1 Transformace integrálu Příklad 1. xe x dx dy = 2x dx e v dy Nechť p je taková funkce, že p' je spojitá a nenulová na intervalu [a, b]. Obecně dostáváme vzorec: f(x) dx ip(a) X = lf(ť) dx = p'(t) dt f(p(t))-p'(t)dt to odpovídá Příklad 2. dx = dx = ií 2 dí 1 dt=± Označme J = [a, 6], pak platí /(x)dx= / /(^(í)).|^'(í)|dí. Ji Proč absolutní hodnota? Protože neměníme orientaci na intervalu I (neuvažjeme integrál od b do a). x dx dy B(0,r) x = p cos ip y = p sin ip o Jo p cos p det / cos losiny p cos p p —psiny dpdp o Jo p2 cos Nechť F(a, b) = (g(a, b), h(a, b)) je regulární zobrazení, pak f(x,y)dxdy = // f{g{a,b),h{a,b)) F(A) JJA det 9a 9b h„ hh da db. 2 Transformace náhodné veličiny Nechť Y = h(X), kde h je bijekce. Pak platí: FY(y) = P{{uo e n I Y (u) < y}) = =P({lj G n I h(X) < y}) = =P({uj e n I X e /i-^-oo.y)}) /x(x)dx = h-1(-oo,i/) " fx(h(t))-\h'(t)\dt Odtud /y(2/)=/x(A-1(2/))-|/í'(2/)|. Co kdy h není bijekce? Uvažme například transformaci Y = X2. FY(y) = P(Y 0 y<0 3 Transformace náhodných vektorů Je-li h regulární a prosté zobrazení s jakobiánem Jh, pak podobně jako výše máme pro Y = h(X). Označme M = n"i(-°°,Z/i),pak Fy(y) = í /x(x)dx = í fxih-1^)) ■ |Jh(x)|dx Jh-1(M) JM Odtud fY(y) = fx(h-1(y))-\Jh(y)\. Zejména pro Y = a + B ■ X, kde B je regulární matice 1 fY(y) = fx(B-1(y-a)) \detB\ Jaké má toto využití? Příklad 3. Vyjádřete hustotu náhodné veličiny Y = Xi + X2 v závislosti na hustotách fx1 a fx2 Řešení. Položme Y = Y\ a uvažme transformaci YA= 1 l\Xl Y2 lo 1 \X2 tj. Yx = Xx + X2, Y2 = X2. Přitom det(o i) = 1 " (o 0 =G i1 Odtud /y(2/1,2/2) = íxivi - 2/2,2/2) chceme hustotu pro Y\, proto marginalizujeme: /oo /x(2/i - 2/2,2/2)^2 -OO Jsou-li dále Xi, X2 nezávislé náhodné veličiny, pak f- 00 /n (2/1) = / ÍXr (2/1 - 2/2) • /x2 (2/2) dy2 4 Transformace normálního rozdělení 4.1 Jednorozměrný případ Připomeňme hustotu normálního rozdělení X ~ ./V (/z, er2) 1 _1( JJ-M \2 Uvažme transformaci y = a + bX, pak M2/) = fx i'—) ~ = 1 • e"4 (^")2 = 1 • e-H-^)2 Jylyj J X\ b J \b\ y/toa.\b\ y/2ía.\b\ Tedy Y ~ iV(a + b2a2). Zejména pro U = dostáváme standardizované normální rozdělení. □ 4.2 Vícerozměrný případ Necht X ~ N(n, £). Hustota vícerozměrného normálního rozdělení je tvaru: /(x) = (2tt)-í • (detE)-* • e-Í(«-M)T-s-1-(x-M)j kde /i je tentokrát vektor středních hodnot, S je kovarianční matice (zejména je symetrická a pozitivně definitní). Uvažme nyní transformaci Y = a + BX. fY(y) = fx(B-1(y-a)) 1 detS| = (27t)-* -(detE)-5 .e-HB-^y-^-^-s-.^-Hy-^-^idets-ii = = (2tt)-í -(detE)-í . idetBr1 ■e-*(B_lB(B_1(y-a)-'1»T-s"1-(B"lB(B"1(y-a)-'1» = = (2^)-f .|detS|-3 .(detS)-^ .|detS|-3 .e-|(y---^))T-(B-ir-s-1.B-1.(y-a-BM) = (27t)-S • (detSSS)-5 .e-^(y-(a+B/1))T-(BSBr)-1.(y-(a+BM)) = Tedy Y ~ AT (a + B/i, BY,BT). Všimněme si, že pokud X\,..., Xn jsou nezávislé, pak £ je diagonální matice. Dále pro libovolnou kovarianční matici £ platí, že existuje matice B taková, že BY,BT je diagonální. Víme, že nulová kovariance neznamená nezávislost (korelace vyjadřuje míru lineární závislosti, jiný typ závislosti může nastat i u nulové korelace). Nicméně mají-li dvě normálně rozdělené náhodné proměnné X\, X2 nulovou kovarianci, pak je £ diagonální a platí fx1,x2(xi,x2) = fXl(xi) ■ íx2{x2), což ale znamená, že X\ a X2 jsou nezávislé. Tedy dvě normálně rozdělené náhodné proměnné jsou nezávislé právě tehdy, když mají nulovou kovarianci (tj. jsou lineárně nezávislé). Jsou-li Xi,..., Xn nezávislé, B je ortonormální matice (tj. B ■ BT = I) a Y = BX, pak také Y\,... ,Yn jsou nezávislé. 