Zadání cvičení pro 3. týden: 5.3.-9.3.
Ve třetím týdnu se budeme věnovat zejména Eulerově větu a její speciálnímu
případu – malé Fermatově větě. Když bude čas, pracujte i s primitivními prvky
a úplnými i redukovanými soustavami zbytků.
Příklad. Vypočtěte ϕ(1000), ϕ(1001) (případně další, zejména malá čísla, kde
to jde i bez teorie).
Příklad. (10.21.iii)
Nalezněte všechna přirozená čísla m, pro něž je ϕ(m) = 20.
Poznámka. Opřete se o ϕ(m) = (p − 1)pk1
· · · a pravidla dělitelnosti.
Příklad. (10.21.iv)
Nalezněte všechna přirozená čísla m, pro něž je ϕ(m) = m
3 .
Poznámka. Vyjděte z toho, že je jistě m dělitelné třemi a ϕ je multiplikativní
pro nesoudělné argumenty.
Příklad. (10.24)
Určete poslední dvojčíslí čísla 72018
.
Poznámka. Příklad na Eulerovu větu a řády čísel.
Příklad. (10.26)
Určete zbytek po dělení čísla 250
+ 350
+ 450
číslem 17.
Poznámka. Opět na Eulerovu větu a řády čísel.
Příklad. (10.31)
Rozhodněte, pro která přirozená čísla n je číslo 5n
− 4n
− 3n
dělitelné jedenácti.
Poznámka. Zkoumejte řády čísel 5, 4, 3 a z toho vyplývající zbytky mod 11
pro mocniny mod 5.
Příklad. Najděte nejmenší (a případně i největší) primitivní kořen modulo 19.
Poznámka. Nejmenší je to dvojka, je třeba ověřit šestou a devátou mocninu ...
1