav převést na řádkově schodovitý tvar.
Důkaz
Převod do schodovitého tvaru lze provést následujícím algoritmem.
D Nechť y-tý sloupec je nejlevější nenulový sloupec matice. Vyměníme řádky tak, aby na prvním řádku byl v y-tém sloupci nenulový prvek a1y-.
B K ostatním řádkům, které mají v tomto sloupci nenulový prvek a,y přičteme (-Jjp-násobek prvního řádku. Tím vynulujeme
celý y-tý sloupec až na a1y.
Q Tím jsme dostali první řádek do požadovaného tvaru. Opakovanou aplikací kroků 1 a 2 na zbylé řádky převedeme matici do požadovaného tvaru. □
IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory
26/53
Řešení soustavy lineárních rovnic
Postupujeme následovně:
D Zapíšeme soustavu pomocí rozšířené matice soustavy (A | b).
B Rozšířenou matici převedeme Gaussovou eliminací na matici (A' | b') ve schodovitém tvaru. Jelikož eliminace používá pouze elementární úpravy, reprezentuje výsledná rozšířená matice ekvivalentní soustavu lineárních rovnic.
B Z rozšířené matice {A! \ b') vyčteme kolik řešení má soustava rovnic. Rozlišujeme tři situace:
■ Matice {A' \ b') obsahuje řádek tvaru (0 0 ... 0 | /c), kde k je nenulové číslo. Tento řádek odpovídá rovnici 0 = k a soustava proto nemá řešení. V opačných případě soustava má řešení a nastává jeden z následujících případů.
■ Matice Af má v každém sloupci nějaký vedoucí prvek. Pak má soustava právě jedno řešení.
■ V matice Af existuje sloupec, ve kterém není vedoucí prvek. Pak má soustava nekonečně mnoho řešení.
B Řešení spočítáme pomocí tzv. zpětné substituce.
IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 27/53
Zpětná substituce
■ Nechť (Aí | b') je matice ve schodovitém tvaru neobsahující řádek tvaru (0 0 ... 0 | k) s nenulovým k.
■ Proměnné odpovídající sloupcům matice A! bez vedoucího prvku nahradíme parametrem. Tyto proměnné mohou nabývat libovolné hodnoty. Hodnoty ostatních proměnných jsou
v každém řešení závislé na konkrétních hodnotách parametrů.
■ Každý neprázdný řádek
(0 0 ... 0 ájj ^/(y+i) • • • díjnl ty)
převedeme na rovnici
Xj = —- • (£>■ - a-(y-+1)Xy+1 ... - a!inxn)
ij
a tyto rovnice postupně odspodu řešíme dosazením níže spočítaných hodnot a parametrů.
IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 28/53
Příklady
Příklad 1
2xi   -3x2 = 7
x-i +2x3  = 1
3*i   -3x2 +2x3  = 9
IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory
29/53
Příklady
Příklad 1
2xA   -3x2 =7 / 2 -3 O 7 \
X) +2x3  =  1 —>       1 O 2 1
3^   -3x2 +2x3  =  9 \ 3 -3 2 9 /
IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory
30/53
Příklad 1
2xi
X1
3*i
3x2
+2x3 3x2 +2x3
7 1
9
2	-3	0	7
1	0	2	1
3	-3	2	9
1	0	2	1
0	-3	-4	5
0	0	0	1
■ Uvedená soustava lineárních rovnic nemá řešení.
IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory
Příklady
Příklad 2
2x^   -3x2 = 7
x-i +2x3  = 1
3*i   -3x2 +2x3  = 8
IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory
32/53
Příklady
Příklad 2
2xí   -3x2 =7 / 2  -3  O  7 \
x! +2x3  =  1 —►1021
3*i   -3x2 +2x3  =  8 \ 3  -3  2  8 /
IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory
33/53
Příklady
Příklad 2
2xA -3x2
x-i +2x3
3xi   -3x2 +2x3
1    O 2
O -3 -4 OOO
7 1
8
2	-3	0	7
1	0	2	1
3	-3	2	8
IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory
34/53
Příklady
Příklad 2
2xA -3x2
x-i +2x3
3xi   -3x2 +2x3
1    O 2
O -3 -4 OOO
7 1
8
2	-3	0	7
1	0	2	1
3	-3	2	8
x1   =  1 - 2x3 *2  =  A(5 + 4x3)
IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory
35/53
Příklady
Příklad 2
2xA -3x2
x-i +2x3
3xi   -3x2 +2x3
1    O 2
O -3 -4 OOO
7 1
8
*1
*3
2	-3	0	7
1	0	2	1
3	-3	2	8
x1   =  1 - 2x3 *2  =  i(5 + 4x3)
1 -2ř 4,(5 + 4ř)
= ř
Řešením je tedy každá trojice (1 - 2t, ^g(5 + 4r), r), kde ř je libovolné.
