Zadání cvičení pro 1. týden: 19.-23.2.
Cílem cvičení je zvládat jednoduché přiklady na dělitelnost, Euklidův algoritmus
na hledání největšího společného dělitele a jeho použití na Bezautovu
rovnost.
V úvodu si připomeňte základní pravidla pro dělitelnost (viz před příkladem
10.1)
Příklad. 1. (viz příklad 10.2) Dokažte, že pro všechna celá čísla a platí:
1. a2
má zbytek 0 nebo 1 po dělení 4;
2. a2
má zbytek 0, 1 nebo 4 po dělení 8;
3. a4
má zbytek 0 nebo 1 po dělení 16.
Poznámka. Stačí využívat nejjednodušší popis sudých a lichých čísel.
Připomeňte si koncept největšího společného dělitele a nejmenšího společného
násobku (dvojice nebo více přirozených čísel).
Příklad. 2. Najděte největšího společného dělitele
(a) (227, 133),
(b) (3441, 2665).
Poznámka. Použijte Euklidův algoritmus, vyjde v obou případech 1.
Příklad. 3. (viz příklad 10.4) Nalezněte celá čísla x, y tak, aby 883x+487y = d,
kde d je největší společný dělitel koeficientů.
Poznámka. Použijte Euklidův algoritmus a Bezautovu rovnost. Spočtěte příklad
pro několik různých zadání (potřebná dvě čísla lze volit vcelku nahodile).
Příklad. 4. Najděte všechna přirozená n taková, že n − 1 dělí n3
+ 1.
Poznámka. Možná strategie spočívá v takových příkladech v hledání co nejbližších
čísel k n3
+ 1, které je n − 1 jistě dělitelné. Pak bude muset být dělitelný i
rozdíl.
Když zbude čas, přidejte obdobné příklady.
1