1 .příklad
Rozhodněte, zda následující množiny jsou vektorové podprostory.
(a) U = {f € R[x]| f(3) = 0, ř(-1) = 0} c R[x],
(b) V = {Ae Mat2x2(R)| au + a22 = 1} c Mat2x2(R),
(c) W — {Ae Matnxn(R)| detvA = 0} c Matnxn(R),
(d) Z = {f : N -+ R| f(n+ 1) = ř(n) + /(n — 1)} c {/ : N -» R}.
1 .příklad
Rozhodněte, zda následující množiny jsou vektorové podprostory.
(a) U = {fe R[x]\ f(3) = 0,        = 0} c R[x],
(b) V = {A g Mat2x2(R)| au + a22 = 1} c Mat2x2(R),
(c) W = {A e Matnx/j(R)| deM = 0} c Matnxn(R),
(d) Z = {f : N -> R| /(n + 1) =      + f(n - 1)} c {f : N -)■ R}.
i- \ 1
1 ;A /^w K/ ^i2>\A*\^.
1 .příklad (e)
Rozhodněte, zda následující množiny jsou vektorové podprostory.
(a) U = {fe R[x]| f(3) = 0, ř(-1) = 0} c R[x],
(b) V = {A e Mat2x2(R)| au + a22 = 1} c Mat2x2(R),
(c) H/ = {A e Matnxn(R)| de\A = 0} c Matnxn(R),
(d) Z = {f :N^R| f(n+1) = ř(n) + f(n-1)}c{f :N-»R}.
ty As-
'Sk f/ío
A -
0 o o.
D 4 O 0 O 4--
0 00
O D O
'/
(
4
/
(4 0 0
o o o
\o o o
/
0
N o o
\ (2 0 1
1 .příklad (ST)
Rozhodněte, zda následující množiny jsou vektorové podprostory.
(a) U={fe R[x]\ 7(3) = 0, = 0} c R[x],
(b) 1/ = {/A e Mat2x2(R)| au + a22 = 1} c Mat2x2(R),
(c) W = {Ae Matnxn(R)| detA = 0} c Matnxn(R),
(d) Z = {7 : N -> R| 7(n+ 1) =      + ř(/7- 1)} c {ř : N -> R}.
2. příklad
Nechť M je podprostor R5 generovaný vektory Ví =(1,2,1,0,1), v2 = (2,-1,0,1,1), v3 = (1,-3,-1,1,0), v4 = (1,7,3, -1,2). Rozhodněte, zda jsou vektory nezávislé. Pokud ne, vyberte z nich bázi podprostoru M a zbylé vektory vyjádřete v této bázi. t
■*^J/  /^( ^ /^.        /^Oí^- AcmzA{./Zi
- /
f 4
z
f \1
-ŕ #
3
4.4 ■+
2a i
- ŕ?.
<2Z
-ŕ fit
Ol o
o
o
z<?* -=-0
2. příklad
Nechť M je podprostor K5 generovaný vektory v, =(1,2,1,0,1), v2 = (2,-1,0,1,1), v$ = (1,-3,-1,1,0), \/4 = (1,7,3, -1,2). Rozhodněte, zda jsou vektory nezávislé. Pokud ne, vyberte z nich bázi podprostoru M a zbylé vektory vyjádřete v této bázi.
O
Ji.,
2. I 4 /í \
0\-1 3
j, f -/
í. O 1
i 2\A A \ <0 V4-1
\0 ~5rS S \ď -2'-2 Z
7) a. \a a \ ; o (7)U -1
i o o \o o
\o o\o o ů o)o o
CLZ-+     - Gct =-0
/
^^uy ^ ^ ^ f
/
X —- 7
— /
'/C    4. a 2
2. příklad
Nechť M je podprostor R5 generovaný vektory ví =(1,2,1,0,1), i/2 = (2,-1,0,1,1), v& = (1,-3,-1,1,0), v4 = (1,7,3, -1,2). Rozhodněte, zda jsou vektory nezávislé. Pokud ne, vyberte z nich bázi podprostoru M a zbylé vektory vyjádřete v této bázi.
i =-&z.-0*   Ti^X   /^y ^
í
4^
/
1 ^/U2^^^^y
2. příklad 1 ^
Nechť M je podprostor R5 generovaný vektory ví = (1,2,1,0,1), v2 = (2,-1,0,1,1), v3 = (1,-3,-1,1,0), v4 = (1,7,3, -1,2). Rozhodněte, zda jsou vektory nezávislé. Pokud ne, vyberte z nich bázi podprostoru M a zbylé vektory vyjádřete v této bázi.
