IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček Obsah ■ Soustava lineárních rovnic ■ Vektor a matice ■ násobení matic ■ maticový zápis soustavy lineárních rovnic ■ schodovitý tvar ■ Řešení soustavy lineárních rovnic ■ Gaussova eliminace ■ zpětná substituce ■ Geometrický význam lineárních rovnic ■ s dvěma neznámými ■ s třemi neznámými IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Soustava lineárních rovnic IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Lineární rovnice Definice (Lineární rovnice) Lineární rovnicí o n neznámých x-i, x2,..., xn rozumíme rovnici tvaru a^xA + a2x2 + ... + anxn = b, kde a-i, a2,..., an jsou koeficienty a b je absolutní člen. Příklad ■ x + 3 = 2y - 4 —> x - 2y = -7 ■ lze chápat i jako rovnici nad 3 neznámými: x - 2y + Oz = -7 IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 4/53 Soustava lineárních rovnic Definice (Soustava lineárních rovnic) Je-li dáno m rovnic o n neznámých x-i, x2,..., xn, hovoříme o soustavě lineárních rovnic nebo systému lineárních rovnic. anx1 + a12x2 + ... + a1nxn = fy cŽ2-|X| + a22^2 + ••• + ^2n^n — ^2 ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ *1 + 3m2x2 + • • • + dmnXn — bm Řešením soustavy rozumíme n-tici čísel , l/2, ..., un), po jejichž dosazení za proměnné (x1, x2,..., xn) se levá strana každé rovnice vyhodnotí na odpovídající pravou stranu. IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 5/53 Motivační príklad 1 Příklad 2x -3y = 7 x +2z = 1 3x +3y +2z = 14 IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 6/53 Motivační príklad 1 Příklad 2x -3y = 7 x +2z = 1 3x +3y +2z = 14 Řešení ■ Soustava má jediné řešení (5,1, -2). ■ Jinak zapsáno: x = 5, y = 1, z = -2 IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 7/53 Motivační príklad 2 Příklad „ 2x -3y = 7 x +2z = 1 3x -3y +2z = 8 IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 8/53 Motivační príklad 2 Příklad 2x -3y = 7 x +2z = 1 3x -3y +2z = 8 Řešení ■ Soustava má řešení (5,1, -2). ■ Existují další řešení: (-1,-3,1), (2,-1,-1), (11,5,-5), ... IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 9/53 Motivační príklad 2 Příklad 2x -3y = 7 x +2z = 1 3x -3y +2z = 8 Řešení ■ Soustava má řešení (5,1, -2). ■ Existují další řešení: (-1, -3,1), (2, -1, -\), (11,5, -5), ... ■ Řešením je každá trojice (ř, kde ř je libovolné. ■ Řešení je tedy nekonečně mnoho. ■ Tato situace obvykle nastává, je-li rovnic méně než proměnných (v tomto příkladu třetí rovnice nepřidává žádnou informaci, je pouze součtem prvních dvou rovnic). IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 10/53 Motivační príklad 3 Příklad „ 2x -3y = 7 x +2z = 1 3x -3y +2z = 9 IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 11/53 Motivační príklad 3 Příklad n n 2x -3y = 7 x +2z = 1 3x -3y +2z = 9 Rešení ■ Neexistuje žádné řešení: součtem prvních dvou rovnic dostáváme 3x - 3y + 2z = 8, což odporuje třetí rovnici. IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 12/53 Vyřešení a ekvivalence soustavy rovnic ■ Vyřešením soustavy rovnic rozumíme nalezení všech řešení. ■ Obvyklým postupem je převod soustavy na jednodušší soustavu se stejnou množinou řešení. Definice (Ekvivalence soustav lineárních rovnic) Soustavy lineárních rovnic se nazývají ekvivalentní, mají-li stejnou množinu řešení IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 13/53 Úpravy soustavy Následujícími úpravami získáme vždy ekvivalentní soustavu lineárních rovnic: D výměna libovolných dvou rovnic soustavy B vynásobení obou stran libovolné rovnice nenulovým číslem c B přičtení c-násobku Mé rovnice k /-té rovnici (/ ^ j) Každá z uvedených úprav je vratná. Původní soustavu dostaneme: D opakováním výměny rovnic B vynásobením