4. cvičení z MB141, jaro 2020
Pokuste se spočítat všechny příklady.
Příklad. 1. Rozhodněte, zda následující množiny jsou vektorové podprostory.
(a) U = {fe R[x]\ /(3) = 0, /(-l) = 0} C R[x],
(b) V = {Ae Mat2x2(M)| an + a22 = 1} C Mat2x2(M),
(c) W = {A E Matnxn(IR)| detA = 0} C Matnxn(IR),
(d) Z = {/ : N -> M| /(n + 1) = /(n) + f(n - 1)} C {/ : N -)• IR}.
Příklad. 2. Nechť M je podprostor IR5 generovaný vektory vi = (1,2,1,0,1), v2 = (2, —1, 0,1,1), «3 = (1, — 3, — 1,1, 0), V4 = (1, 7, 3,—1, 2). Rozhodněte, zda jsou vektory nezávislé. Pokud ne, vyberte z nich bázi podprostoru M a zbylé vektory vyjádřete v této bázi.
Příklad. 3. Doplňte bázi podprostoru M z předchozího příkladu na bázi celého IR5.
Příklad. 4. Spočtěte souřadnice polynomu 1 + 3x + 5x2 + 10x3 v bázi
a = (1 + x + 2x2 - x3,1 + 2x + x3,1 + x + 3rc2 - x3, 2 + 2x + 4x2 + 5x3) prostoru B^rc].
Řešení. (-10,2,7,1) □
Příklad. 5. Najděte bázi a dimenzi podprostoru U v IR5 všech řešení soustavy rovnic
2xi   —  3x2   +  4rr3   —  8x4  +    x5  = 0 X!   +   2x2   —   3rr3   +    x4   +   5x5   = 0
Příklad. 6. Najděte báze a dimenze součtu a průniku podprostoru P a Q v IR4, jestliže
P= [(4, 0,-2,6),(2,1,-2,3),(3,1,-2,4)], Q= [(1,-1, 0,2), (2,2,-1,3), (0,1,1,0)].
Řešení. Průnik má dimenzi 2 a bázi např. (1, —1, 0, 2), (—2, —1, 2, —3). □ Příklad. 7. Najděte báze a dimenze podprostoru
P = {f eR,[x]\f(l) = 0, f(2) = 0}   a   Q = {^GM4NU(rr) = ^(-a:)} a báze a dimenze jejich průniku a součtu.
/řeřenř. dimP = 3, dimQ = 3, dimP n Q = 1, dimP + Q = 5, tedy P + Q = R4[x]. Více na http://www.math.muni.cz/~xfrancirekp/vyuka/seste_cviceni/osme_cviceni.pdf □
1