H - Ľ K K, ^ 4rH ] = i ä<^A^ä^*^^K^&K
ObitástásmjLs h,     r~ „
/H44a1, ./fwé-' /^zn^ /zi/Ms
3. příklad
Doplňte bázi podprostoru M z předchozího příkladu na bázi celého R5.
ázi Vd/
Z /r4l^t £1t &Zl     A, 4srl " ^ • 0 ^ ^ ^ A/ A- í '
'I   0  0 0 0\    i i 2:4 o
0   4    0 0 0
dri   Ar-2.
a.
í
A
0
-1
0 4
1
0   o   4   o Q
0   O    o   A 0
0  0  0 0 ij
0 0
0 -S ;-2 A o o 0
0-21-1  o 4 o o
0 1\0 O 0 A o \0 0 0 OA
\A 2*1 0 O O £>' 0 0 0 0 rj
0 0{-1 0 O -1 A 0 0Li_4 0 S 0
,0 o [-10 i i oi
/V
3. příklad
Doplňte bázi podprostoru M z předchozího příkladu na bázi celého R5.
i 2. (i, ,H. ,S.
ď i       i i
V) í\ <1 o o o o \
O      -/ o O O -1 D  0 fl
_ D11 0 O\0 (A)0 3-2.
Map) /ho z^x^ol ^i 2/ ^/ ^
i
/
/H&USUI/     ./tetUj^    sť>?Z^    Jsi/Uy ^^TÓPUi^
1
Z-
4. příklad
Spočtěte souřadnice polynomu 1 + 3x + 5x2 + 10x3 v bázi
a = 0+x+2x2-x3,1+2x+x3,1+x+3x2-x3,2+2x+4x2+5x3)
prostoru K3[x].
3
<
4. příklad
Spočtěte souřadnice polynomu 1 + 3x + 5x2 + 10x3 v bázi
,2 „3
a -
(1 +x+2x2-x3,1 +2x+x3,1 +x+3x2-*3,2+2x+4x2+5x3)
prostoru R3[x].
Xu /n^On^t^ )CŽ x7       X = 7
	t <	- a1
	t i	
	% i	
	*	
	1	-4 s
2	0	"3 H
</	■2	<í 2
</	-i	4 1
S~
3
1
! 4 o
o o
1	1		7
	0	0	
z		0	3
■1	b		^/
4. příklad
Spočtěte souřadnice polynomu 1 + 3x + 5x2 + 10x3 v bázi
a
= (1 +x+2x2-x3,1 +2x+x3,1 +x+3x2-x3,2+2x+4x2+5x3)
prostoru M3 [x].
14 4 4 2 O -i 0 0 0 0-10
o o o *z
3
\ 1
5. příklad (óu
Najděte bázi a dimenzi podprostoru U v R5 všech řešení soustavy rovnic
2x1   -  3x2  + 4x3  -  8x4  +    x5  = 0 X1   + 2x2  - 3x3  +    x4  + 5x5  = 0
( 1 - 3 V \4 2-3
- $ 4
7 5"
O O
\ /
-3   4 5
-/£
y   _?Xz = Zi0^ **** -vw'-^*^
■f6f- tťdjo
5. příklad
Najděte bázi a dimenzi podprostoru L/vR5 všech řešení soustavy rovnic
2xi   -  3x2  + 4x3  -  8x4  +    x5  = 0 Xt   + 2x2  -  3x3  +    x4  + 5x5  = 0
i ^1
/
6. příklad
Najděte báze a dimenze součtu a průniku podprostorů P R4, jestliže
^4 dt^ sCO,
P = [(4,0, -2,6), (2,1, -2,3), (3,1, -2,4)], Q=[(1,-1,0,2),(2,2>-1,3),(0,1>J,0)].
a O v
Av^ Ao^ <4o->
2" -   čl^sU 1   -tál-        f ^3
/?-    . X, *4, ^
3
X. k, \ <*s>Ht€
3
4
-2
V.
