Najděte vytvořující funkci a explicitní vyjádření pro n-tý člen posloupnosti {an} defi-ované rekurentním vztahem
<2o = 1,     = 2
an = 4an_i — 3an_2 + 1 pro n > 2
Řešeni. Doplňme a_i = a_2 = 0 a rozepišme podrobně druhou rovnici pro případ n = 1, n = 0:
<2i = 4ao — 3a_i + 1 — 2 ao = 4a_i — 3a_2 + 1 + 0
Dohromady tak můžeme psát pro n > 0 jedinou formulku
an = 4an_i — 3an_2 + 1 — 2 • [n = 1] + 0 • [n = 0].
Tu nyní vynásobíme xn a sečteme přes všechna n = 0,1,..., čímž dostaneme:
oo oo
anxn = J](4an_i - 3an_2 + 1 - 2 • [n = 1] + 0 • [n = 0]) • xn
n=0 n=0
oo oo oo
= ^2 ^an-ixn - ^2 3an-2xa + ^ x11 - 2x + 0
n=0 n=0 n=0
00 OO ^
= 4x     an_ixn_1 - 3x2 ^ an-2xn~2 H---2x.
1 — x
n=0 n=0
Označíme f(x) vytvořující funkci posloupnosti {an}, tj.
oo oo oo
f(x) =      anxn =      an-\Xa 1 = y^ an_2Zn 2
n=0 n=0 n=0
(tady se hodí, že a_i = a_2 = 0, jinak by v těch posledních dvou výrazech byly členy navíc). Tím se rovnice přepíše na
1
f(x) = 4xf(x) - 3x2f(x) H---2x.
1 — x
Převedením výrazů obsahujících f(x) na levou stranu a vytknutím dostaneme
(1 -Ax + 3x2)f(x) =--2x
1 — x
neboli
. ,.       , „,     1    2iř/ I 2iř/
1 _ 3i  1 - x / x =---
1 — x
Podělením výrazem u f (x) pak dostáváme
_    l-2x + 2x2 }{X) ~ (l-x)2(l-3x)'
Rozklad na parciální zlomky dá
/(*) = 3/4 • -I— - 1/2 • —-1— + 3/4 • —L-
1 — x (1 — x)"1 1 — ÓX
a rozvinutím do mocninné řady pomocí zobecněné binomické věty (pro záporné exponenty)1
m - 3/4 • E (»)    - 1/2 • E (» I ^ *» + 3/4 . S (;) g
3"i"
Celkový koeficient u xn, tj. n-tý člen posloupnosti an, tedy je
a. = 3/4.(j)-l/2.(" + 1)+3/4.(^V
3/4 - 1/2 • (n + 1) + 3/4 • 3n. □