Zadání cvičení pro 4. týden: 12.3.-16.3.
Ve čtvrtém týdnu se budeme věnovat různým aspektům řešení (systémů)
kongruencí, včetně tzv. Čínské zbytkové věty a distribuované zbytkové aritmetice.
V případě potřeby ještě dokončete koncepty příklady z minula (primitivní
kořeny, redukované systémy zbytků). Důraz prozím dejte na nejjednodušší systémy
lineárních kongruencí, protože ty by se mohly objevit už ve vnitropísemce
příští pondělí 19.3.
Příklad. (první část 10.33)
Určete primitivní kořen modulo 41.
Poznámka. Analyzujte, které řády je skutečně třeba sledovat – zjistíte, že stačí
a je nutné, aby zároveň a8
i a20
nebyly kongruentní s jedničkou. Poprvé vyjde
u šestky.
Příklad. Spočtěte nějaké jednoduché lineárních kongruence, např. 130x ≡ 150
(mod 232).
Poznámka. Výsledek je x = 19 (mod 116). Řešte pomocí Bezouta i elementárními
úpravami s využitím 232 = 8 · 29.
Příklad. (10.36-8)
Vyřešte soustavy kongruencí
x ≡ 7 (mod 27)
x ≡ −3 (mod 11)
x ≡ 1 (mod 10)
x ≡ 5 (mod 18)
x ≡ −4 (mod 25)
Poznámka. Připomeňte čínskou zbytkovou větu a z ní plynoucí obecné řešení
pro po dvou nesoudělné moduly. Ukažte přímou metodu dosazování, fungující
vždy.
Příklad. (10.42)
Řešte kongruenci 23 941x ≡ 915 (mod 3564).
Poznámka. Uveďte jako příklad poukazující na distribuovanou modulární aritmetiku,
ke které se vrátíme ještě příště. (Určitě teď nebude v písemce.)
1