	
	
0	-1 I
	3/
6. příklad
Najděte báze a dimenze součtu a průniku podprostorů P a Q v M4, jestliže
P = [(4,0, -2,6), (2,1, -2,3), (3,1, -2,4)], 0= [(1,-1,0,2), (2,2,-1,3), (0,1,1,0)].
-2 4
-2 -2 -2 0   * A
o o A
0 0 A
o -1 i\
-i *2- s\ A 0 £ 2 £ 3
0 -4 4 \
-A t 4 , -1  6 6 I
/V
\
0
-f H
<9f2)^
o  o o\
.  • /?    -.L f//L kf = ^T
6. příklad (c
Najděte báze a dimenze součtu a průniku podprostorů PaOv R4, jestliže
/ív4 z- M.^
P = [(4,0, -2,6), (2,1, -2,3), (3,1, -2,4)], Q= [(1,-1 0,2), (2,2 ,-1,3), (0,1 1,0)].
-■■<■''*gUccAt'**-)j /^£c'de^u^ Azsus 'Vn fy ,
6. příklad
Najděte báze a dimenze součtu a průniku podprostorů P a O v M4, jestliže
P = [(4,0,-2,6), (2,1-2,3), (3,1,-2,4)] 0= [(1,-1,0,2), (2,2,-1,3), (0,1,1,0)].
/
^ttť&íb Jí
0-4 <i
OÍt./J4^
4
-1 2 V
/0
/ty /0i4( M^f /U 3/
6. příklad
Najděte báze a dimenze součtu a průniku podprostorů P a O v R4, jestliže
P = [(4,0, -2,6), (2,1, -2,3), (3,1, -2,4)], Q=[(1,-1,0,2),(2,2,-1,3),(0,1,1,0)].
/
7. příklad
Najděte báze a dimenze podprostorů
P = {feR4[x]|/(1) = 0, m = 0} Q = {g eR4[x]\ g(x) = g(-x)}
a báze a dimenze jejich průniku a součtu.
fot
(Pátému '/vu'/ms Aa^od^^o
Čt o
c
4i V/ v*,
7. příklad
Najděte báze a dimenze podprostorů
P={/eR4[x]|f(1) = 0, f(2) = 0} Q = {g €R4M| g(x) = g(-x)}
a báze a dimenze jejich průniku a součtu.
(9 =.   L14) =    b*f bs-f ba* ^ + b°
(9 =.   jf.iz) - ftb* < ^ 4 ^ * ^t bc
b0   b<  b*  •»» by b„  b3 , k,
^    *   *   *  /6 ] /v/ 1 '  ! í i )
0 V   3   ? ^
Sjet*!Ms"**"
7. příklad
Najděte báze a dimenze podprostorů
P={feR4[x]\ /(1) = 0, f(2) = 0}
Q = {g&R4x]\9(x) = g(-x)}
a báze a dimenze jejich průniku a součtu.
4* - b"
0 =-A^-fbs-31>í
#   = ^ +2^
7. příklad
Najděte báze a dimenze podprostorů
P={f eR4[x]| f(1) = 0, f(2) = 0}
Q = {geR4[x]\g(x) = g(-x)}
a báze a dimenze jejich průniku a součtu.
	a*	
1A	0	0
\0	0	0
0	4	0
0	0	0
\ o	0	
\		
	b¥)	
Ó
0
-3
b2 I?,, b*, / O O
O® o)
- ^b^-řbj. - 4Sfy ~0 .    Te^f síÍwua' {o
= <4
7. příklad
Najděte báze a dimenze podprostorů
P = {f eR4[x]| ř(1) = 0, f(2) = 0} Q = {geR4[x]\g(x) = g(-x)}
a báze a dimenze jejich průniku a součtu.
2_
\
4
0 0
o o
Cl.
o
o
4 O
o
0 O
o o
4
c0 o
0 4
-3 Z
7. příklad
Najděte báze a dimenze podprostorů
P = {feR4[x]\ ř(1) = 0, f(2) = 0} Q = {geR4[x]\g(x) = g(-x)}
a báze a dimenze jejich průniku a součtu.
7. příklad
Najděte báze a dimenze podprostorů
P = {fsRA[x]\f(-\) = 0, f(2) = 0}
Q = {g e       9W = 9{-x)} a báze a dimenze jejich průniku a součtu.
'--- -3t3-/--^.
T + Q - ^       .    2^ ^