Algebra II – jaro 2018 – 2. termín
Všechna svoje tvrzení precizně zdůvodněte.
1. (10 bodů) Nechť
A = { M ⊆ N | M je konečná, nebo N \ M je konečná }.
Popište svaz podalgeber algebry (A, , m, n), kde značí symetrický rozdíl a m
a n jsou unární operace definované předpisy
m(M) =
{min(M)}, pokud M = ∅,
∅, pokud M = ∅,
n(M) =
{min(M) + 1}, pokud M = ∅,
∅, pokud M = ∅.
2. (5 bodů) Uvažujme množinu L, jejímiž prvky jsou všechny podmnožiny uspořádané
množiny (N, |), které mají konečně mnoho maximálních prvků. Rozhodněte,
zda uspořádaná množina (L, ⊆) je svaz.
3. (5 bodů) Uvažujme množinu L, jejímiž prvky jsou ∅, R2
a všechny rovnostranné
trojúhelníky v rovině R2
, jejichž jedna hrana je horizontální a protilehlý vrchol je
nahoře. Rozhodněte, zda uspořádaná množina (L, ⊆) je úplný svaz.
4. (5 bodů) Uvažujme uspořádanou množinu, jejímiž prvky jsou největší prvek a
všechny konečné posloupnosti přirozených čísel (ai)n
i=1, kde n, a1, . . . , an ∈ N, na
nichž je uspořádání dáno předpisem
(ai)n
i=1 ≤ (bi)m
i=1 ⇐⇒ n ≤ m & ∀i ∈ {1, . . . , n}: ai ≤ bi.
Rozhodněte, zda tato uspořádaná množina je algebraický svaz.
5. (10 bodů) Na množině Pfin(Q) všech konečných množin racionálních čísel uvažujeme
relaci ∼, kde (M, N) ∈ ∼ právě tehdy, když čísla v M a v N mají stejný
součet i aritmetický průměr. Rozhodněte, zda relace ∼ je kongruencí algebry
(Pfin(Q), +, ⊕), kde + a ⊕ jsou binární operace definované předpisy M + N =
{ m + n | m ∈ M, n ∈ N } a M ⊕ N = { µ + n | n ∈ N }, kde µ je aritmetický
průměr čísel v M.
6. (10 bodů) Uvažujme typ algeber sestávající ze dvou binárních operačních symbolů
• a . Rozhodněte, která z následujících identit je splněna v algebře A, jejíž
nosnou množinou je množina všech čtvercových matic řádu 2 nad R, operací •A
je sčítání a operace A
je definována pro libovolné matice M a N předpisem
M A
N = M · N − N · M.
a) ((x y) z) • ((z x) y) • ((y z) x) = (x y) (y x),
b) (x y) z = x (y z).
7. (15 bodů) Rozhodněte, na které z operátorů H, S a P je uzavřená třída všech monounárních
algeber A takových, že pro každou kongruenci ∼ algebry A je algebra
A/∼ izomorfní A nebo triviální.