5. cvičení z MB141, jaro 2020
Příklad. 1. Rozhodněte, zda následující zobrazení mezi vektorovými prostory jsou lineární. Pokud ano, napište jejich předpis v souřadnicích standardních bazí uvedených prostorů pomocí násobení maticí.
(a) ip : IR2 —> IR, if(x1,x2) = 1xx + xxx2,
(b) if : IR2 ->• IR3, if(x1, x2) = (2^i - 3x2,5x2, xx - x2),
(c) V : IR3M     IR2, <p(p) = (p(l),p(2)2),
(d) V9:M3N^M2, <f{j>) = (p(l),p(2)).
Příklad. 2. Ve vektorovém prostoru IR3 uvažujme bázi u\ = (1, 0,1), u2 = (0,1,1), w3 = (1,1,1). Nechť 99 : IR3 —ř IR3 je lineární zobrazení, o němž víme, že
V(Ul) = Ul, V(U2) = U3, V?(m3) = U2.
Najděte matici A tvaru 3x3 tak, aby v souřadnicích standardní báze bylo <p(x) = Ax.
Příklad. 3. Nechť ip je zobrazení IR3 do sebe, které je symetrií podle roviny x\ — x3 = 0. Najděte matici B takovou, že v souřadnicích standardní báze je ip(x) = Bx.
Příklad. 4. Najděte vlastní čísla a vlastní vektory zobrazení ip : IR2 —ř IR2 Příklad. 5. Najděte vlastní čísla a vlastní vektory zobrazení ip : IR2 —ř IR2
Příklad. 6. Najděte vlastní čísla a vlastní vektory matice
B =
Příklad. 7. Zjistěte, zda v IR3 existuje báze tvořená vlastními vektory matice
/0 0 -2
C = í 1 2 1
\1 0 3
Pokud ano, najděte ji.
2
Příklad. 8. Spočtěte vlastní čísla a vlastní vektory matice
/ 1     1     2     1 \
1-2 1-4
0
v-
0