Algebra II – jaro 2016 – 2. termín
Všechna svoje tvrzení precizně zdůvodněte.
1. (10 bodů) Popište svaz podalgeber algebry (N, ∗, µ), kde ∗ je binární operace
definovaná předpisem a∗b = |a−b|+2 pro všechna a, b ∈ N a µ je unární operace
definovaná předpisem
µ(a) =



a − 2 pro a sudé, a = 2,
2 pro a = 2,
a + 1 pro a liché.
2. (5 bodů) Rozhodněte, zda uspořádaná množina (L, ⊆), kde prvky L jsou právě
prázdná množina a čtverce p, p + r × q, q + r , kde p, q, r ∈ R, r > 0, je svaz.
3. (5 bodů) Rozhodněte, zda přidáním největšího a nejmenšího prvku k uspořádané
množině ({ ϕ ∈ RR
| ϕ je rostoucí na R }, ≤), kde pro ϕ, ψ: R → R je
ϕ ≤ ψ ⇐⇒ ∀r ∈ R: ϕ(r) ≤ ψ(r),
vznikne úplný svaz.
4. (5 bodů) Rozhodněte, zda uspořádaná množina (L, ⊆), kde prvky L jsou právě
množiny tvaru { N ⊆ N | B ⊆ N ⊆ C } pro nějaké množiny B, C ⊆ N, je algebraický
svaz.
5. (10 bodů) Rozhodněte, zda předpis ρ ∼ σ ⇐⇒ ρ ∩ ρ−1
= σ ∩ σ−1
definuje
kongruenci ∼ algebry (P(R × R), κ, ∩), kde κ je unární operace definovaná pro
relaci ρ ⊆ R × R předpisem κ(ρ) = ρ ◦ ρ.
6. (10 bodů) Uvažujme typ algeber sestávající z binárních operačních symbolů f,
g a h a nulárního operačního symbolu c. Rozhodněte, která z následujících identit
je splněna v algebře A s nosnou množinou P({0, 1}∗
) a s operacemi definovanými
pro libovolné jazyky L, M ⊆ {0, 1}∗
předpisy
fA
(L, M) = { v ∈ {0, 1}∗
| ∃u ∈ L: uv ∈ M },
gA
(L, M) = { u ∈ {0, 1}∗
| ∃v ∈ M : uv ∈ L },
hA
(L, M) = L · M,
cA
= {0, 1}∗
.
a) f(x, h(x, f(x, y))) = f(x, y),
b) g(x, f(c, x)) = g(x, c).
7. (15 bodů) Rozhodněte, na které z operátorů H, S a P je uzavřená třída všech
svazů, které buď nemají žádný prvek, nebo mají nejmenší prvek, ale nemají žádný
atom (tj. prvek pokrývající nejmenší prvek).