IB112 Matematické základy_100 minut_20. května 2014
1. (15 bodů) Na množině všech celých čísel Z definujeme relace R a S pro všechna x, y G Z předpisy:
(x,y)eR   ^   \x\ = \y\
(x, y) G S    <í=>    x ■ y < 20 nebo x = y
Pro každou relaci rozhodněte, zda se jedná o ekvivalenci. Pokud se o ekvivalenci nejedná, zdůvodněte proč. Pokud se o ekvivalenci jedná, určete počet tříd rozkladu množiny Z podle této ekvivalence a tyto třídy popište.
2. (10 bodu) Nalezněte uspořádání < na množině M = {1,2,3,4} tak, aby uspořádaná množina (M, <) měla právě 3 minimální a právě 2 maximální prvky.
3. (10 bodů) Nalezněte interpretace dokazující, že predikátová formule (\/x)(3y)(3z)(R(x, y) A —<R(x, z)) je splnitelná, ale není tautologií.
4. (20 bodů) Vyřešte soustavu lineárních rovnic s proměnnými x, y, z G R:
2x + 2y   =   10 - 3y 2z-3x + 4   = 16 6x + 3y + 6   = Az
5. (15 bodů) Hážeme třikrát kostkou. Uvažme následující jevy:
A: Součet čísel z prvních dvou hodů je 5.
B: Čísla z prvního, druhého a třetího hodu tvoří rostoucí posloupnost. Určete pravdpodobnosti P (A), P(B) a P(B\A).
6. (15 bodů) Provedli jsme průzkum spotřeby vína mezi zaměstnanci FI. Zjištěná konzumace v litrech za rok je následující:
54,29,5,0,33,15,21,0,25,13
Určete aritmetický průměr, rozptyl, medián a horní a dolní kvartil.
7. (15 bodů) Definujte pojmy graf, stupeň vrcholu grafu, a izomorfismus grafů.
IB112 Matematické základy_100 minut_4. června 2014
1. (15 bodů) Na množině {1, 2, 3,..., 8} definujeme relace R a S pro všechna x,y G {1,2,3, ...,8} předpisy:
(x, y) G R <í=> 2x < y nebo x = y (x, y) G S1    <í=>    x < 2y nebo x = y
Pro každou relaci rozhodnete, zda se jedná o uspořádání. Pokud se o uspořádání nejedná, zdůvodněte proč. Pokud se o uspořádání jedná, nakreslete odpovídající Hasseův diagram a určete nejmenší, největší, maximální a minimální prvky.
2. (10 bodů) Vypište všechny binární relace na množině {a, b}, které nejsou tranzitivní
3. (10 bodů) Definujte, kdy se výroková formule nazývá tautologie a kdy kontradikce.
4. (20 bodů) Vyřešte soustavu lineárních rovnic s proměnnými x, y, z G R:
Ax - z   = 12 z - 18   = 2y 2x   =   15 + y
5. (10 bodů) Mistrovství světa v hokeji hraje 16 týmů rozdělených do dvou osmičlenných skupin označených A a B. Do čtvrfinálových zápasů postoupí 4 nej lepší celky z každé skupiny. V každém ze čtyřech čtvrtfinálových zápasů se utká tým ze skupiny A s týmem ze skupiny B. Kolik různých podob může teoreticky mít čtvrfmálové kolo? (Podobou čtvrtfinálového kola zde rozumíme čtyři dvojice týmů, které proti sobě nastoupí k čtvrtfinálovým zápasům. Nerozlišujeme přitom, z jakých míst ve skupině týmy postoupily.)
6. (15 bodů) Provedli jsme průzkum docházky studentů FI, kteří si zapsali IB112, na přednášky. Naměřené výsledky značí počet přednášek, kterých se jednotliví studenti zúčastnili:
2,8,10,0,2,3,2,1,4,11
Určete variační obor, modus, aritmetický průměr, medián a horní a dolní kvartil.
7. (20 bodů) Uvažme následující graf:
w
/ I \
x-y-z
(a) Určete vrcholovou a hranovou souvislost tohoto grafu.
(b) Kolik různých koster má tento graf? Všechny kostry nakreslete.
(c) Kolik různých koster má uvedený graf, počítáme-li všechny izomorfní kostry jako jednu?
IB112 Matematické základy
100 minut
10. června 2014
1. (15 bodů) Vyjmenujte a definujte vlastnosti, které musí splňovat binární relace R <Z A x A, aby byla ekvivalencí
2. (10 bodů) Nalezněte totální zobrazení / : Z —>• N množiny celých čísel na množinu přirozených čísel, které bude surjektivní, ale nebude bijekcí.
3. (10 bodů) K formuli (a =>• b) =>•       =>• c) sestrojte ekvivalentní formuli v DNF a ekvivalentní formuli v CNF.
4. (20 bodů) Vyřešte soustavu lineárních rovnic s proměnnými x,y,z G R:
5. (10 bodů) V cukrárně mají 20 druhů zákusků (v dostatečném množství). Petr má z cukrárny na oslavu přinést balíček s pěti zákusky (ne nutně různými). Kolik různých balíčků splňujících zadání lze sestavit?
6. (15 bodů) Provedli jsme průzkum, kolik večerů týdně věnují studenti FI studiu. Zjištěné počty večerů jsou u jednotlivých studentů následující:
Sestavte tabulku rozložení četností (neboli variační řadu) a určete medián. 7. (20 bodů) Pro následující síť spočítejte tok s maximální možnou velikostí:
Ax — z z - 16 2x
12
15 +y
2,1,3,3,5,4,1,2,2,3,4,3,1
13
IB112 Matematické základy_100 minut_17. června 2014
1. (15 bodů) Na množině všech celých čísel Z definujeme relace R a S pro všechna x, y G Z předpisy:
(x, y) e R    <í=^>    |x| = \y\ nebo (|x| > 3 a \y\ > 3) (x, y) e S    ^=^>    x ■ y > 1
Pro každou relaci rozhodněte, zda se jedná o ekvivalenci. Pokud se o ekvivalenci nejedná, zdůvodněte proč. Pokud se o ekvivalenci jedná, určete počet tříd rozkladu množiny Z podle této ekvivalence a tyto třídy popište.
2. (10 bodu) Nalezněte uspořádání < na množině M = {1,2,3,4} tak, aby uspořádaná množina (M, <) měla nejmenší prvek a právě 2 maximální prvky.
3. (10 bodů) Zjistěte, jestli formule b => c logicky vypláva z množiny formulí {^a V c, -n(a Ac) 4 b}.
4. (20 bodů) Vyřešte soustavu lineárních rovnic s proměnnými x,y, z G M:
Ax — z = 16 z - 18   = 2y
x   =   16 + y
5. (15 bodů) Definujte fc-prvkovou variaci (bez opakování) na konečné množině M o n prvcích, kde 0 < k < n. Dále napište, jaký je počet všech fc-prvkových variací na množině M.
6. (15 bodů) Provedli jsme průzkum spotřeby piva mezi studenty FI. Zjištěná konzumace v litrech za rok je následující:
117,52,77,0,204,130,153,93,25,2
Určete aritmetický průměr, rozptyl, medián a horní a dolní kvartil.
7. (15 bodů) Pro následující síť spočítejte tok s maximální možnou velikostí:
2