stejné rovnice číslem ± B k /-té rovnici přičteme (-c)-násobek /-té rovnice IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 14/53 Poznámky k úpravám soustavy Obecně nelze kombinovat více úprav v jednom kroku (mohlo by to vést k neekvivalentní soustavě rovnic): 2x -3y = 7 x +2z = 1 3x +3y +2z = 14 Současným přičtením 2. rovnice k 3. a 3. rovnice k 2. dostaneme: 2x -3y = 7 4x +3y +4z = 15 4x +3y +4z = 15 Tato soustava není ekvivalentní: původní soustava má jedno řešení, upravená soustava jich má nekonečně mnoho. IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 15/53 Vektory a matice IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Vektory Definice (Vektor) Vektor je uspořádaná n-tice prvků. Vektor se zapisuje do řádku či do sloupce jedním z následujících způsobů (vpravo jsou sloupcové vektory) -3 . 2 (x1,x2,x3) (x, x2 x3) \ 8 (-3,2,8) (-3 2 8) Vektory stejného typu lze sčítat po složkách: (-3,2,8)+ (5,-5,0) = (2,-3,8) Násobení vektoru číslem: 5(-3,2,8) = (-15,10,40) IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 17/53 Matice Definice (Matice) Maticí typu m/n rozumíme obdélníkové schéma. A = (a-n ai2 • ^21 ^22 • • ^2n \änľ\ &m2 • • • dmnj ■ Zápis >A = (a,y) znamená, že prvky matice /4 označujeme jmény tvaru a,v dle uvedeného schématu. IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 18/53 Součin matic Definice (Součin matic) Součinem matic A = (a,y) typu m/n a B = (bjk) typu n/o je matice C = (c/zc) řypí/ at?/o splňující n Cik = ^ 3,y • Ďy/c-7=1 Příklad 1 -2 -2 -2 1 0 0 \2 0 -3/ IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 19/53 Součin matic Definice (Součin matic) Součinem matic A = (a,y) typu m/n a B = (bjk) typu n/o je matice C = (c/zc) řypí/ at?/o splňující n Cik = ^ 3,y • Ďy/c-7=1 Příklad 1 -2 -2 -2 1 0 0 \2 0 -3/ IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 20/53 Maticový zápis soustavy lineárních rovnic Soustavu lineárních rovnic a^x^ + a12x2 + c*21^1 + c*22^2 + + &\ n*n ^2nxn b2 x\ + 3m2x2 + • • • + dmnxn — b m lze zapsat pomocí matic následovně: /a-n a-12 ... a-in\ ^21 ^22 32n X2 \3mJ\ &m2 • • • 3mn / \xnJ b2 \bmj Označíme-li matici a vektory pořade A, x, b, dostáváme rovnici A ■ x = b. IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 21/53 Maticový zápis soustavy lineárních rovnic Soustavu lineárních rovnic lze ještě úsporněji reprezentovat tzv. rozšířenou maticí soustavy: (A | b) = ( au ^21 a-12 ^22 3-IA7 ^2A7 b2 Příklad 2x -3y = 7 x +2z = 1 3x +3y +2z = 14 2 -3 0 7 1 0 2 1 3 3 2 14 IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 22/53 Schodovitý tvar matice Definice (Schodový tvar matice) Vedoucí prvek i-tého řádku matice je nejlevější nenulový prvek na i-tém řádku (nulový řádek nemá vedoucí prvek). Matice je v (řádkově) schodovitém tvaru, jestliže D za nulovým řádkem následují už jen nulové řádky a B vedoucí prvek v každém nenulovém řádku je v pravějším sloupci než vedoucí prvky všech předcházejících řádků. Příklad í° o o Vo 2 0 0 0 -3 17 0 0 0 3\ 1 4 0 3 0 oj í2 0 0 Vo -3 17 0 0 0 3\ 1 4 0 3 0 A) l2 0 0 Vo -3 17 0 0 0 3\ 1 4 0 0 0 3/ ■ Vedoucí prvky jsou červené. ■ Pouze matice vlevo je ve schodovitém tvaru. IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 23/53 Řešení soustavy lineárních rovnic IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Elementární řádkové transformace matic Dříve zmíněné úpravy soustavy lineárních rovnic, které zachovávají ekvivalenci, přesně odpovídají následujícím elementárním řádkovým transformacím provedeným na rozšířené matici soustavy. Definice (Elementární řádkové transformace) Elementární řádkové transformace matic jsou O výměna dvou řádků matice, B vynásobení jednoho řádku nenulovým číslem, B přičtení