Domácí úloha z MB141, týden 04
Příklad. 1. [3 body.] Rozhodněte, zda následující množiny jsou vektorové podprostory. Pokud ano, najděte jejich báze a dimenze:
(a) U = {fe M4NI /(3) = 0, /(l) = /(O) + 1} C K4W,
(b) v = {fe M4NI /(3) = o, /(o) = /(i)} c R4[4
(c) W = {A e Mat2x2(IR)|A = AT} C Mat2x2(IR), AT značí transponovanou matici. Čtvercové matice s vlastností A = AT se nazývají symetrické.
Příklad. 2. [3 body] Nechť M je podprostor IR5 generovaný vektory vx = (1, 2, 3,1, 0),
v2 — (2, —1,2,1, 3), = (3,1, 5, 2, 3), t?4 = (2,1, 0,1,1). Vyberte z nich bázi podprostoru. Rozhodněte, zda vektor u = (1,1,2, 0, 0) leží v M.
Příklad. 3. [i bod] Doplňte bázi podprostoru M z předchozího příkladu na bázi celého E5.
(2 3\
Příklad. 4. [i bod] Spočtěte souřadnice matice ( ^  g j v bázi
_ f fl   1\    A  0\    /0  0\    /0 1
Q    vVo °/ ' V° V' V1 °/ ' \° 0 ve vektorovém prostoru Mat2x2(M) matic 2x2.
Příklad. 5. [2 body] Najděte bázi a dimenzi podprostoru (/ vl5 všech řešení soustavy rovnic
xi + x2 + 2x3 + x4 =0 2xx + 3x2 + 4x3 + 2rr4 + x5 = 0 3xi   +  4rr2   +  8x3   +  AxA   +   rr5   = 0
Příklad. 6. [3 £o<fy] Najděte bázi a dimenze součtu a průniku podprostoru ř7 a V v E4, jestliže
C/= [(1,1,-1,-1), (2, 3,2, -2)],
V= [(2,0,1,1), (4,4,7,-1), (0,1,1,0)].
Příklad. 7. [4 body] Najděte báze a dimenze podprostoru
P = {f eR5[x]\f(l)=0, /(-1) = 0} a Q = {í7G]R5NU(-a:) = -^)} a báze a dimenze jejich průniku a součtu.
1