5 Gamma a Beta funkce Definice. Pro x > 0 definujeme í-OO T(x) = / ť*-1 ■ e_ť dt. Jo Dále pro x > 0 a y > 0 definujeme B(x,y)= f ť*-1 ■ (1 - í)"-1 dí. Jo Gamma funkce se definuje pro z e C \ {0, — 1,... } jako holomorfní rozšíření integrálu výše. Beta funkce se definuje, pokud reálné části obou proměnných jsou kladné. Věta 1 (Vlastnosti Gamma a Beta funkcí). 1. r(x + l) = x-T(x) 2. r(i) = 1 3. B(x,y) = B(y,x) 4. B(x,y) = ^ 5. r(i) = V¥ Důkaz. 1. Per partes: T (x + 1) = f™ tx ■ e"* dŕ = [-tx ■ e-*]g° + x ■ J0°° ŕ*"1 • e"* dŕ = x ■ T (x) 2. T(l) = /0°° í1-1 • e-* dí = /0°° e-* dí = [-e-ť]§° = O - (-1) = 1 3. Substituce r = 1 — í S (x, y) = /jf"1 • (1 -ŕ^-Mŕ = -J°(l-r)x~1 -r^dr = Q r^x ■ (1 - r)*"1 dr = B(y,x). 4. T(x) ■ T(y) = /0°° í-1 • e-* dí • /0°° r^ ■ e~* dr = /0°° /0°° ^rV^er^ dt dr = ^ j fc) = = Jo°° /o1^)1-1 Wl - 6))5/_1e-°| - a| dĎda = Ír"-1 • (1 - b)""1 db • J0°° aa:+»-1e-0da = = B(x,y) ■ T (x + y) 5. r(i)* = r(i) = /í ^db = \x = b-I| = = y== = |» = 2x1 = ri dL = i siníi = r f coBt-dt = rí cost dí = J_1 V^ä5 Vl-Sin2t J-f lcos*l □ 6 x2 rozdelení a studentovo rozdělení Definice (x2 rozdělení). Řekneme, že náhodná veličina X má %2 rozdělení s n > 0 stupni volnosti, pokud její hustota má tvar i**"1-6"*' x>0 [0 x < 0 Věta 2. Nechť U\, .. ., Un jsou nezávislé náhodné veličiny se standardizovaným normálním rozdelením, pak n Důkaz. Nejprve dokažme tvrzení pro n = 1. Využijeme dříve odvozeného vzorce, že pro Y = U2 platí ( fu(Vv)+fu(-Vy) fy (v) = 2VV 0 y>0 y<0. Pro y > 0 tedy platí 1 2l-r(i) y2 e Dále indukcí: ful+-+ul+ul+Su) = \ fx2(k)(u - x)fx2{1)(x) dx = J — OC 2^r(f )r(i) Jo x 2 e ^di 2^r(f )r(i) Jo (u — x)2 1x 2 dx = X y = - 2-ä-r(f )T{\) Jo 2-i-r(§)r(i) — / (u(í - y))2 ^yw) 2wdy 2-í-r(§)r(i) Jo u 2 j- . e 2" f 1 n —--su'2 (l-2/)T-1d2/ = □ Definice (Studentovo rozdělení). Řekneme, že náhodná veličina X má Studentovo t rozdělení o n > 0 stupních volnosti, pokud její hustota je tvaru n 2(^ + 1) 2 B (h í) Píšeme X ~ t(n). Věta 3. Nechť náhodné veličiny U ^ N{§,\) a k ^ X1^) jsou nezávislé. Pak náhodná veličina T=7r~t(n). Důkaz- Nejdříve je potřeba odvodit vztah pro podíl nezávislých náhodných veličin. Uvažme náhodný vektor x2 (Xi,X2), kde 12 > Oa transformaci Y\ = Y2 = X2, tj. Xi = ^~í, X2 = Y2. Jakobián transformace je tedy detl? ^ * 0 1/ c Odtud potom (s využitím nezávislosti) dostáváme marginalizací dy2 ÍyAvi) = / /Xi f^") ' ÍXÁV2) J— oo \ C / Protože náhodná veličina X2 je kladná, tak 10 Ještě potřebujeme spočítat hustotu náhodné veličiny \J~k. Pro y > 0 tedy máme = < i/) = p(k < y2) = Jo X22^R)2 d* 2 < 2 Potřebujeme, aby meze šly pouze do y, zvolme tedy transformaci x = t odtud Konečně můžeme spočítat jvk\ 1 r(—) * ( \ 1 Z"00 1 1 n-l -i^ , m j V^Jo Vž^ 2f-1r(f) n-l „--^ „-^„da; = n 2 /- —, _i 2 -1 0 r(l)-r(f)-2- r(i).r(f).2^ ,0 2 / 2 \ Nyní použijme substituci t=\- ( -—h 1), tedy x = ( ) aida; = —— +1/ ^+1 r(i).r(f).2^ o Mu) = / 2— • - + 1 í— • e-* • — + 1 dí -i \2J V 2 r~—1e~tdt = n) \ n rG)-r(f) Jo r(l)-r(f) 7 Rozdělení statistik odvozených od normálního rozdělení Věta 4. Nechť X±,..., Xn jsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny, X\,..., X„ ~ -/V(/i, cr2). Označme n n ^-^ i=l □ n - 1. JŤ~iv(M,£), 2. = £^V" ~ W(0,1), 3. K=2^S2~X2(rc-l), Poznamenejme, že n-1 A/X,-Xx2 i=l Kdybychom místo X vzali skutečnou střední hodnotu, tak by výsledek dopadl velmi podobně: 2 i=i v 7 i=l