Algebra II – jaro 2018 – 1. termín
Všechna svoje tvrzení precizně zdůvodněte.
1. (10 bodů) Popište svaz podalgeber algebry (N, ∗), kde ∗ je binární operace definovaná
předpisem
a ∗ b =



a + 1, pokud a je sudé a b liché,
a + 2, pokud a i b jsou sudá,
a + 3, pokud a je liché.
2. (5 bodů) Na množině L všech dvouprvkových podmnožin množiny N je definováno
uspořádání předpisem
{a, b} ≤ {c, d} ⇐⇒ (a + b ≤ c + d & a · b ≤ c · d).
Rozhodněte, zda uspořádaná množina (L, ≤) je svaz.
3. (5 bodů) Uvažujme množinu L, jejímiž prvky jsou množina R a všechna sjednocení
konečně mnoha otevřených intervalů, tj. množiny tvaru (a1, b1)∪· · ·∪(an, bn),
kde n ∈ N0 a ai, bi ∈ R, ai < bi pro i = 1, . . . , n. Rozhodněte, zda uspořádaná
množina (L, ⊆) je úplný svaz.
4. (5 bodů) Uvažujme uspořádanou množinu, jejímiž prvky jsou nejmenší prvek ⊥ a
všechny dvojice (M, m), kde m ∈ M ⊆ N, na nichž je uspořádání dáno předpisem
(M, m) ≤ (N, n) ⇐⇒ M ⊆ N & m ≥ n.
Rozhodněte, zda tato uspořádaná množina je algebraický svaz.
5. (10 bodů) Nechť A značí algebru (N, +, succ, p), kde p(n) = n2
pro každé n ∈ N.
Rozhodněte, zda předpis
(an)n∈N ∼ (bn)n∈N ⇐⇒ ∃ bijekce h: N → N splňující ∀n ∈ N: an = bh(n),
pro an, bn ∈ N, definuje kongruenci ∼ algebry AN
.
6. (10 bodů) Uvažujme typ algeber sestávající z unárního operačního symbolu f
a binárního operačního symbolu •. Rozhodněte, která z následujících identit je
splněna v algebře A s nosnou množinou Z × Z a s operacemi definovanými pro
libovolná a, b, c, d ∈ Z předpisy
fA
((a, b)) = (−a, (−1)a+1
· b),
(a, b) •A
(c, d) = (a + c, (−1)c
· b + d).
a) f(x • y) = f(x) • f(y),
b) (x • (y • y)) • f(x) • (z • z) = (z • z) • (x • (y • y)) • f(x) .
7. (15 bodů) Rozhodněte, na které z operátorů H, S a P je uzavřená třída všech
algeber (A, f, g), kde f a g jsou unární operace splňující ker(f) = ker(g).