To je totéž jako (ř, 2í=L, ^).
IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory
36/53
Příklady
Příklad 3
2xí   -3x2 = 7
+2x3 = 1 —>
3xi   +3x2  +2x3 = 14
IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory
37/53
Efektivita Gaussovy eliminace
■ Gaussova eliminační metoda je velmi efektivní při ručním řešení malých soustav rovnic i pro počítačové řešení větších soustav (stovky až tisíce rovnic).
■ Pro rozsáhlejší soustavy existují efektivnější algoritmy.
IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory
38/53
Geometrický význam lineárních rovnic
IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory
Lineární rovnice o dvou neznámých
Lineární rovnice o dvou neznámých má nekonečně mnoho řešení, které tvoří přímku v dvojrozměrném prostoru. Řešením x + 2y = 8 je každá dvojice tvaru (ř, 4 - |).
IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory
40/53
Soustava lineárních rovnice o dvou neznámých
Řešením soustavy lineárních rovnic o dvou neznámých je průnik odpovídajících přímek.
x + 2y = 8
IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory
41/53
Soustava lineárních rovnice o dvou neznámých
■ Řešením soustavy lineárních rovnic o dvou neznámých je průnik odpovídajících přímek.
■ x + 2y = 8
■ x + 2y = 10
IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 42/53
Soustava lineárních rovnice o dvou neznámých
Řešením soustavy lineárních rovnic o dvou neznámých je průnik odpovídajících přímek.
x + 2y = 8 x + 2y = 10
nema reseni
IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory
43/53
Soustava lineárních rovnice o dvou neznámých
Řešením soustavy lineárních rovnic o dvou neznámých je průnik odpovídajících přímek.
x + 2y = 8
IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory
44/53
Soustava lineárních rovnice o dvou neznámých
■ Řešením soustavy lineárních rovnic o dvou neznámých je průnik odpovídajících přímek.
■ x + 2y = 8
■ 2x - 3y = -
IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory
Soustava lineárních rovnice o dvou neznámých
Řešením soustavy lineárních rovnic o dvou neznámých je průnik odpovídajících přímek.
x + 2y = 8 2x - 3y = -3
má řešení (i^, ^)
IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory
46/53
Lineární rovnice o třech neznámých
■ Lineární rovnice o třech neznámých má nekonečně mnoho řešení, které tvoří rovinu v trojrozměrném prostoru.
■ Řešením 2x - 3y + Oz = 7 je každá trojice tvaru (ř, r).
IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory
votier
an\m soüsXa:Lrw row"-
ovv^c
vk odl**
2X
3y
S -3
sous^V
I^ch "ggiámých
P^'ZZtS^ -nic o tfech
^známých je
IB112
49/53
I^ch "ggiámých
P^'ZZtS^ -nic o tfech
^známých je
IB112
ZáWady maře-a%: Řešen
íso^avylineárnfc
C' mařlce, vektory
2x-x
3y
7
50/53
Soustava lineárních rovnic o třech neznámých
■ Řešením soustavy lineárních rovnic o třech neznámých je průnik odpovídajících rovin.
■ 2x-3y =7
■ x       +2z = 1
■ 3x+3y+2z=14
IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 51/53
Soustava lineárních rovnic o třech neznámých
■ Řešením soustavy lineárních rovnic o třech neznámých je průnik odpovídajících rovin.
2x -3y = 7 x +2z = 1 3x +3y +2z = 14
jediné řešení je (5,1,-2)
IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory
52/53
Soustava lineárních rovnic o třech neznámých
■ Všechna řešení soustavy lineárních rovnic o třech neznámých mohou tvořit:
■ rovinu (typicky pokud máme jednu rovnici)
■ přímku (typicky pokud máme dvě rovnice)
■ bod (typicky pokud máme tři rovnice)
■ Soustava také nemusí mít žádné řešení (typicky pokud máme více jak tři rovnice nebo pokud nějaké dvě rovnice odpovídají rovnoběžným rovinám).
IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory
53/53