násobku některého řádku k jinému řádku. IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 25/53 Gaussova eliminace Věta (Gaussova eliminace) Každou matici lze pomocí konečně mnoha elementárních řádkových úprav převést na řádkově schodovitý tvar. Důkaz Převod do schodovitého tvaru lze provést následujícím algoritmem. D Nechť y-tý sloupec je nejlevější nenulový sloupec matice. Vyměníme řádky tak, aby na prvním řádku byl v y-tém sloupci nenulový prvek a1y-. B K ostatním řádkům, které mají v tomto sloupci nenulový prvek a,y přičteme (-Jjp-násobek prvního řádku. Tím vynulujeme celý y-tý sloupec až na a1y. Q Tím jsme dostali první řádek do požadovaného tvaru. Opakovanou aplikací kroků 1 a 2 na zbylé řádky převedeme matici do požadovaného tvaru. □ IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 26/53 Řešení soustavy lineárních rovnic Postupujeme následovně: D Zapíšeme soustavu pomocí rozšířené matice soustavy (A | b). B Rozšířenou matici převedeme Gaussovou eliminací na matici (Aí | b') ve schodovitém tvaru. Jelikož eliminace používá pouze elementární úpravy, reprezentuje výsledná rozšířená matice ekvivalentní soustavu lineárních rovnic. Q Z rozšířené matice {A! \ b') vyčteme kolik řešení má soustava rovnic. Rozlišujeme tři situace: ■ Matice {A' \ b') obsahuje řádek tvaru (0 0 ... 0 | /c), kde k je nenulové číslo. Tento řádek odpovídá rovnici 0 = k a soustava proto nemá řešení. V opačných případě soustava má řešení a nastává jeden z následujících případů. ■ Matice Af má v každém sloupci nějaký vedoucí prvek. Pak má soustava právě jedno řešení. ■ V matice Af existuje sloupec, ve kterém není vedoucí prvek. Pak má soustava nekonečně mnoho řešení. B Řešení spočítáme pomocí tzv. zpětné substituce. IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 27/53 Zpětná substituce ■ Nechť (Aí | b') je matice ve schodovitém tvaru neobsahující řádek tvaru (0 0 ... 0 | k) s nenulovým k. ■ Proměnné odpovídající sloupcům matice A! bez vedoucího prvku nahradíme parametrem. Tyto proměnné mohou nabývat libovolné hodnoty. Hodnoty ostatních proměnných jsou v každém řešení závislé na konkrétních hodnotách parametrů. ■ Každý neprázdný řádek (0 0 ... 0 ájj ^/(y+i) • • • díjnl ty) převedeme na rovnici Xj = —- • (£>■ - a-(y-+1)Xy+1 ... - a!inxn) ij a tyto rovnice postupně odspodu řešíme dosazením níže spočítaných hodnot a parametrů. IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 28/53 Příklady Příklad 1 2xi -3x2 = 7 x-i +2x3 = 1 3*i -3x2 +2x3 = 9 IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 29/53 Příklady Příklad 1 2xA -3x2 =7 / 2 -3 O 7 \ X) +2x3 = 1 —> 1 O 2 1 3^ -3x2 +2x3 = 9 \ 3 -3 2 9 / IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 30/53 Příklad 1 2xi x1 3*i 3x2 +2x3 3x2 +2x3 7 1 9 2 -3 0 7 1 0 2 1 3 -3 2 9 1 0 2 1 0 -3 -4 5 0 0 0 1 ■ Uvedená soustava lineárních rovnic nemá řešení. IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Příklady Příklad 2 2x^ -3x2 = 7 x-i +2x3 = 1 3*i -3x2 +2x3 = 8 IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 32/53 Příklady Příklad 2 2xí -3x2 =7 / 2 -3 O 7 \ x! +2x3 = 1 —►1021 3*i -3x2 +2x3 = 8 \ 3 -3 2 8 / IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 33/53 Příklady Příklad 2 2xA -3x2 x-i +2x3 3xi -3x2 +2x3 1 O 2 O -3 -4 OOO 7 1 8 2 -3 0 7 1 0 2 1 3 -3 2 8 IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 34/53 Příklady Příklad 2 2xA -3x2 x-i +2x3 3xi -3x2 +2x3 1 O 2 O -3 -4 OOO 7 1 8 2 -3 0 7 1 0 2 1 3 -3 2 8 x1 = 1 - 2x3 *2 = A(5 + 4x3) IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 35/53 Příklady Příklad 2 2xA -3x2 x-i +2x3 3xi -3x2 +2x3 1 O 2 O -3 -4 OOO 7 1 8 *1 *3 2 -3 0 7 1 0 2 1 3 -3 2 8 x1 = 1 - 2x3 *2 = i(5 + 4x3) 1 -2ř 4,(5 + 4ř) = ř