IB112 Matematické základy_100 minut_16. června 2011
1. (15 bodů) Na množině všech celých čísel Z definujeme relace R a S pro všechna x, y G Z předpisy:
(x, y) G R    <í=4>    x2 — y2 je sudé
(x, y) G S    <í=>    x < \y\ a zároveň x ■ y > 0
Pro každou relaci rozhodněte, zda se jedná o ekvivalenci. Pokud se o ekvivalenci nejedná, zdůvodněte proč. Pokud se o ekvivalenci jedná, určete počet tříd rozkladu množiny Z podle této ekvivalence a tyto třídy popište.
2. (10 bodů) Vypište všechny reflexivní relace na množině {1, 2}.
3. (10 bodů) Zjistěte, jestli formule (b V c) => a logicky vyplývá z množiny formulí {-^b => a, a V c}.
4. (20 bodů) Vyřešte soustavu lineárních rovnic:
u + x + y + z+ 2 = -2x -2y + 2z-l
2u + 2x + 2y + 2z + 2 = -2u -2x + 6z
2u + x = 2z + í
u + Ax -2y - z = 2
5. (10 bodů) Kolika způsoby si mohou 4 chlapci rozdělit 10 jablek? (Pro jistotu poznamenejme, že každý chlapec je jiný, zatímco jednotlivá jablka od sebe neodlišujeme.)
6. (20 bodů) Provedli jsme průzkum kvality chrupu u zaměstnanců FI. Zaznamenávali jsme věk a počet zcela zdravých zubů (bez plomb). Naměřené výsledky ve formě dvojrozměrného datového souboru jsou následující:
/27	30\
54	22
48	26
34	27
62	12
40	31
52	24
\57	19/
Spočítejte aritmetický průměr a směrodatné odchylky obou měřených znaků. Dále spočítejte koeficient korelace.
7.
(15 bodů) Definujte pojmy graf, podgraf a izomorfismus grafů.
IB112 Matematické základy_27. června 2011
1. (15 bodů) Vyjmenujte a definujte vlastnosti, které musí splňovat binární relace R <Z A x A, aby byla uspořádáním.
2. (10 bodů) Nalezněte totální zobrazení /:Z —> Z, které bude surjektivní, ale nebude injektivní.
3. (10 bodů) K formuli (b V ->c) =>• a sestrojte ekvivalentní formuli v DNF a ekvivalentní formuli v CNF.
4. (20 bodů) Vyřešte soustavu lineárních rovnic:
3y — 7   =   2x + bz 3x + y   =   18 - Ay + 2z 3 + 3x + 13z   =   Ay — 6x
5. (10 bodů) Uvažme následující dva jevy při hodu dvěma kostkami.
jev A: "padne součet dělitelný pěti"
jev B: "alespoň na jedné z kostek padne čtyřka"
Určete pravděpodobnosti P (A), P(B), P(B\A).
6. (15 bodů) Provedli jsme průzkum atletických schopností studentů FI. Měřili jsme délku hodu oštěpem. Naměřené výsledky v metrech jsou následující:
30,15,24,29,18,6,20,15,13,24.
Určete modus, medián, aritmetický průměr a rozptyl.
7. (20 bodů) Najděte maximální tok v síti:
5 2
IB112 Matematické základy
1. července 2011
1. (15 bodů) Rozhodněte a zdůvodněte, zdaje následující relace ~ na množině přirozených číslech N reflexivní, symetrická, tranzitivní, antisymetrická či
2. (10 bodů) Definujte pojem částečné zobrazení
3. (10 bodů) Rozhodněte, zdaje predikátová formule (3x)(R(x, a) => R(a, x)) tautologií nebo zda je alespoň splnitelná. Svoji odpověď zdůvodněte.
4. (20 bodů) Vyřešte následující soustavu lineárních rovnic.
5. (10 bodů) Kolika různými způsoby můžeme seřadit do posloupnosti písmena slova POLITOLOGIE?
6. (15 bodů) Provedli jsme průzkum altetických schopností studentů FI: u každého studenta jsme měřili vysoký snožmo. Naměřené výsledky jsou následující:
úplná.
3x + y 2x + 5z 3 + 9x + 13 z
18 - Ay + 2z Ay
40,62,82,68,72, 57, 62, 78, 77, 70
Určete variční obor, rozpětí, medián a horní a dolní kvartil.
7,
(20 bodů) Spočítejte maximální tok v následující síti:
13