IB112 Matematické základy_100 minut_24. května 2012
1. (15 bodů) Na množině všech celých čísel Z definujeme relace R a S pro všechna x, y G Z předpisy:
(x,y) E R    <í=4>    x ■ y > 0
(x, y) G S1    <í=>    x • y > 0 nebo x = y = 0
Pro každou relaci rozhodněte, zda se jedná o ekvivalenci. Pokud se o ekvivalenci nejedná, zdůvodněte proč. Pokud se o ekvivalenci jedná, určete počet tříd rozkladu množiny Z podle této ekvivalence a tyto třídy popište.
2. (10 bodů) Definujte pojmy zobrazení & surjektivní zobrazení.
3. (10 bodů) Nalezněte interpretace dokazující, že predikátová formule (\/x)(3y)(R(x,y) A —<R(y,x)) je splnitelná, ale není tautologií.
4. (20 bodů) Vyřešte soustavu lineárních rovnic:
v + y + z   =   1 + w 2v + w + y + z   = 6 í+v + y + 2z   = 2w
5. (10 bodů) Ke zkoušce na vysoké škole dostali studenti seznam 30 otázek. Tři z nich si každý student na začátku zkoušky vylosuje. Karel se 5 otázek nestihl naučit. Jaká je pravděpodobnost, že si u zkoušky vylosuje pouze otázky, které zná?
6. (15 bodů) Provedli jsme průzkum atletických schopností studentů FI. Měřili jsme délku hodu diskem. Naměřené výsledky v metrech jsou následující:
30,25,24,26,18,6,20,25,13,24
Určete variační obor a rozpětí datového souboru. Dále uveďte medián, aritmetický průměr a rozptyl.
7. (20 bodů) Najděte maximální tok v síti:
6 2
IB112 Matematické základy_100 minut_19. června 2012
1. (15 bodů) Na množině {1, 2, 3,..., 7} definujeme relace R a S pro všechna x, y e {í, 2, 3,..., 7} předpisy:
(x, y) E R    <í=>    x < y a (x je sudé nebo x = y) (x, y) G S1    <í=>    x < y a x je sudé
Pro každou relaci rozhodnete, zda se jedná o uspořádání. Pokud se o uspořádání nejedná, zdůvodněte proč. Pokud se o uspořádání jedná, nakreslete odpovídající Hasseův diagram.
2. (10 bodu) Nalezněte totální zobrazení f:Z —> N, které bude prosté, ale nebude bijekcí.
3. (10 bodů) K formuli (b =>• ->a) =>• c sestrojte ekvivalentní formuli v DNF a ekvivalentní formuli v CNF.
4. (20 bodů) Vyřešte soustavu lineárních rovnic:
3x + 2y   =   19 + 7 z 3x + 2z + 10   =   4y + 5x
3x - 10   = í-ÍOy-z
5. (10 bodů) Kolika způsoby se může 20 studentů rozdělit do čtyřčlenných týmů?
6. (20 bodů) Provedli jsme průzkum publikační činnosti u doktorských studentů FI. Zaznamenávali jsme počet odstudovaných semestrů a počet publikací. Naměřené výsledky ve formě dvojrozměrného datového souboru jsou následující:
í3	2\
4	6
5	11
1	4
7	6
7	13
3	3
5	5
6	28
\5	12/
Spočítejte aritmetický průměr a směrodatné odchylky obou měřených znaků. Dále spočítejte koeficient korelace.
7. (15 bodů) Definujte pojmy tok v síti (G, z,s,w) a velikost toku.
IB112 Matematické základy_100 minut_27. června 2012
1. (15 bodů) Na množině všech celých čísel N definujeme relace R a S pro všechna x, y G N předpisy:
(x, y) E R    <í=>    x = y nebo y = 0
(x, y) G S1    <í=>    x = y nebo y = 0 nebo y = 1
Pro každou relaci rozhodněte, zda se jedná o uspořádání. Pokud se o uspořádání nejedná, zdůvodněte proč. Pokud se o uspořádání jedná, určete nejmenší, největší, maximální a minimální prvky množiny N s tímto uspořádáním.
2. (10 bodů) Definujte pojem rozklad 1Z množiny A.
3. (10 bodů) Zjistěte, jestli formule b V c logicky vyplývá z množiny formulí {^(a A b), -n(a A c) => b}.
4. (20 bodů) Vyřešte následující soustavu lineárních rovnic.
3x + 2y   =   19 + 7z 3x + 2z + 10   =   4y + 5x 3x + 2y + 5   =   5z + x + 7y
5. (10 bodů) Uvažme následující dva jevy při hodu dvěma kostkami.
jev A: "padne součet dělitelný třemi" jev B: "padne součet alespoň 8"
Určete pravděpodobnosti P (A), P(B), P(B\A).
6. (15 bodů) Provedli jsme průzkum hmotnosti zavazadel studentů studentů FI. Naměřené výsledky jsou v kilogramech:
4,5,1,6,3,4,15,3,7,2,5,9,4,12
Určete variační obor, rozpětí, modus, medián a horní a dolní kvartil.
7. (20 bodů) Uvažme následující graf:
(a) Určete vrcholovou a hranovou souvislost tohoto grafu.
(b) Kolik různých koster má tento graf? Všechny kostry nakreslete.
(c) Kolik různých koster má uvedený graf, počítáme-li všechny izomorfní kostry jako jednu?