Řešením je tedy každá trojice (1 - 2t, ^g(5 + 4ř), ř), kde t je libovolné. To je totéž jako (ř, 2í=L, ^). IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 36/53 Příklady Příklad 3 2xí -3x2 = 7 +2x3 = 1 —> 3xi +3x2 +2x3 = 14 IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 37/53 Efektivita Gaussovy eliminace ■ Gaussova eliminační metoda je velmi efektivní při ručním řešení malých soustav rovnic i pro počítačové řešení větších soustav (stovky až tisíce rovnic). ■ Pro rozsáhlejší soustavy existují efektivnější algoritmy. IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 38/53 Geometrický význam lineárních rovnic IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Lineární rovnice o dvou neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých má nekonečně mnoho řešení, které tvoří přímku v dvojrozměrném prostoru. Řešením x + 2y = 8 je každá dvojice tvaru (ř, 4 - |). IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 40/53 Soustava lineárních rovnice o dvou neznámých Řešením soustavy lineárních rovnic o dvou neznámých je průnik odpovídajících přímek. x + 2y = 8 IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 41/53 Soustava lineárních rovnice o dvou neznámých ■ Řešením soustavy lineárních rovnic o dvou neznámých je průnik odpovídajících přímek. ■ x + 2y = 8 ■ x + 2y = 10 IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 42/53 Soustava lineárních rovnice o dvou neznámých Řešením soustavy lineárních rovnic o dvou neznámých je průnik odpovídajících přímek. x + 2y = 8 x + 2y = 10 nema reseni IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 43/53 Soustava lineárních rovnice o dvou neznámých Řešením soustavy lineárních rovnic o dvou neznámých je průnik odpovídajících přímek. x + 2y = 8 IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 44/53 Soustava lineárních rovnice o dvou neznámých ■ Řešením soustavy lineárních rovnic o dvou neznámých je průnik odpovídajících přímek. ■ x + 2y = 8 ■ 2x - 3y = - IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Soustava lineárních rovnice o dvou neznámých Řešením soustavy lineárních rovnic o dvou neznámých je průnik odpovídajících přímek. x + 2y = 8 2x - 3y = -3 má řešení (i^, ^) IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 46/53 Lineární rovnice o třech neznámých ■ Lineární rovnice o třech neznámých má nekonečně mnoho řešení, které tvoří rovinu v trojrozměrném prostoru. ■ Řešením 2x - 3y + Oz = 7 je každá trojice tvaru (ř, r). IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory votier an\m soüsXa:Lrw row"- vk odl** 2X 3y S -3 sous^V I^ch "ggiámých P^'ZZtS^ -nic o tfech ^známých je IB112 49/53 I^ch "ggiámých P^'ZZtS^ -nic o tfech ^známých je IB112 ZáWady maře-a%: Řešen íso^avylineárnfc C' mařlce, vektory 2x-x 3y 7 50/53 Soustava lineárních rovnic o třech neznámých ■ Řešením soustavy lineárních rovnic o třech neznámých je průnik odpovídajících rovin. ■ 2x-3y =7 ■ x +2z = 1 ■ 3x+3y+2z=14 IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 51/53 Soustava lineárních rovnic o třech neznámých ■ Řešením soustavy lineárních rovnic o třech neznámých je průnik odpovídajících rovin. 2x -3y = 7 x +2z = 1 3x +3y +2z = 14 jediné řešení je (5,1,-2) IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 52/53 Soustava lineárních rovnic o třech neznámých ■ Všechna řešení soustavy lineárních rovnic o třech neznámých mohou tvořit: ■ rovinu (typicky pokud máme jednu rovnici) ■ přímku (typicky pokud máme dvě rovnice) ■ bod (typicky pokud máme tři rovnice) ■ Soustava také nemusí mít žádné řešení (typicky pokud máme více jak tři rovnice nebo pokud nějaké dvě rovnice odpovídají rovnoběžným rovinám). IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 53/53