Algebra II – jaro 2017 – 2. termín
Všechna svoje tvrzení precizně zdůvodněte.
1. (10 bodů) Popište svaz podalgeber algebry (Z, ∗, κ), kde ∗ je binární operace
definovaná předpisem a ∗ b = a + 2b a κ je unární operace definovaná předpisem
κ(a) = a + 2.
2. (5 bodů) Uvažujme uspořádanou množinu, jejímiž prvky jsou třídy izomorfismu
konečných svazů, přičemž třída svazu K je menší nebo rovna třídě svazu L právě
tehdy, když K je homomorfním obrazem svazu L. Rozhodněte, zda tato uspořádaná
množina je svaz.
3. (5 bodů) Rozhodněte, zda uspořádaná množina ({ ρ ⊆ N × N | ρ ◦ ρ = ρ }, ⊆) je
úplný svaz.
4. (5 bodů) Rozhodněte, zda množina všech relací ekvivalence na N, jejichž každá
třída má nekonečně mnoho prvků nebo jediný prvek, uspořádaná inkluzí, je algebraický
svaz.
5. (10 bodů) Rozhodněte, zda předpis
ϕ ∼ ψ ⇐⇒ ∀r ∈ R∗
: inf ϕ−1
(r) = inf ψ−1
(r),
kde R∗
= R ∪ {−∞, ∞}, definuje kongruenci ∼ algebry ((R∗
)R∗
, κ, λ), kde κ a λ
jsou unární operace definované pro ϕ: R∗
→ R∗
a r ∈ R∗
předpisy κ(ϕ)(r) = ϕ(r2
)
a λ(ϕ)(r) = ϕ(r3
).
6. (10 bodů) Uvažujme typ algeber sestávající z binárních operačních symbolů f a g.
Rozhodněte, která z následujících identit je splněna v algebře A s nosnou množinou
P({a, b}∗
) a s operacemi definovanými pro libovolné jazyky K, L ⊆ {a, b}∗
předpisy
fA
(K, L) = { u ∈ {a, b}∗
| ∃v, w ∈ {a, b}∗
: uv ∈ K, uw ∈ L }
a gA
(K, L) = K · L.
a) f(g(x, x), g(x, y)) = g(x, f(x, y))
b) f(g(x, f(y, y)), z) = f(g(x, y), z).
7. (15 bodů) Rozhodněte, na které z operátorů H, S a P je uzavřená třída všech
monounárních algeber A, které mají buď nejvýše jeden prvek, nebo na nich existuje
kongruence ∼ různá od diagonály taková, že A/∼ ∼= A.